4. 如图,点 B,C 在线段 AD 上,$CD=2AB+3$.

(1)若 C 是线段 AD 的中点,求 $BC-AB$ 的值;
(2)若 $BC=\frac{1}{4}AD$,求 $BC-AB$ 的值;
(3)若线段 AC 上有一点 P(不与点 B 重合),$AP+AC=DP$,求 BP 的长.

解：
(1) ∵ C是线段AD的中点，
∴ AC = CD，
又∵ AC = AB + BC，CD = 2AB + 3，
∴ AB + BC = 2AB + 3，
整理得：$BC - AB = 3$。
(2) ∵ $AD = AB + BC + CD$，$CD = 2AB + 3$，$BC=\frac{1}{4}AD$，
∴ $AD = AB + BC + 2AB + 3 = 3AB + BC + 3$，
又∵ $AD = 4BC$，
∴ $4BC = 3AB + BC + 3$，
移项整理得：$3(BC - AB) = 3$，
即 $BC - AB = 1$。
(3) ∵ $AP + AC = DP$，且 $DP = AD - AP$，
∴ $AP + AC = AD - AP$，
移项得：$2AP = AD - AC$，
又∵ $AD - AC = CD$，
∴ $2AP = CD$，
∵ $CD = 2AB + 3$，
∴ $2AP = 2AB + 3$，
即 $AP = AB + \frac{3}{2}$，
∵ 点P在线段AC上且不与B重合，可得 $AP = AB + BP$，
∴ $AB + BP = AB + \frac{3}{2}$，
解得：$BP = \frac{3}{2}$。

【分析】
本题考查线段的和差运算，解题核心是利用线段的和差关系及已知条件进行等量代换，逐步推导所求值：
(1) 利用中点性质得到AC=CD，再将AC拆分为AB+BC，结合已知CD=2AB+3，代入等式整理即可直接得到BC-AB的值；
(2) 先根据线段和的关系写出AD=AB+BC+CD，结合BC=1/4AD可得AD=4BC，将CD代入AD的表达式后，消去AD整理即可求出BC-AB的值；
(3) 先将DP转化为AD-AP，代入已知等式AP+AC=DP，整理得到2AP=CD，再结合CD的表达式，同时根据P在AC上可知AP=AB+BP，代入后消去AB即可求出BP的长度。
【解析】
(1)
∵ C是线段AD的中点，
∴ AC = CD，
又
∵ AC = AB + BC，CD = 2AB + 3，
∴ AB + BC = 2AB + 3，
移项整理得：$BC - AB = 3$。
(2)
∵ 线段AD由AB、BC、CD三段组成，
∴ $AD = AB + BC + CD$，
将$CD = 2AB + 3$，$BC=\frac{1}{4}AD$（即$AD=4BC$）代入得：
$4BC = AB + BC + 2AB + 3$，
合并同类项得：$4BC = 3AB + BC + 3$，
移项整理得：$3BC - 3AB = 3$，即$3(BC - AB) = 3$，
∴ $BC - AB = 1$。
(3)
∵ 点P在线段AD上，
∴ $DP = AD - AP$，
已知$AP + AC = DP$，代入得：
$AP + AC = AD - AP$，
移项得：$2AP = AD - AC$，
又
∵ $AD - AC = CD$，
∴ $2AP = CD$，
将$CD = 2AB + 3$代入得：$2AP = 2AB + 3$，即 $AP = AB + \frac{3}{2}$，
∵ 点P在线段AC上，
∴ $AP = AB + BP$，
∴ $AB + BP = AB + \frac{3}{2}$，
解得：$BP = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{1}$；(3) $\boxed{\frac{3}{2}}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点的性质，等量代换
【点评】
本题是线段运算的基础题型，重点考察对线段和差关系的掌握和等量代换的运用能力，通过逐步转化已知条件即可求解，有助于锻炼几何逻辑推导和代数变形能力。
【难度系数】
0.7

5.已知点B在线段AC上,点D在线段AB上,
(1)如图,若$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,$D$为线段$AC$的中点,求线段$DB$的长度;
(2)如图,若$BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,$E$为线段$AB$的中点,$EC=12\ \mathrm{cm}$,求线段$AC$的长度.

解：
(1) 因为$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
所以$AC=AB+BC=6+4=10\ \mathrm{cm}$。
因为$D$为线段$AC$的中点，
所以$DC=\frac{1}{2}AC=5\ \mathrm{cm}$，
所以$DB=DC-BC=5-4=1\ \mathrm{cm}$。
(2) 设$BD=x\ \mathrm{cm}$，
由$BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$，可得：
$AB=4BD=4x\ \mathrm{cm}$，$CD=3BD=3x\ \mathrm{cm}$，
所以$BC=CD-BD=3x-x=2x\ \mathrm{cm}$。
因为$E$为线段$AB$的中点，
所以$EB=\frac{1}{2}AB=2x\ \mathrm{cm}$，
所以$EC=EB+BC=2x+2x=4x\ \mathrm{cm}$。
又因为$EC=12\ \mathrm{cm}$，
所以$4x=12$，解得$x=3$，
所以$AC=AB+BC=4x+2x=6x=18\ \mathrm{cm}$。
答：(1) 线段$DB$的长度为$1\ \mathrm{cm}$；(2) 线段$AC$的长度为$18\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1) 求DB的长度时，先根据点B在线段AC上的位置关系，先算出AC的总长度，再利用AC中点的性质求出DC的长度，最后通过DB=DC-BC的线段和差关系计算即可。
(2) 题干给出多组线段比例关系，适合用设未知数的方法简化计算：先设BD长度为x，根据比例把AB、CD都用含x的式子表示，再推导BC的表达式；结合E是AB中点的性质得到EB的表达式，根据EC=EB+BC的等量关系列方程求出x的值，最后通过AC=AB+BC计算AC的长度。
【解析】
(1) 因为$AB=6\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
所以$AC=AB+BC=6+4=10\ \mathrm{cm}$。
因为$D$为线段$AC$的中点，
所以$DC=\frac{1}{2}AC=5\ \mathrm{cm}$，
所以$DB=DC-BC=5-4=1\ \mathrm{cm}$。
(2) 设$BD=x\ \mathrm{cm}$，
由$BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$，可得：
$AB=4BD=4x\ \mathrm{cm}$，$CD=3BD=3x\ \mathrm{cm}$，
所以$BC=CD-BD=3x-x=2x\ \mathrm{cm}$。
因为$E$为线段$AB$的中点，
所以$EB=\frac{1}{2}AB=2x\ \mathrm{cm}$，
所以$EC=EB+BC=2x+2x=4x\ \mathrm{cm}$。
又因为$EC=12\ \mathrm{cm}$，
所以$4x=12$，解得$x=3$，
所以$AC=AB+BC=4x+2x=6x=18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{18\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，方程法求线段长
【点评】
本题是线段长度计算的常规题型，第一问直接考查线段基础性质的应用，第二问融合了比例关系与方程思想，需要结合图形梳理线段间的数量关系，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

1.如果点A,B,C在同一条直线上，线段AB=6 cm,BC=2 cm,则A,C两点间的距离是 cm.

解：分两种情况讨论：
当点C在线段AB的延长线上时，
$AC = AB + BC = 6 + 2 = 8\ \mathrm{cm}$；
当点C在线段AB上时，
$AC = AB - BC = 6 - 2 = 4\ \mathrm{cm}$。
综上，A，C两点间的距离是$\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{8}$ cm。

【分析】
本题未明确点C与线段AB的位置关系，因此需要分类讨论点C的位置：第一种是点C在线段AB的延长线上，第二种是点C在线段AB上，再分别结合线段的和差关系计算A、C两点的距离即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
分两种情况讨论：
当点C在线段AB的延长线上时，AC的长度为AB与BC的长度之和，即：
$AC = AB + BC = 6 + 2 = 8\ \mathrm{cm}$
当点C在线段AB上时，AC的长度为AB与BC的长度之差，即：
$AC = AB - BC = 6 - 2 = 4\ \mathrm{cm}$
综上，A、C两点间的距离是4或8 cm。
【答案】
4或8
【知识点】
两点间的距离；线段的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见易错题，解题的关键是明确当未给出点的具体位置时，要结合题意分情况讨论，避免因漏算情况导致答案不完整。
【难度系数】
0.7