1. ★★★（2025·淄博期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在这些小正方形的顶点上，则$\tan∠ ACB=$（）

A.$\sqrt{5}$
B.$1$
C.$\sqrt{10}$
D.$2$
（第1题）

1.B

【分析】
要求∠ACB的正切值，根据正切的定义，需要将该角放在直角三角形中分析。我们可以先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理求出△ABC三边的长度，再通过勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定直角后结合边长关系求出∠ACB的正切值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 利用勾股定理计算△ABC三边的长度：
$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
2. 验证三角形形状：
$\because AB^2+BC^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=10$，$AC^2=(\sqrt{10})^2=10$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ABC=90°$。
3. 求$\tan∠ ACB$：
$\because AB=BC=\sqrt{5}$，$\therefore △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ ACB=45°$，
$\therefore \tan∠ ACB=\tan45°=1$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理及逆定理，正切的定义，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过设单位长度，用勾股定理确定三角形边长，进而判断三角形形状求出对应角的三角函数值，也可通过构造包含∠ACB的直角三角形直接计算对边和邻边的比值求解。
【难度系数】
0.7

2. ★★★ (2025·广东中考)如图,在矩形ABCD中,E,F是BC边上的三等分点,连结DE,AF相交于点G,连结CG.若AB=8,BC=12,则$\tan∠ GCF$的值是 ()

A.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
D.$\dfrac{2}{3}$

2.B

【分析】
要求$\tan∠GCF$的值，正切值为直角三角形中角的对边与邻边的比值，我们可以通过建立平面直角坐标系简化计算：首先将矩形放在平面直角坐标系中，写出各顶点的坐标，再求出直线AF、DE的解析式，联立解析式得到交点G的坐标，最后构造以$∠GCF$为内角的直角三角形，利用正切的定义计算比值即可。
【解析】
以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵四边形ABCD是矩形，$AB=8$，$BC=12$，
∴$A(0,8)$，$B(0,0)$，$C(12,0)$，$D(12,8)$。
∵E、F是BC边上的三等分点，
∴$BE=EF=FC=4$，即$E(4,0)$，$F(8,0)$。
设直线AF的解析式为$y=kx+b$，将$A(0,8)$、$F(8,0)$代入得：
$\begin{cases}b=8\\8k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=8\end{cases}$，即直线AF的解析式为$y=-x+8$。
设直线DE的解析式为$y=mx+n$，将$D(12,8)$、$E(4,0)$代入得：
$\begin{cases}12m+n=8\\4m+n=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=-4\end{cases}$，即直线DE的解析式为$y=x-4$。
联立两条直线解析式：$\begin{cases}y=-x+8\\y=x-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=6\\y=2\end{cases}$，即交点G的坐标为$(6,2)$。
过G作$GH⊥BC$于点H，则$GH=2$，$CH=12-6=6$。
在$Rt△ GHC$中，$\tan∠GCF=\frac{GH}{CH}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，一次函数的应用，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是求锐角三角函数值的典型题型，通过建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数问题，降低了解题难度，体现了数形结合思想的应用，需要熟练掌握坐标系法在几何计算中的使用技巧。
【难度系数】
0.6

3. ★★★ (2025·东营月考)如图,已知直线$ l_1 // l_2 // l_3 // l_4 $,相邻两条平行直线间的距离都是2,若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则$ \sinα = $。

3.$\frac{\sqrt{5}}{5}$

【分析】
要求$\sinα$，需将$α$置于直角三角形中计算。结合平行线等距、正方形的性质，可过点$D$作$l_1$的垂线，构造直角三角形，再通过正方形内角为$90°$、边相等的性质证明三角形全等，将平行线间距转化为直角三角形的边长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可。
【解析】
过点$D$作$DM⊥ l_1$于点$M$，延长$MD$交$l_4$于点$N$。
$\because l_1// l_2// l_3// l_4$，$DM⊥ l_1$，$\therefore DN⊥ l_4$，即$∠ AMD=∠ DNC=90°$。
$\because$相邻两条平行直线间的距离都是$2$，$\therefore DM=2$，$DN=2×2=4$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD=CD$，$∠ ADC=90°$，
$\therefore ∠ ADM+∠ CDN=180°-90°=90°$。
又$\because \mathrm{Rt}△ AMD$中，$∠ ADM+∠ DAM=90°$，
$\therefore ∠ DAM=∠ CDN$，即$α=∠ DAM$。
在$△ ADM$和$△ DCN$中：
$\begin{cases}∠ AMD=∠ DNC \\∠ DAM=∠ CDN \\AD=DC\end{cases}$
$\therefore △ ADM≌△ DCN(\mathrm{AAS})$，$\therefore AM=DN=4$。
在$\mathrm{Rt}△ AMD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AM^2+DM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
$\therefore \sinα=\sin∠ DAM=\frac{DM}{AD}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
平行线的性质；正方形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查了平行线、正方形及锐角三角函数的相关知识，解题的核心是通过作辅助线构造全等三角形，将平行线间的距离转化为直角三角形的边长，体现了转化思想在几何解题中的应用。
【难度系数】
0.6

4. ★★★ $\odot P$经过坐标原点$O$，分别与$x$轴、$y$轴交于点$A$、点$B$，点$C$是$\odot P$位于第一象限部分上的一点，如图，若点$A$坐标为$(4,0)$，点$B$坐标为$(0,3)$，则$\cos∠ OCA$的值为 ()


A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{3}$

4.B

【分析】
要计算∠OCA的余弦值，直接求解该角的三角函数值不便，可利用圆周角定理进行角的转化：首先连接AB，由∠AOB=90°可推出AB是⊙P的直径，再根据同弧所对的圆周角相等，可得∠OCA=∠OBA，即可将问题转化为在Rt△AOB中求∠OBA的余弦值。
【解析】
1. 连接AB
∵ ∠AOB=90°，且O、A、B三点均在⊙P上，
∴ AB为⊙P的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
2. 计算AB的长度
已知A(4,0)，B(0,3)，可得OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
3. 转化所求角
∵ ∠OCA和∠OBA都是弧OA所对的圆周角，
∴ ∠OCA=∠OBA。
4. 计算余弦值
在Rt△AOB中，$\cos∠OBA=\frac{邻边}{斜边}=\frac{OB}{AB}=\frac{3}{5}$，
因此$\cos∠OCA=\cos∠OBA=\frac{3}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题解题核心是利用圆周角定理将未知角转化为直角三角形内的已知角，结合勾股定理和三角函数定义求解，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7