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5. (2025·淄博期中)如图,24个形状大小完全相同的菱形组成的网格,菱形的顶点称为格点,已知菱形的一个内角为$60°$,点A,B,C,D都在格点上,且线段AB,CD相交于点P,则$\tan∠ APC$为 (
A.$3\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
D.$2\sqrt{3}$
D
)A.$3\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
5.D
解析
【分析】
要求∠APC的正切值，可利用平移的性质，将所求角转化为顶点在格点上的等角，再构造直角三角形求解。因为网格由含60°角的全等菱形组成，我们可设小菱形边长为1简化计算，先通过平移CD得到与∠APC相等的角，再计算直角三角形中该角的对边与邻边的比值，即可得到正切值。也可通过构造垂线，利用相似三角形得到线段比例后结合三角函数定义求解。
【解析】
解：设每个小菱形的边长为1。
将线段CD平移，使点C与点B重合，得到线段BQ，连接AQ。
根据平移的性质，CD//BQ，
∴∠APC=∠ABQ（同位角相等）。
结合菱形网格60°内角的性质，通过勾股定理验证可得：BQ=1，AQ=2√3，且AB²=AQ²+BQ²，即△AQB为直角三角形，∠AQB=90°。
在Rt△AQB中，$\tan∠ ABQ=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AQ}{BQ}=\frac{2\sqrt{3}}{1}=2\sqrt{3}$，
∴$\tan∠ APC=\tan∠ ABQ=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义；平移的性质；勾股定理
【点评】
本题结合特殊菱形网格考查锐角三角函数的计算，解题的核心是利用平移或构造直角三角形的方法，将所求的夹角转化为易计算的直角三角形内角，考查了转化思想和网格中线段长度的计算能力。
【难度系数】
0.6
要求∠APC的正切值，可利用平移的性质，将所求角转化为顶点在格点上的等角，再构造直角三角形求解。因为网格由含60°角的全等菱形组成，我们可设小菱形边长为1简化计算，先通过平移CD得到与∠APC相等的角，再计算直角三角形中该角的对边与邻边的比值，即可得到正切值。也可通过构造垂线，利用相似三角形得到线段比例后结合三角函数定义求解。
【解析】
解：设每个小菱形的边长为1。
将线段CD平移，使点C与点B重合，得到线段BQ，连接AQ。
根据平移的性质，CD//BQ，
∴∠APC=∠ABQ（同位角相等）。
结合菱形网格60°内角的性质，通过勾股定理验证可得：BQ=1，AQ=2√3，且AB²=AQ²+BQ²，即△AQB为直角三角形，∠AQB=90°。
在Rt△AQB中，$\tan∠ ABQ=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{AQ}{BQ}=\frac{2\sqrt{3}}{1}=2\sqrt{3}$，
∴$\tan∠ APC=\tan∠ ABQ=2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义；平移的性质；勾股定理
【点评】
本题结合特殊菱形网格考查锐角三角函数的计算，解题的核心是利用平移或构造直角三角形的方法，将所求的夹角转化为易计算的直角三角形内角，考查了转化思想和网格中线段长度的计算能力。
【难度系数】
0.6
6. ★★★（2024·江西中考）将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形ABCD，连结AC，则$\tan∠ CAB=$
$\frac{1}{2}$
。答案
6.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】要计算∠CAB的正切值，根据锐角三角函数的定义，正切值是直角三角形中该锐角的对边与邻边的比值，因此首先需要构造包含∠CAB的直角三角形。我们可以结合七巧板各板块的边长规律，设最小等腰直角三角形的直角边长为参数，通过作辅助线得到直角三角形，分别计算对边和邻边的长度，即可求出比值。也可以通过建立平面直角坐标系，利用坐标计算边长比，更直观简便。
【解析】
设七巧板中最小的等腰直角三角形的直角边长为1，结合图②的拼接结构，建立平面直角坐标系：
设点A的坐标为$(0,0)$，AB在x轴上，可得点B坐标为$(2,0)$，点C坐标为$(4,2)$。
过点C作$CE⊥x$轴，垂足为E，则点E坐标为$(4,0)$。
在$Rt△ ACE$中，$∠ AEC=90°$，
对边$CE=2$，邻边$AE=4$，
根据正切的定义：$\tan∠ CAB = \frac{CE}{AE} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正切的定义，七巧板的特征，平行四边形的性质
【点评】
本题结合七巧板的拼接考查锐角三角函数的计算，解题的关键是熟悉七巧板各部分的边长关系，通过构造直角三角形或建立坐标系将所求角转化为可计算的形式，体现了数形结合思想的应用，需要一定的图形分析能力。
【难度系数】
0.6
【解析】
设七巧板中最小的等腰直角三角形的直角边长为1，结合图②的拼接结构，建立平面直角坐标系：
设点A的坐标为$(0,0)$，AB在x轴上，可得点B坐标为$(2,0)$，点C坐标为$(4,2)$。
过点C作$CE⊥x$轴，垂足为E，则点E坐标为$(4,0)$。
在$Rt△ ACE$中，$∠ AEC=90°$，
对边$CE=2$，邻边$AE=4$，
根据正切的定义：$\tan∠ CAB = \frac{CE}{AE} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正切的定义，七巧板的特征，平行四边形的性质
【点评】
本题结合七巧板的拼接考查锐角三角函数的计算，解题的关键是熟悉七巧板各部分的边长关系，通过构造直角三角形或建立坐标系将所求角转化为可计算的形式，体现了数形结合思想的应用，需要一定的图形分析能力。
【难度系数】
0.6
7. ★★★ (2025·西宁中考)如图,用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到大正方形ABCD和小正方形EFGH,连结BD交CH于点P.若BP=BC,则$\tan∠CBG$的值是 (
A.$\sqrt{2}-1$
B.$2-\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
A
)A.$\sqrt{2}-1$
B.$2-\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
答案
7.A
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用正方形的性质，得到对角线BD分∠ABC为45°，即∠CBD=45°；第二步，结合BP=BC的条件，可知△BCP是等腰三角形，根据三角形内角和可算出底角∠BCP的度数；第三步，利用直角三角形两锐角互余，结合赵爽弦图中四个直角三角形全等的性质，推出∠CBG的度数为22.5°；第四步，计算22.5°的正切值即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，对角线BD平分∠ABC，故∠CBD=45°。
又
∵BP=BC，
∴△BCP为等腰三角形，顶角∠PBC=45°，
∴底角$∠ BCP=∠ BPC=(180°-45°)÷2=67.5°$，
∴$∠ DCH=∠ BCD-∠ BCP=90°-67.5°=22.5°$。
∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼成，
∴$△ BCG≌△ CDH$，对应角相等，即$∠ CBG=∠ DCH=22.5°$。
22.5°是45°的一半，推导得$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$，
故$\tan∠ CBG=\sqrt{2}-1$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，综合考查了正方形、等腰三角形、全等三角形及锐角三角函数的相关知识，解题的突破口是利用正方形对角线与等腰三角形的角度关系推导出所求角的度数，需要学生熟练掌握几何图形的基本性质和特殊角三角函数的推导方法。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先利用正方形的性质，得到对角线BD分∠ABC为45°，即∠CBD=45°；第二步，结合BP=BC的条件，可知△BCP是等腰三角形，根据三角形内角和可算出底角∠BCP的度数；第三步，利用直角三角形两锐角互余，结合赵爽弦图中四个直角三角形全等的性质，推出∠CBG的度数为22.5°；第四步，计算22.5°的正切值即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，对角线BD平分∠ABC，故∠CBD=45°。
又
∵BP=BC，
∴△BCP为等腰三角形，顶角∠PBC=45°，
∴底角$∠ BCP=∠ BPC=(180°-45°)÷2=67.5°$，
∴$∠ DCH=∠ BCD-∠ BCP=90°-67.5°=22.5°$。
∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼成，
∴$△ BCG≌△ CDH$，对应角相等，即$∠ CBG=∠ DCH=22.5°$。
22.5°是45°的一半，推导得$\tan22.5°=\sqrt{2}-1$，
故$\tan∠ CBG=\sqrt{2}-1$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数计算
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，综合考查了正方形、等腰三角形、全等三角形及锐角三角函数的相关知识，解题的突破口是利用正方形对角线与等腰三角形的角度关系推导出所求角的度数，需要学生熟练掌握几何图形的基本性质和特殊角三角函数的推导方法。
【难度系数】
0.6
8. (2025·常州月考)魏晋数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD，CGFE和BHIE都是正方形.如果图中△DEM与△ABM的面积比为$\frac{1}{9}$，则$\tan∠FEI$的值为（
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
C
）A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
8.C
解析
【分析】
首先观察到△ABM与△DEM有平行边AB、DE，可判定两三角形相似，结合面积比求出边长比例；接着设参数表示各正方形边长，利用勾股定理求出正方形BHIE的边长；最后在直角三角形EFI中，根据正切的定义计算∠FEI的正切值即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AB=AD=DC，∠A=∠EDM=90°，
∴△ABM∽△DEM，
∵△DEM与△ABM的面积比为$\frac{1}{9}$，
∴相似比$\frac{DE}{AB}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，
设$DE=a$，则$AB=DC=3a$，
∵四边形CGFE是正方形，
∴$EF=EC=DE+DC=a+3a=4a$，∠F=90°，
在Rt△BCE中，$BC=3a$，$EC=4a$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2+EC^2}=\sqrt{(3a)^2+(4a)^2}=5a$，
∵四边形BHIE是正方形，
∴$EI=BE=5a$，
在Rt△EFI中，由勾股定理得：
$FI=\sqrt{EI^2-EF^2}=\sqrt{(5a)^2-(4a)^2}=3a$，
∴$\tan∠FEI=\frac{FI}{EF}=\frac{3a}{4a}=\frac{3}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题以古代“青朱出入图”为背景，综合考查了相似三角形、勾股定理及锐角三角函数的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质得到边长的比例关系，再结合勾股定理求出相关线段的长度。
【难度系数】
0.6
首先观察到△ABM与△DEM有平行边AB、DE，可判定两三角形相似，结合面积比求出边长比例；接着设参数表示各正方形边长，利用勾股定理求出正方形BHIE的边长；最后在直角三角形EFI中，根据正切的定义计算∠FEI的正切值即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AB=AD=DC，∠A=∠EDM=90°，
∴△ABM∽△DEM，
∵△DEM与△ABM的面积比为$\frac{1}{9}$，
∴相似比$\frac{DE}{AB}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$，
设$DE=a$，则$AB=DC=3a$，
∵四边形CGFE是正方形，
∴$EF=EC=DE+DC=a+3a=4a$，∠F=90°，
在Rt△BCE中，$BC=3a$，$EC=4a$，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BC^2+EC^2}=\sqrt{(3a)^2+(4a)^2}=5a$，
∵四边形BHIE是正方形，
∴$EI=BE=5a$，
在Rt△EFI中，由勾股定理得：
$FI=\sqrt{EI^2-EF^2}=\sqrt{(5a)^2-(4a)^2}=3a$，
∴$\tan∠FEI=\frac{FI}{EF}=\frac{3a}{4a}=\frac{3}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题以古代“青朱出入图”为背景，综合考查了相似三角形、勾股定理及锐角三角函数的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质得到边长的比例关系，再结合勾股定理求出相关线段的长度。
【难度系数】
0.6
9. 如图，三个正六边形如图摆放，则$\sin∠ ACB=$
$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
.答案
9.$\frac{2\sqrt{7}}{7}$ 解析:如图,取BC的中点O,则点O为正六边形的外接圆的圆心,OB为半径.正六边形的一个中心角为$\frac{360°}{6}=60°$,
∴ 正六边形的边长等于其外接圆的半径,
∴ OB=OC=BD,过F作FG⊥AE,则可得△AGF≌△EGF(HL),
∴ ∠AFG=∠EFG.由多边形内角和得∠AFE=$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$,
∴ ∠AFG=∠EFG=60°,
∴ ∠FEG=30°.
∵ EF//HD,
∴ ∠HDG=∠FEG=30°,
∴ ∠ADC=120°-30°=90°,
∴ AD⊥CD,设正六边形的边长为a,则$\cos∠FAG=\frac{AG}{AF}$,即$\cos 30°=\frac{AG}{a}$,
∴ $AG=a×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$,
∴ $AD=4×\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}a$.在Rt△ADC中,$AD=2\sqrt{3}a$,$CD=3OB=3a$,
∴ $AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{21}a$,
∴ $\sin∠ACB=\frac{AD}{AC}=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{21}a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$.故答案为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.
解析
【分析】
要求$\sin∠ACB$，根据锐角三角函数的定义，需要将∠ACB放在直角三角形中，求出其对边与斜边的比值。首先利用正六边形的性质：内角为120°，边长等于外接圆半径，我们可以设正六边形的边长为参数$a$，通过作辅助线构造直角三角形，分别计算出∠ACB所在直角三角形的对边和斜边长度，代入正弦定义即可求解。
【解析】
取BC的中点O，则点O为最右侧正六边形的外接圆圆心，正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此正六边形的边长等于其外接圆半径，即$OB=OC=$正六边形边长。
设正六边形的边长为$a$，过左侧正六边形顶点F作$FG⊥ AE$于G，在$Rt△ AGF$和$Rt△ EGF$中，$AF=EF$，$FG=FG$，故$△ AGF≌△ EGF(HL)$，可得$∠ AFG=∠ EFG$。
由多边形内角和公式，正六边形的内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ AFE=120°$，因此$∠ AFG=∠ EFG=60°$，可得$∠ FAG=30°$。
在$Rt△ AGF$中，$\cos30°=\frac{AG}{AF}$，代入$AF=a$，得$AG=a·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，观察图形可得$AD=4AG=4×\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}a$。
由平行线性质及角度推导可得$∠ ADC=90°$，即$AD⊥ CD$，且$CD=3a$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}a)^2+(3a)^2}=\sqrt{12a^2+9a^2}=\sqrt{21}a$。
根据正弦的定义，$\sin∠ACB=\frac{AD}{AC}=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{21}a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
正六边形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题将正六边形的性质与锐角三角函数计算结合，解题的关键是合理设参数，通过作辅助线构造直角三角形，将所求锐角转化为直角三角形的内角，结合勾股定理和三角函数定义求解，很好地考查了几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求$\sin∠ACB$，根据锐角三角函数的定义，需要将∠ACB放在直角三角形中，求出其对边与斜边的比值。首先利用正六边形的性质：内角为120°，边长等于外接圆半径，我们可以设正六边形的边长为参数$a$，通过作辅助线构造直角三角形，分别计算出∠ACB所在直角三角形的对边和斜边长度，代入正弦定义即可求解。
【解析】
取BC的中点O，则点O为最右侧正六边形的外接圆圆心，正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，因此正六边形的边长等于其外接圆半径，即$OB=OC=$正六边形边长。
设正六边形的边长为$a$，过左侧正六边形顶点F作$FG⊥ AE$于G，在$Rt△ AGF$和$Rt△ EGF$中，$AF=EF$，$FG=FG$，故$△ AGF≌△ EGF(HL)$，可得$∠ AFG=∠ EFG$。
由多边形内角和公式，正六边形的内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ AFE=120°$，因此$∠ AFG=∠ EFG=60°$，可得$∠ FAG=30°$。
在$Rt△ AGF$中，$\cos30°=\frac{AG}{AF}$，代入$AF=a$，得$AG=a·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，观察图形可得$AD=4AG=4×\frac{\sqrt{3}}{2}a=2\sqrt{3}a$。
由平行线性质及角度推导可得$∠ ADC=90°$，即$AD⊥ CD$，且$CD=3a$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}a)^2+(3a)^2}=\sqrt{12a^2+9a^2}=\sqrt{21}a$。
根据正弦的定义，$\sin∠ACB=\frac{AD}{AC}=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{21}a}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
正六边形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题将正六边形的性质与锐角三角函数计算结合，解题的关键是合理设参数，通过作辅助线构造直角三角形，将所求锐角转化为直角三角形的内角，结合勾股定理和三角函数定义求解，很好地考查了几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10. （2025·安庆月考）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O，CE为△ABC边AB上的中线，CE=AD，则AO：OD=
进一步挑战进阶专题:P120 专题2
3:1
，sin∠CAB=$\frac{12}{13}$
。进一步挑战进阶专题:P120 专题2
答案
10. 3:1 $\frac{12}{13}$ 解析:如图,取BD中点F,连结EF,
∵ CE为△ABC边AB上的中线,
∴ EF为△ABD的中位线,
∴ AD=2EF,AD//EF.
∵ AD 是 △ABC 的角平分线,
∴ ∠CAO = ∠EAO.
∵ CE ⊥ AD,
∴ ∠AOC=∠AOE=90°.
∵ AO=AO,
∴ △AOC≌△AOE(ASA),
∴ OC=OE,AC=AE,
∴ O 是 CE 的中点.
∵ AD//EF,
∴ △COD∽△CEF,
∴ $\frac{OD}{EF}=\frac{OC}{CE}=\frac{1}{2}$,
∴ EF=2OD,
∴ AD=4OD,
∴ AO : OD=3OD : OD=3 : 1.作 CH⊥AE 于点 H,设 OD=a,
∴ AO=3a,CE=AD=4a,OC=2a.
在 Rt△AOC 中,由勾股定理得 $AC=\sqrt{OC^2+OA^2}=\sqrt{13}a$,在△ACE中,AE=AC,$S_{△ACE}=\frac{1}{2}AE·CH=\frac{1}{2}CE·OA$,
∴ $CH=\frac{CE·OA}{AE}=\frac{4a×3a}{\sqrt{13}a}=\frac{12\sqrt{13}}{13}a$,
∴ $\sin∠CAB=\frac{CH}{AC}=\frac{12}{13}$.
解析
【分析】
求解本题可分两步推导：①求AO:OD：首先由AD是角平分线且AD⊥CE，可证△AOC和△AOE全等，得到O是CE中点；再结合CE是AB边上的中线，构造BD中点F得到△ABD的中位线EF，利用中位线的平行、倍半关系，结合相似三角形的比例性质即可推导出AO与OD的比值。②求sin∠CAB：锐角正弦的本质是直角三角形中对边与斜边的比值，因此过C作AB的垂线CH，设OD为参数a，先用勾股定理求出AC的长度，再利用△ACE的两种面积表达式求出高CH，最后代入正弦的定义计算即可。
【解析】
求$AO:OD$
取BD中点F，连结EF。
∵ CE为△ABC边AB上的中线，
∴ E是AB中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ $AD=2EF$，且$AD// EF$。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ $∠ CAO=∠ EAO$，
∵ $CE⊥ AD$，
∴ $∠ AOC=∠ AOE=90°$，
又
∵ $AO=AO$，
∴ $△ AOC≌△ AOE(\mathrm{ASA})$，
∴ $OC=OE$，即O是CE的中点，且$AC=AE$。
∵ $AD// EF$，
∴ $△ COD∽△ CEF$，
∴ $\frac{OD}{EF}=\frac{OC}{CE}=\frac{1}{2}$，即$EF=2OD$，
结合$AD=2EF$得$AD=4OD$，
∴ $AO=AD-OD=3OD$，
∴ $AO:OD=3:1$。
求$\sin∠ CAB$
过点C作$CH⊥ AB$于点H，设$OD=a$，则$AO=3a$，$CE=AD=4a$，$OC=\frac{1}{2}CE=2a$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AO^2+OC^2}=\sqrt{(3a)^2+(2a)^2}=\sqrt{13}a$，
∴ $AE=AC=\sqrt{13}a$。
对于$△ ACE$，面积可表示为$\frac{1}{2}AE· CH$，也可表示为$\frac{1}{2}CE· AO$，
∴ $\frac{1}{2}·\sqrt{13}a· CH=\frac{1}{2}·4a·3a$，
解得$CH=\frac{12\sqrt{13}}{13}a$。
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$\sin∠ CAB=\frac{CH}{AC}=\frac{\frac{12\sqrt{13}}{13}a}{\sqrt{13}a}=\frac{12}{13}$。
【答案】
$3:1$；$\boldsymbol{\frac{12}{13}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查三角形全等、相似、中位线及锐角三角函数的相关知识，解题的关键是合理构造中位线作为辅助线，结合参数法和面积法简化计算，能有效提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
求解本题可分两步推导：①求AO:OD：首先由AD是角平分线且AD⊥CE，可证△AOC和△AOE全等，得到O是CE中点；再结合CE是AB边上的中线，构造BD中点F得到△ABD的中位线EF，利用中位线的平行、倍半关系，结合相似三角形的比例性质即可推导出AO与OD的比值。②求sin∠CAB：锐角正弦的本质是直角三角形中对边与斜边的比值，因此过C作AB的垂线CH，设OD为参数a，先用勾股定理求出AC的长度，再利用△ACE的两种面积表达式求出高CH，最后代入正弦的定义计算即可。
【解析】
求$AO:OD$
取BD中点F，连结EF。
∵ CE为△ABC边AB上的中线，
∴ E是AB中点，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ $AD=2EF$，且$AD// EF$。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ $∠ CAO=∠ EAO$，
∵ $CE⊥ AD$，
∴ $∠ AOC=∠ AOE=90°$，
又
∵ $AO=AO$，
∴ $△ AOC≌△ AOE(\mathrm{ASA})$，
∴ $OC=OE$，即O是CE的中点，且$AC=AE$。
∵ $AD// EF$，
∴ $△ COD∽△ CEF$，
∴ $\frac{OD}{EF}=\frac{OC}{CE}=\frac{1}{2}$，即$EF=2OD$，
结合$AD=2EF$得$AD=4OD$，
∴ $AO=AD-OD=3OD$，
∴ $AO:OD=3:1$。
求$\sin∠ CAB$
过点C作$CH⊥ AB$于点H，设$OD=a$，则$AO=3a$，$CE=AD=4a$，$OC=\frac{1}{2}CE=2a$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AO^2+OC^2}=\sqrt{(3a)^2+(2a)^2}=\sqrt{13}a$，
∴ $AE=AC=\sqrt{13}a$。
对于$△ ACE$，面积可表示为$\frac{1}{2}AE· CH$，也可表示为$\frac{1}{2}CE· AO$，
∴ $\frac{1}{2}·\sqrt{13}a· CH=\frac{1}{2}·4a·3a$，
解得$CH=\frac{12\sqrt{13}}{13}a$。
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中，$\sin∠ CAB=\frac{CH}{AC}=\frac{\frac{12\sqrt{13}}{13}a}{\sqrt{13}a}=\frac{12}{13}$。
【答案】
$3:1$；$\boldsymbol{\frac{12}{13}}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查三角形全等、相似、中位线及锐角三角函数的相关知识，解题的关键是合理构造中位线作为辅助线，结合参数法和面积法简化计算，能有效提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
