登录
1. 如图,在正方形网格中,点A,B,C都在格点上,利用格点按要求完成下列作图.(要求仅用无刻度的直尺,不要求写画法,保留必要的作图痕迹)
(1)在图①中线段AB上作点M,利用格点作图使得$\frac{AM}{BM}=\frac{3}{2}$；
(2)在图②中,利用格点在AC边上作一个点D,使得$△ ABD ∽ △ ACB.$
(1)在图①中线段AB上作点M,利用格点作图使得$\frac{AM}{BM}=\frac{3}{2}$；
(2)在图②中,利用格点在AC边上作一个点D,使得$△ ABD ∽ △ ACB.$
答案
1. (1)如图①,点M即为所求.(合理即可)
理由如下:构建Rt△ACB,将BC分成五等份,其中点N为其中的一个五等分点,过点N的格线交AB于点M,根据平行线分线段成比例定理可判断点M满足条件。
(2)如图②,点D即为所求.
理由如下:把AC绕点A逆时针旋转90°得到AE,平移AE使点A与点B重合,则点E的对应点为点F,BF与AC的交点为点D,此时∠ADB=∠ABC=90°,又
∵∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACB.
解析
【分析】
(1) 要得到线段AB上满足$\frac{AM}{BM}=\frac{3}{2}$的点M，可利用平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得对应线段成比例。先构造以AB为边的三角形，将三角形的另一条边分成3:2的两段，过该分点作第三边的平行线，与AB的交点就是所求点M。
(2) 要使$△ ABD ∽ △ ACB$，两个三角形已有公共角$∠ A$，根据相似三角形判定定理，只需再满足一组角对应相等即可。结合格点特征构造出符合角相等要求的线段，该线段与AC的交点就是所求点D。
【解析】
(1) 先构造$Rt△ ACB$，将BC边分为5等份，取分点N使得$\frac{CN}{NB}=\frac{3}{2}$，过N作平行于AC的格线交AB于点M。根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AM}{BM}=\frac{CN}{NB}=\frac{3}{2}$，点M满足要求。
(2) 利用格点将AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，平移AE使点A与点B重合，得到线段BF，BF与AC的交点即为D。此时$∠ ADB=∠ ABC=90°$，又$∠ A=∠ A$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ ACB$，点D满足要求。
【答案】
1. (1)如图①,点M即为所求.(合理即可)
(2)如图②,点D即为所求.
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定；格点作图
【点评】
本题结合网格考查作图能力，需要灵活运用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定定理，解题时要充分利用网格的格点特征构造符合要求的辅助线，侧重对基础知识应用和动手操作能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要得到线段AB上满足$\frac{AM}{BM}=\frac{3}{2}$的点M，可利用平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得对应线段成比例。先构造以AB为边的三角形，将三角形的另一条边分成3:2的两段，过该分点作第三边的平行线，与AB的交点就是所求点M。
(2) 要使$△ ABD ∽ △ ACB$，两个三角形已有公共角$∠ A$，根据相似三角形判定定理，只需再满足一组角对应相等即可。结合格点特征构造出符合角相等要求的线段，该线段与AC的交点就是所求点D。
【解析】
(1) 先构造$Rt△ ACB$，将BC边分为5等份，取分点N使得$\frac{CN}{NB}=\frac{3}{2}$，过N作平行于AC的格线交AB于点M。根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AM}{BM}=\frac{CN}{NB}=\frac{3}{2}$，点M满足要求。
(2) 利用格点将AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，平移AE使点A与点B重合，得到线段BF，BF与AC的交点即为D。此时$∠ ADB=∠ ABC=90°$，又$∠ A=∠ A$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ABD ∽ △ ACB$，点D满足要求。
【答案】
1. (1)如图①,点M即为所求.(合理即可)
(2)如图②,点D即为所求.
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定；格点作图
【点评】
本题结合网格考查作图能力，需要灵活运用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定定理，解题时要充分利用网格的格点特征构造符合要求的辅助线，侧重对基础知识应用和动手操作能力的考查。
【难度系数】
0.7
2. ★★★ 如图,在菱形ABCD中,点E在对角线AC上,延长BE交AD于点F.已知点P在边CD上,请以CP为边,用尺规作一个△CPQ与△AEF相似,并使得点Q在AC上.(只须作出一个△CPQ,保留作图痕迹,不写作法)
答案
2. 如图,△CPQ即为所求(答案不唯一,可作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE).
解析
【分析】
要作△CPQ与△AEF相似且点Q在AC上，首先结合菱形性质分析：菱形对角线AC平分内角，可得△AEF的∠EAF（即∠DAC）与△CPQ的∠PCQ（即∠DCA）天然相等，得到一组对应等角。根据相似三角形“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，只需再构造一组对应角相等即可：以P为顶点、CP为一边，作∠CPQ等于△AEF的∠AEF（或∠AFE），角的另一边与AC的交点即为Q，即可得到符合要求的相似三角形。
【解析】
1. 由菱形性质可知：AC是菱形ABCD的对角线，AC平分∠BAD和∠BCD，且AB//CD，因此∠DAC=∠DCA，即∠EAF=∠PCQ，得到第一组相等的对应角。
2. 根据相似三角形的AA判定定理，构造第二组等角：
任选以下一种方法作图即可：
① 用尺规作∠CPQ=∠AEF，射线PQ交AC于点Q，此时∠PCQ=∠EAF，∠CPQ=∠AEF，△CPQ∽△AEF；
② 用尺规作∠CPQ=∠AFE，射线PQ交AC于点Q，此时∠PCQ=∠EAF，∠CPQ=∠AFE，△CPQ∽△AEF。
作图时保留尺规作图痕迹即可。
【答案】
如图，△CPQ即为所求（答案不唯一，可作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE）。
【知识点】
相似三角形的判定；菱形的性质；尺规作角
【点评】
本题是典型的相似构造作图题，需要先挖掘图形中隐含的等角，再结合相似判定定理，通过尺规作等角完成构造，考查对几何性质、相似判定和作图技能的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要作△CPQ与△AEF相似且点Q在AC上，首先结合菱形性质分析：菱形对角线AC平分内角，可得△AEF的∠EAF（即∠DAC）与△CPQ的∠PCQ（即∠DCA）天然相等，得到一组对应等角。根据相似三角形“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，只需再构造一组对应角相等即可：以P为顶点、CP为一边，作∠CPQ等于△AEF的∠AEF（或∠AFE），角的另一边与AC的交点即为Q，即可得到符合要求的相似三角形。
【解析】
1. 由菱形性质可知：AC是菱形ABCD的对角线，AC平分∠BAD和∠BCD，且AB//CD，因此∠DAC=∠DCA，即∠EAF=∠PCQ，得到第一组相等的对应角。
2. 根据相似三角形的AA判定定理，构造第二组等角：
任选以下一种方法作图即可：
① 用尺规作∠CPQ=∠AEF，射线PQ交AC于点Q，此时∠PCQ=∠EAF，∠CPQ=∠AEF，△CPQ∽△AEF；
② 用尺规作∠CPQ=∠AFE，射线PQ交AC于点Q，此时∠PCQ=∠EAF，∠CPQ=∠AFE，△CPQ∽△AEF。
作图时保留尺规作图痕迹即可。
【答案】
如图，△CPQ即为所求（答案不唯一，可作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE）。
【知识点】
相似三角形的判定；菱形的性质；尺规作角
【点评】
本题是典型的相似构造作图题，需要先挖掘图形中隐含的等角，再结合相似判定定理，通过尺规作等角完成构造，考查对几何性质、相似判定和作图技能的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. ★★★ (2026·扬州期中)如图，$△ ABC$的顶点$A,B$分别在$∠ MON$的边$OM,ON$上，求作以点$O$为位似中心，在点$O$的同侧将$△ ABC$按位似比$2:1$放大后的三角形.(用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法，保留作图痕迹)
答案
3. 如图,△DEF即为所求.
解析
【分析】
要作以O为位似中心、在O同侧将△ABC按2:1放大的位似图形，需依据位似的性质：位似图形对应顶点的连线过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比。因此只需要分别找到A、B、C三点的对应点：将OA、OB、OC分别沿原射线方向延长（保证和原三角形在O同侧），使延长后的线段长度是原线段的2倍，得到对应点后顺次连接即可。
【解析】
1. 作射线OA，在射线OA上截取OD=2OA，得到点A的对应点D；
2. 作射线OB，在射线OB上截取OE=2OB，得到点B的对应点E；
3. 作射线OC，在射线OC上截取OF=2OC，得到点C的对应点F；
4. 顺次连接D、E、F三点，得到的△DEF就是所求作的放大后的三角形。
【答案】
如图,△DEF即为所求.
【知识点】
位似图形作图，位似的性质，尺规作图
【点评】
本题考查位似作图的基础应用，解题关键是明确位似中心、位似比、作图位置的要求，准确找到各顶点的对应点，作图时注意保留所有作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要作以O为位似中心、在O同侧将△ABC按2:1放大的位似图形，需依据位似的性质：位似图形对应顶点的连线过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比。因此只需要分别找到A、B、C三点的对应点：将OA、OB、OC分别沿原射线方向延长（保证和原三角形在O同侧），使延长后的线段长度是原线段的2倍，得到对应点后顺次连接即可。
【解析】
1. 作射线OA，在射线OA上截取OD=2OA，得到点A的对应点D；
2. 作射线OB，在射线OB上截取OE=2OB，得到点B的对应点E；
3. 作射线OC，在射线OC上截取OF=2OC，得到点C的对应点F；
4. 顺次连接D、E、F三点，得到的△DEF就是所求作的放大后的三角形。
【答案】
如图,△DEF即为所求.
【知识点】
位似图形作图，位似的性质，尺规作图
【点评】
本题考查位似作图的基础应用，解题关键是明确位似中心、位似比、作图位置的要求，准确找到各顶点的对应点，作图时注意保留所有作图痕迹。
【难度系数】
0.7
4. ★★★ (2026·菏泽期中)如图，$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$是位似图形，位似中心为$M$.
(1)画出点$M$的位置；
(2)$△ A_2B_2C_2$与$△ A_1B_1C_1$是以点$O$为位似中心的位似图形，且位似比为$1:2$，画出所有可能的$△ A_2B_2C_2$.
(1)画出点$M$的位置；
(2)$△ A_2B_2C_2$与$△ A_1B_1C_1$是以点$O$为位似中心的位似图形，且位似比为$1:2$，画出所有可能的$△ A_2B_2C_2$.
答案
4. (1)如图①所示,点M即为所求.
(2)如图②所示,△A₂B₂C₂即为所求.
解析
【分析】
(1) 求位似中心时，依据位似图形的性质：位似图形的任意两组对应顶点的连线都交于位似中心，因此只要连接两组对应顶点（如A与A₁、C与C₁），两条连线的交点就是所求的位似中心M。
(2) 作位似图形时，首先明确位似比为1:2的含义：△A₂B₂C₂的各顶点到位似中心O的距离是△A₁B₁C₁对应顶点到O距离的$\frac{1}{2}$；其次要注意位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，共两种情况，分别确定两种情况中A₂、B₂、C₂的位置，再顺次连接三个顶点即可得到所有符合要求的△A₂B₂C₂。
【解析】
(1) 分别连接对应点A和A₁、C和C₁，延长两条线段，它们的交点即为位似中心M，作图结果如图①所示。
(2) 分两种情况作图：
① 同侧位似：作射线OA₁、OB₁、OC₁，分别在三条射线上取点A₂、B₂、C₂，使$OA_2=\frac{1}{2}OA_1$、$OB_2=\frac{1}{2}OB_1$、$OC_2=\frac{1}{2}OC_1$，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到同侧的△A₂B₂C₂；
② 异侧位似：作射线A₁O、B₁O、C₁O（即OA₁、OB₁、OC₁的反向延长线），分别在三条射线上取点A₂、B₂、C₂，使$OA_2=\frac{1}{2}OA_1$、$OB_2=\frac{1}{2}OB_1$、$OC_2=\frac{1}{2}OC_1$，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到异侧的△A₂B₂C₂。
两种情况的作图结果如图②所示。
【答案】
(1)如图①所示,点M即为所求.
(2)如图②所示,△A₂B₂C₂即为所求.
【知识点】
位似图形性质；位似中心确定；位似图形作图
【点评】
本题考查位似相关的作图题，核心是理解位似图形的性质，找位似中心时只需找两组对应点连线的交点即可，作位似图形时要注意分位似中心同侧和异侧两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求位似中心时，依据位似图形的性质：位似图形的任意两组对应顶点的连线都交于位似中心，因此只要连接两组对应顶点（如A与A₁、C与C₁），两条连线的交点就是所求的位似中心M。
(2) 作位似图形时，首先明确位似比为1:2的含义：△A₂B₂C₂的各顶点到位似中心O的距离是△A₁B₁C₁对应顶点到O距离的$\frac{1}{2}$；其次要注意位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，共两种情况，分别确定两种情况中A₂、B₂、C₂的位置，再顺次连接三个顶点即可得到所有符合要求的△A₂B₂C₂。
【解析】
(1) 分别连接对应点A和A₁、C和C₁，延长两条线段，它们的交点即为位似中心M，作图结果如图①所示。
(2) 分两种情况作图：
① 同侧位似：作射线OA₁、OB₁、OC₁，分别在三条射线上取点A₂、B₂、C₂，使$OA_2=\frac{1}{2}OA_1$、$OB_2=\frac{1}{2}OB_1$、$OC_2=\frac{1}{2}OC_1$，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到同侧的△A₂B₂C₂；
② 异侧位似：作射线A₁O、B₁O、C₁O（即OA₁、OB₁、OC₁的反向延长线），分别在三条射线上取点A₂、B₂、C₂，使$OA_2=\frac{1}{2}OA_1$、$OB_2=\frac{1}{2}OB_1$、$OC_2=\frac{1}{2}OC_1$，顺次连接A₂、B₂、C₂，得到异侧的△A₂B₂C₂。
两种情况的作图结果如图②所示。
【答案】
(1)如图①所示,点M即为所求.
(2)如图②所示,△A₂B₂C₂即为所求.
【知识点】
位似图形性质；位似中心确定；位似图形作图
【点评】
本题考查位似相关的作图题，核心是理解位似图形的性质，找位似中心时只需找两组对应点连线的交点即可，作位似图形时要注意分位似中心同侧和异侧两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
