1. 分类讨论思想 如图,抛物线$y=ax^2+bx+3(a≠0)$经过$x$轴上$A(-1,0)$,$B$两点,抛物线的对称轴是直线$x=1$.
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线与直线$y=-x-1$交于$A,E$两点,与$y$轴交于点$C$,直线$y=-x-1$与$y$轴交于点$D$.点$P$在$x$轴上,若以$P,B,C$为顶点的三角形与$△ ABE$相似,求点$P$的坐标.

(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+3(a≠0)$经过 x 轴上$A(-1,0)$,且对称轴为直线$x=1$,
∴ $\begin{cases}a-b+3=0,\\-\frac{b}{2a}=1,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴ 抛物线表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
(2)在 $y=-x^2+2x+3$ 中,当 $y=-x^2+2x+3=0$ 时,解得 $x=-1$ 或 $x=3$,
∴ $B(3,0)$.在 $y=-x^2+2x+3$ 中,当 $x=0$ 时,$y=3$,则 $C(0,3)$,
∴ $OC = OB = 3$,
∴ $∠OBC = 45°$, $BC = \sqrt{3^2+3^2} = 3\sqrt{2}$, 联立 $\begin{cases}y=-x-1,\\y=-x^2+2x+3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=4,\\y=-5\end{cases}$或$\begin{cases}x=-1,\\y=0\end{cases}$,(舍去),
∴ $E(4,-5)$,
∴ $AE= \sqrt{(-1-4)^2+[0-(-5)]^2}=5\sqrt{2}$.
如图,在 $y=-x-1$ 中,当 $x=0$ 时,$y=-1$,则$D(0,-1)$,
∴ $OA=OD=1$,
∴ $∠OAD=45°=∠OBC$,
∴ 当以 $P,B,C$ 为顶点的三角形与$△ABE$相似时,只存在$△ABE∽△BCP$ 或 $△ABE∽△BPC$ 两种情况,
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{BP}$或$\frac{AB}{BP}=\frac{AE}{BC}$,
∴ $\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{BP}$或$\frac{4}{BP}=\frac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$,
∴ $BP=\frac{15}{2}$ 或 $BP=\frac{12}{5}$,
∴ 点 $P$ 的横坐标为 $3-\frac{15}{2}=-\frac{9}{2}$或$3-\frac{12}{5}=\frac{3}{5}$,
∴ 点 $P$ 的坐标为 $(-\frac{9}{2},0)$或$(\frac{3}{5},0)$.

【分析】
(1) 求抛物线表达式可采用待定系数法：已知抛物线过点$A(-1,0)$，且对称轴为直线$x=1$，将$A$点坐标代入解析式，结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，列二元一次方程组求解$a$、$b$的值即可。
(2) 解决相似存在性问题分三步：① 先求各相关点坐标：分别求抛物线与$x$轴交点$B$、与$y$轴交点$C$，联立抛物线和直线$AE$解析式求交点$E$，同时得直线$AE$与$y$轴交点$D$；② 找等角：通过线段长度计算得$∠OBC=∠BAE=45°$，确定该组角为相似三角形的对应角；③ 分类讨论：对应角的两边成比例有两种情况，分别列比例式计算$BP$长度，结合$B$点坐标求$P$点横坐标即可，注意$P$在$x$轴上，纵坐标为0。
【解析】
(1)
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+3(a≠0)$经过点$A(-1,0)$，且对称轴为直线$x=1$，
∴ $\begin{cases}a-b+3=0,\\-\frac{b}{2a}=1,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x+3$。
(2) 在$y=-x^2+2x+3$中，令$y=0$，即$-x^2+2x+3=0$，解得$x=-1$或$x=3$，
∴ $B(3,0)$。
令$x=0$，得$y=3$，
∴ $C(0,3)$，
∴ $OC=OB=3$，则$∠OBC=45°$，$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
联立$\begin{cases}y=-x-1,\\y=-x^2+2x+3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-1,\\y=0\end{cases}$（即点$A$，舍去）或$\begin{cases}x=4,\\y=-5,\end{cases}$
∴ $E(4,-5)$，
∴ $AE=\sqrt{(-1-4)^2+[0-(-5)]^2}=5\sqrt{2}$，$AB=3-(-1)=4$。
在$y=-x-1$中，令$x=0$，得$y=-1$，
∴ $D(0,-1)$，
∴ $OA=OD=1$，则$∠OAD=45°=∠OBC$，即$∠BAE=∠PBC$。
∵ 以$P$、$B$、$C$为顶点的三角形与$△ABE$相似，且$∠BAE=∠PBC$，因此分两种情况：
① 当$△ABE∽△BCP$时，$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{BP}$，
代入得$\frac{4}{3\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{BP}$，解得$BP=\frac{15}{2}$，
∵ 点$P$在$x$轴上，$B$点横坐标为3，
∴ $P$点横坐标为$3-\frac{15}{2}=-\frac{9}{2}$，即$P(-\frac{9}{2},0)$；
② 当$△ABE∽△BPC$时，$\frac{AB}{BP}=\frac{AE}{BC}$，
代入得$\frac{4}{BP}=\frac{5\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，解得$BP=\frac{12}{5}$，
∴ $P$点横坐标为$3-\frac{12}{5}=\frac{3}{5}$，即$P(\frac{3}{5},0)$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) 点$P$的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{9}{2},0)}$或$\boldsymbol{(\frac{3}{5},0)}$。

【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、函数交点坐标求解
【点评】
本题将二次函数与相似三角形的存在性问题结合，解题关键是先通过坐标运算确定两个三角形的一组相等对应角，再分类讨论相似的两种对应边比例关系，计算时要注意线段长度与点坐标的转换，避免漏解。
【难度系数】
0.6

2. |分类讨论思想 在平面直角坐标系中,二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$的图象与x轴交于$A(-2,0)$,$B(4,0)$两点,交y轴于点C,点P是第四象限内抛物线上的一个动点.
(1)求二次函数的表达式.
(2)如图,连结AC,PA,PC,若$S_{△ PAC}=\frac{15}{2}$,求点P的坐标.
(3)在二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$的图象上是否存在点M,使$△ ACM$是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)
∵ 二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$ 的图象与 x 轴交于 $A(-2,0)$,$B(4,0)$ 两点,
∴ 二次函数的表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+2)(x-4)=\frac{1}{2}x^2-x-4$.
(2)如图①,连结 $OP$,设点 $P$ 的坐标为 $(m,\frac{1}{2}m^2-m-4)(0＜m＜4)$,当 $x=0$ 时,得 $y=-4$,则 $C(0,-4)$.
∵ $A(-2,0)$,
∴ $S_{△ACP}=S_{△ACO}+S_{△OPC}-S_{△AOP}$,
∴ $\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×4×m-\frac{1}{2}×2×(-\frac{1}{2}m^2+m+4)=\frac{15}{2}$,整理得 $m^2+2m-15=0$,解得 $m=3$ 或 $m=-5$(点 $P$ 在第四象限,故舍去),
∴ $P(3,-\frac{5}{2})$.

(3)存在.设点 $M$ 的坐标为 $(t,\frac{1}{2}t^2-t-4)$,如图②,当 $AM$ 为直角边时,过点 $M$ 作 $MN⊥x$ 轴于点 $N$,易得$△AOC∽△MNA$,
∴ $\frac{AO}{OC}=\frac{MN}{AN}$,即 $\frac{2}{4}=\frac{\frac{1}{2}t^2-t-4}{t+2}$,化简得 $t^2-3t-10=0$,解得 $t=5$ 或 $t=-2$(舍去),故 $M(5,\frac{7}{2})$;
如图③,当 $CM$ 为直角边时,过点 $M$ 作 $MK⊥y$ 轴于点 $K$,易得 $△AOC∽△CKM$,
∴ $\frac{AO}{OC} = \frac{CK}{KM}$, 即 $\frac{2}{4} =\frac{4-(-\frac{1}{2}t^2+t+4)}{t}$,化简得 $t^2-3t=0$,解得$t=3$ 或 $t=0$(舍去),故 $M(3,-\frac{5}{2})$.综上,存在点 $M$,使$△ACM$ 是以 $AC$ 为直角边的直角三角形,点 $M$ 的坐标为 $(5,\frac{7}{2})$ 或 $(3,-\frac{5}{2})$.

【分析】
(1)已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标，可直接用交点式写出函数表达式，再整理为一般式即可，也可将两点坐标代入一般式列方程组求解参数。
(2)先求出C点坐标，设出P点横坐标，用含横坐标的代数式表示P点纵坐标，再通过割补法将△PAC的面积转化为几个规则三角形的面积和差，列方程求解，结合P点所在象限舍去不符合的解即可。
(3)△ACM以AC为直角边，需分两种情况讨论：①A为直角顶点；②C为直角顶点。两种情况均通过作垂线构造与△AOC相似的三角形，利用相似三角形对应边成比例列方程求解，舍去与A、C重合的解，即可得到M点坐标。
【解析】
(1)
∵ 二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$ 的图象与 x 轴交于 $A(-2,0)$,$B(4,0)$ 两点，
∴ 二次函数的表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+2)(x-4)=\frac{1}{2}x^2-x-4$。
(2)如图①，连结 $OP$，设点 $P$ 的坐标为 $(m,\frac{1}{2}m^2-m-4)(0＜m＜4)$，当 $x=0$ 时，得 $y=-4$，则 $C(0,-4)$。
∵ $A(-2,0)$，
∴ $S_{△ACP}=S_{△ACO}+S_{△OPC}-S_{△AOP}$，
∴ $\frac{1}{2}×2×4+\frac{1}{2}×4×m-\frac{1}{2}×2×(-\frac{1}{2}m^2+m+4)=\frac{15}{2}$，整理得 $m^2+2m-15=0$，解得 $m=3$ 或 $m=-5$(点 $P$ 在第四象限，故舍去)，
∴ $P(3,-\frac{5}{2})$。

(3)存在。设点 $M$ 的坐标为 $(t,\frac{1}{2}t^2-t-4)$，如图②，当 $AM$ 为直角边时，过点 $M$ 作 $MN⊥x$ 轴于点 $N$，易得$△AOC∽△MNA$，
∴ $\frac{AO}{OC}=\frac{MN}{AN}$，即 $\frac{2}{4}=\frac{\frac{1}{2}t^2-t-4}{t+2}$，化简得 $t^2-3t-10=0$，解得 $t=5$ 或 $t=-2$(舍去)，故 $M(5,\frac{7}{2})$；
如图③，当 $CM$ 为直角边时，过点 $M$ 作 $MK⊥y$ 轴于点 $K$，易得 $△AOC∽△CKM$，
∴ $\frac{AO}{OC} = \frac{CK}{KM}$， 即 $\frac{2}{4} =\frac{4-(-\frac{1}{2}t^2+t+4)}{t}$，化简得 $t^2-3t=0$，解得$t=3$ 或 $t=0$(舍去)，故 $M(3,-\frac{5}{2})$。综上，存在点 $M$，使$△ACM$ 是以 $AC$ 为直角边的直角三角形，点 $M$ 的坐标为 $(5,\frac{7}{2})$ 或 $(3,-\frac{5}{2})$。

【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2-x-4$
(2) $P(3,-\frac{5}{2})$
(3) 存在，点M的坐标为$(5,\frac{7}{2})$或$(3,-\frac{5}{2})$
【知识点】
二次函数解析式确定，割补法求面积，相似三角形应用
【点评】
本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质、坐标系中图形面积的计算、直角三角形存在性的分类讨论，解题时要结合几何图形性质列关系式，注意分类讨论不要漏解，及时舍去不符合题意的结果。
【难度系数】
0.5