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1. 如图,平面直角坐标系中,抛物线$y=x^2+bx+c$与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于$A,B$两点,直线$y=-x+3$恰好经过$B,C$两点.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)点$P$在抛物线的对称轴上,设抛物线的顶点为$D$,且$∠ APD=∠ ACB$,求点$P$的坐标.
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)点$P$在抛物线的对称轴上,设抛物线的顶点为$D$,且$∠ APD=∠ ACB$,求点$P$的坐标.
答案
1. (1)当x=0时,y=0+3=3,即点C(0,3);当y=0时,0=-x+3,解得x=3,故点B(3,0),将点B(3,0),C(0,3)分别代入$y=x^2+bx+c$中,得$\begin{cases}9+3b+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-4,\\c=3,\end{cases}$
∴ 抛物线的表达式为$y=x^2-4x+3$,
∴ $y=(x-2)^2-1$,
∴ 抛物线的顶点坐标为(2,-1).
(2)由(1)可得点D的坐标为(2,-1),点A的坐标为(1,0),由OC=OB=3可知,△OBC是等腰直角三角形,$BC=3\sqrt{2}$,$AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,如图,过点A作$AE⊥ BC$,垂足为点E,设对称轴与x轴的交点为点H,
∵ $∠EBA = ∠OBC = 45°$,$∠BEA = ∠BOC=90°$,
∴ $△ EBA ∽ △ OBC$,
∴ $\frac{BA}{BC}=\frac{BE}{BO}=\frac{AE}{CO}$,即$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{BE}{3}=\frac{AE}{3}$,
∴ $AE=BE=\sqrt{2}$,
∴ $CE=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
∵ $∠APD=∠ACB$,$∠AEC=∠AHP=90°$,
∴ $△ AEC ∽ △ AHP$,
∴ $\frac{CE}{PH}=\frac{AE}{AH}$,即$PH=\frac{2\sqrt{2}×1}{\sqrt{2}}=2$.
∵ 点P在对称轴上,
∴ 点P的坐标为(2,2)或(2,-2).
解析
【分析】
(1) 首先根据直线解析式求出B、C两点坐标，再利用待定系数法将两点坐标代入抛物线解析式求出未知系数，最后将抛物线解析式配方为顶点式即可得到顶点坐标。
(2) 先求出点A坐标，结合△OBC为等腰直角三角形的性质，过点A作AE⊥BC构造相似三角形求出AE、CE的长度；再根据∠APD=∠ACB证明△AEC与△AHP相似，利用相似三角形的比例关系求出PH的长度，注意点P可在x轴上下两侧，分两种情况得到P的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+3$：
当$x=0$时，$y=3$，即$C(0,3)$；
当$y=0$时，$0=-x+3$，解得$x=3$，即$B(3,0)$。
将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9+3b+c=0\\c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4\\c=3\end{cases}$
∴抛物线解析式为$y=x^2-4x+3$，配方得$y=(x-2)^2-1$，
∴抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$。
(2) 由(1)得顶点$D(2,-1)$，令$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，故$A(1,0)$。
∵$OC=OB=3$，$∠BOC=90°$，
∴△OBC是等腰直角三角形，$BC=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
过点A作$AE⊥BC$，垂足为E，设抛物线对称轴与x轴交点为H：
∵$∠EBA=∠OBC=45°$，$∠BEA=∠BOC=90°$，
∴$△EBA∽△OBC$，
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BE}{BO}=\frac{AE}{CO}$，其中$BA=3-1=2$，代入得$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{BE}{3}=\frac{AE}{3}$，
解得$AE=BE=\sqrt{2}$，
∴$CE=BC-BE=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
∵$∠APD=∠ACB$，$∠AEC=∠AHP=90°$，
∴$△AEC∽△AHP$，
∴$\frac{CE}{PH}=\frac{AE}{AH}$，其中$AH=2-1=1$，代入得$\frac{2\sqrt{2}}{PH}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，解得$PH=2$。
∵点P在对称轴$x=2$上，
∴点P坐标为$(2,2)$或$(2,-2)$。
【答案】
(1) 抛物线的顶点坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$或$\boldsymbol{(2,-2)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，相似三角形的应用，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，第一问为基础题型，考查函数解析式的求解；第二问需要将角度相等的条件转化为相似三角形的判定条件，通过线段比例求解未知点坐标，解题时要注意分类讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据直线解析式求出B、C两点坐标，再利用待定系数法将两点坐标代入抛物线解析式求出未知系数，最后将抛物线解析式配方为顶点式即可得到顶点坐标。
(2) 先求出点A坐标，结合△OBC为等腰直角三角形的性质，过点A作AE⊥BC构造相似三角形求出AE、CE的长度；再根据∠APD=∠ACB证明△AEC与△AHP相似，利用相似三角形的比例关系求出PH的长度，注意点P可在x轴上下两侧，分两种情况得到P的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=-x+3$：
当$x=0$时，$y=3$，即$C(0,3)$；
当$y=0$时，$0=-x+3$，解得$x=3$，即$B(3,0)$。
将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9+3b+c=0\\c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4\\c=3\end{cases}$
∴抛物线解析式为$y=x^2-4x+3$，配方得$y=(x-2)^2-1$，
∴抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$。
(2) 由(1)得顶点$D(2,-1)$，令$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，故$A(1,0)$。
∵$OC=OB=3$，$∠BOC=90°$，
∴△OBC是等腰直角三角形，$BC=3\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
过点A作$AE⊥BC$，垂足为E，设抛物线对称轴与x轴交点为H：
∵$∠EBA=∠OBC=45°$，$∠BEA=∠BOC=90°$，
∴$△EBA∽△OBC$，
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BE}{BO}=\frac{AE}{CO}$，其中$BA=3-1=2$，代入得$\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{BE}{3}=\frac{AE}{3}$，
解得$AE=BE=\sqrt{2}$，
∴$CE=BC-BE=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
∵$∠APD=∠ACB$，$∠AEC=∠AHP=90°$，
∴$△AEC∽△AHP$，
∴$\frac{CE}{PH}=\frac{AE}{AH}$，其中$AH=2-1=1$，代入得$\frac{2\sqrt{2}}{PH}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，解得$PH=2$。
∵点P在对称轴$x=2$上，
∴点P坐标为$(2,2)$或$(2,-2)$。
【答案】
(1) 抛物线的顶点坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{(2,2)}$或$\boldsymbol{(2,-2)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，相似三角形的应用，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，第一问为基础题型，考查函数解析式的求解；第二问需要将角度相等的条件转化为相似三角形的判定条件，通过线段比例求解未知点坐标，解题时要注意分类讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. 如图,已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过$A(-3,0),B(5,0),C(0,5)$三点,$O$为坐标原点.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)若把抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$向下平移$\frac{13}{3}$个单位长度,再向右平移$n(n＞0)$个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点$M$在$△ ABC$内,求$n$的取值范围;
(3)设点$P$在$y$轴上,且满足$∠ OPA+∠ OCA=∠ CBA$,求$CP$的长.
进一步挑战进阶专题:P116 专题26
(1)求此抛物线的表达式;
(2)若把抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$向下平移$\frac{13}{3}$个单位长度,再向右平移$n(n＞0)$个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点$M$在$△ ABC$内,求$n$的取值范围;
(3)设点$P$在$y$轴上,且满足$∠ OPA+∠ OCA=∠ CBA$,求$CP$的长.
进一步挑战进阶专题:P116 专题26
答案
2. (1)把A,B,C三点的坐标代入$y=ax^2+bx+c(a≠0)$可得,
$\begin{cases}9a-3b+c=0,\\25a+5b+c=0,\\c=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{3},\\b=\frac{2}{3},\\c=5,\end{cases}$
∴ 抛物线表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+5$.
(2)
∵ $y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+5=-\frac{1}{3}(x-1)^2+\frac{16}{3}$,
∴ 抛物线顶点坐标为$(1,\frac{16}{3})$,
∴ 当抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$向下平移$\frac{13}{3}$个单位长度,再向右平移$n(n＞0)$个单位长度后,得到的新抛物线的顶点M的坐标为(1+n,1),设直线BC的表达式为$y=kx+m$,把B,C两点坐标代入可得$\begin{cases}5k+m=0,\\m=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\m=5,\end{cases}$
∴ 直线BC的表达式为$y=-x+5$,把y=1代入可得1=-x+5,解得x=4.
∵ 新抛物线的顶点M在△ABC内,
∴ 1+n＜4,且n＞0,解得0＜n＜3,即n的取值范围为0＜n＜3.
(3)当点P在y轴负半轴上时,如图①,过点P作$PD⊥ AC$,交CA的延长线于点D,则$∠PDA=90°$,由题意可知OB=OC=5,$∠BOC=90°$,
∴ $∠CBA=45°$,
∴ $∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°$,
∴ $∠PAD=∠APD=45°$,
∴ AD=PD.在Rt△OAC中,OA=3,OC=5,
∴ $AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$,设PD=AD=p,则$CD=AC+AD=\sqrt{34}+p$.
∵ $∠ACO=∠PCD$,$∠COA=∠PDC=90°$,
∴ $△ COA ∽ △ CDP$,
∴ $\frac{CO}{CD}=\frac{AO}{PD}=\frac{AC}{PC}$,即$\frac{5}{\sqrt{34}+p}=\frac{3}{p}=\frac{\sqrt{34}}{PC}$,解得$p=\frac{3\sqrt{34}}{2}$,$PC=17$,
∴ $PO=PC-OC=17-5=12$.
如图②,在y轴正半轴上截取$OP'=OP=12$,连结$AP'$,
∵ $AO⊥ PP'$,
∴ AO垂直平分$PP'$,
∴ $AP=AP'$,
∴ $∠OP'A=∠OPA$,
∴ $∠OP'A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA$,
∴ 点$P'$也满足题目条件,此时$P'C=OP'-OC=12-5=7$.
综上可知CP的长为7或17.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过A、B、C三个定点，可采用待定系数法，将三点坐标代入抛物线的一般式$y=ax^2+bx+c$，联立三元一次方程组求解系数，即可得到抛物线表达式。
(2) 先将原抛物线解析式配方为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标，再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，得到平移后新抛物线的顶点M的坐标。要使M在△ABC内部，先求出直线BC的解析式，结合M的纵坐标为1，求出M落在BC上时的横坐标，再根据三角形内部的位置限制，即可得到n的取值范围。
(3) 首先由OB=OC=5、∠BOC=90°可得∠CBA=45°，即题目给出的角度和为45°，分两种情况讨论：①点P在y轴负半轴时，过P作PD垂直于CA的延长线，利用三角形外角性质可得△ADP为等腰直角三角形，再证明△COA与△CDP相似，利用相似三角形对应边成比例求出PC的长度；②点P在y轴正半轴时，利用轴对称的性质，可得正半轴上存在对称点P'也满足角度条件，计算对应P'C的长度即可。
【解析】
(1) 把A(-3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点的坐标代入$y=ax^2+bx+c(a≠0)$可得：
$\begin{cases}9a-3b+c=0,\\25a+5b+c=0,\\c=5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{3},\\b=\frac{2}{3},\\c=5,\end{cases}$
∴ 抛物线表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+5$。
(2) 将原抛物线解析式配方：
$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+5=-\frac{1}{3}(x-1)^2+\frac{16}{3}$，
∴ 原抛物线顶点坐标为$(1,\frac{16}{3})$，
将抛物线向下平移$\frac{13}{3}$个单位长度，再向右平移$n(n＞0)$个单位长度后，新抛物线顶点M的坐标为$(1+n,\frac{16}{3}-\frac{13}{3})$，即$(1+n,1)$。
设直线BC的表达式为$y=kx+m$，把B(5,0)、C(0,5)代入可得：
$\begin{cases}5k+m=0,\\m=5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\m=5,\end{cases}$
∴ 直线BC的表达式为$y=-x+5$。
把$y=1$代入直线BC解析式得$1=-x+5$，解得$x=4$。
∵ 顶点M在△ABC内，
∴ 横坐标满足$0＜1+n＜4$，结合$n＞0$，解得$0＜n＜3$，即n的取值范围为$0＜n＜3$。
(3) 由题意得OB=OC=5，∠BOC=90°，
∴ $∠CBA=45°$，即$∠OPA+∠OCA=45°$。
① 当点P在y轴负半轴上时，如图①，过点P作$PD⊥AC$，交CA的延长线于点D，则$∠PDA=90°$，
由三角形外角性质得$∠PAD=∠OPA+∠OCA=45°$，
∴ $∠PAD=∠APD=45°$，即AD=PD。
在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，
∴ $AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$。
设PD=AD=p，则$CD=AC+AD=\sqrt{34}+p$。
∵ $∠ACO=∠PCD$，$∠COA=∠PDC=90°$，
∴ $△COA∽△CDP$，
∴ $\frac{CO}{CD}=\frac{AO}{PD}=\frac{AC}{PC}$，即$\frac{5}{\sqrt{34}+p}=\frac{3}{p}=\frac{\sqrt{34}}{PC}$，
解得$p=\frac{3\sqrt{34}}{2}$，$PC=17$，此时$PO=PC-OC=17-5=12$。
② 如图②，在y轴正半轴上截取$OP'=OP=12$，连结$AP'$，
∵ $AO⊥PP'$，
∴ AO垂直平分$PP'$，
∴ $AP=AP'$，
∴ $∠OP'A=∠OPA$，
∴ $∠OP'A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA$，即点$P'$也满足条件，
此时$P'C=OP'-OC=12-5=7$。
综上，CP的长为7或17。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+5$；
(2) $0＜n＜3$；
(3) 7或17。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图像的平移；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题为二次函数与几何的综合题，考查了二次函数的基础性质、图像平移规律、角度计算及相似三角形的应用，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免第三问漏解。
【难度系数】
0.3
(1) 已知抛物线经过A、B、C三个定点，可采用待定系数法，将三点坐标代入抛物线的一般式$y=ax^2+bx+c$，联立三元一次方程组求解系数，即可得到抛物线表达式。
(2) 先将原抛物线解析式配方为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标，再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，得到平移后新抛物线的顶点M的坐标。要使M在△ABC内部，先求出直线BC的解析式，结合M的纵坐标为1，求出M落在BC上时的横坐标，再根据三角形内部的位置限制，即可得到n的取值范围。
(3) 首先由OB=OC=5、∠BOC=90°可得∠CBA=45°，即题目给出的角度和为45°，分两种情况讨论：①点P在y轴负半轴时，过P作PD垂直于CA的延长线，利用三角形外角性质可得△ADP为等腰直角三角形，再证明△COA与△CDP相似，利用相似三角形对应边成比例求出PC的长度；②点P在y轴正半轴时，利用轴对称的性质，可得正半轴上存在对称点P'也满足角度条件，计算对应P'C的长度即可。
【解析】
(1) 把A(-3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点的坐标代入$y=ax^2+bx+c(a≠0)$可得：
$\begin{cases}9a-3b+c=0,\\25a+5b+c=0,\\c=5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{3},\\b=\frac{2}{3},\\c=5,\end{cases}$
∴ 抛物线表达式为$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+5$。
(2) 将原抛物线解析式配方：
$y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+5=-\frac{1}{3}(x-1)^2+\frac{16}{3}$，
∴ 原抛物线顶点坐标为$(1,\frac{16}{3})$，
将抛物线向下平移$\frac{13}{3}$个单位长度，再向右平移$n(n＞0)$个单位长度后，新抛物线顶点M的坐标为$(1+n,\frac{16}{3}-\frac{13}{3})$，即$(1+n,1)$。
设直线BC的表达式为$y=kx+m$，把B(5,0)、C(0,5)代入可得：
$\begin{cases}5k+m=0,\\m=5,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\m=5,\end{cases}$
∴ 直线BC的表达式为$y=-x+5$。
把$y=1$代入直线BC解析式得$1=-x+5$，解得$x=4$。
∵ 顶点M在△ABC内，
∴ 横坐标满足$0＜1+n＜4$，结合$n＞0$，解得$0＜n＜3$，即n的取值范围为$0＜n＜3$。
(3) 由题意得OB=OC=5，∠BOC=90°，
∴ $∠CBA=45°$，即$∠OPA+∠OCA=45°$。
① 当点P在y轴负半轴上时，如图①，过点P作$PD⊥AC$，交CA的延长线于点D，则$∠PDA=90°$，
由三角形外角性质得$∠PAD=∠OPA+∠OCA=45°$，
∴ $∠PAD=∠APD=45°$，即AD=PD。
在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，
∴ $AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$。
设PD=AD=p，则$CD=AC+AD=\sqrt{34}+p$。
∵ $∠ACO=∠PCD$，$∠COA=∠PDC=90°$，
∴ $△COA∽△CDP$，
∴ $\frac{CO}{CD}=\frac{AO}{PD}=\frac{AC}{PC}$，即$\frac{5}{\sqrt{34}+p}=\frac{3}{p}=\frac{\sqrt{34}}{PC}$，
解得$p=\frac{3\sqrt{34}}{2}$，$PC=17$，此时$PO=PC-OC=17-5=12$。
② 如图②，在y轴正半轴上截取$OP'=OP=12$，连结$AP'$，
∵ $AO⊥PP'$，
∴ AO垂直平分$PP'$，
∴ $AP=AP'$，
∴ $∠OP'A=∠OPA$，
∴ $∠OP'A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA$，即点$P'$也满足条件，
此时$P'C=OP'-OC=12-5=7$。
综上，CP的长为7或17。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x+5$；
(2) $0＜n＜3$；
(3) 7或17。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图像的平移；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题为二次函数与几何的综合题，考查了二次函数的基础性质、图像平移规律、角度计算及相似三角形的应用，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免第三问漏解。
【难度系数】
0.3
