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3. 直线$y=-x+2$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，点$C$，抛物线经过点$A$，$C$，且与$x$轴的另一个交点为$B(-1,0)$。
(1)求抛物线的表达式。
(2)点$D$为第一象限内抛物线上的一动点。
①如图①，若$CD=AD$，求点$D$的坐标；
②如图②，$BD$与$AC$交于点$E$，求$S_{△ CDE}:S_{△ CBE}$的最大值。
(1)求抛物线的表达式。
(2)点$D$为第一象限内抛物线上的一动点。
①如图①，若$CD=AD$，求点$D$的坐标；
②如图②，$BD$与$AC$交于点$E$，求$S_{△ CDE}:S_{△ CBE}$的最大值。
答案
3. (1)当$x=0$时,$y=-x+2=2$,则$C(0,2)$,当$y=0$时,$-x+2=0$,解得
$x=2$,则$A(2,0)$,设抛物线表达式为$y=a(x+1)·(x-2)$,把$C(0,2)$
代入得$a×1×(-2)=2$,解得$a=-1$,$\therefore$ 抛物线表达式为$y=-(x+1)·$
$(x-2)$,即$y=-x^2+x+2$.
(2)①$\because OA=OC$,$\therefore △ OAC$ 为等腰直角三角形.$\because DC=DA$,$\therefore$ 点$D$
在$AC$ 的垂直平分线上,即点$D$ 在直线$y=x$上,设$D(m,m)(m＞0)$,
把$D(m,m)$代入$y=-x^2+x+2$,得$-m^2+m+2=m$,解得$m_1=\sqrt{2}$,$m_2=$
$-\sqrt{2}$(舍去),$\therefore$ 点$D$ 的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$.
②作$DF// y$ 轴交$AC$ 于点$F$,$BG// y$ 轴交直线$AC$ 于点$G$,如图
,$\because DF// BG$,$\therefore △ DEF ∽ △ BEG$,$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{DF}{BG}$.$\because S_{△ CDE}:S_{△ CBE}=\frac{DE}{BE}$,
$\therefore S_{△ CDE}:S_{△ CBE}=\frac{DF}{BG}$,当$x=-1$时,$y=-x+2=3$,则$G(-1,3)$.设$D(t$,
$-t^2+t+2)(0＜t＜2)$,则$F(t,-t+2)$,$\therefore DF=-t^2+t+2-(-t+2)=-t^2+2t$,
$\therefore S_{△ CDE}:S_{△ CBE}=\frac{DF}{BG}=\frac{-t^2+2t}{3}=-\frac{1}{3}(t-1)^2+\frac{1}{3}$,$\therefore$ 当$t=1$时,
$S_{△ CDE}:S_{△ CBE}$的最大值为$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 首先求出直线$y=-x+2$与坐标轴的交点$A$、$C$的坐标，已知抛物线与$x$轴的两个交点$A$、$B$，因此设抛物线的交点式，代入$C$点坐标即可求出抛物线解析式。
(2) ① 由$CD=AD$可知点$D$在$AC$的垂直平分线上，先判断$△ OAC$是等腰直角三角形，可得$AC$的垂直平分线为直线$y=x$，联立抛物线解析式即可求出第一象限内$D$的坐标。
② $△ CDE$和$△ CBE$同高，因此面积比等于底$DE$与$BE$的比值；过$D$作$DF// y$轴交$AC$于$F$，过$B$作$BG// y$轴交$AC$于$G$，可证$△ DEF∽△ BEG$，将$DE:BE$转化为$DF:BG$；先求出$BG$的长度，设$D$点横坐标为$t$，用含$t$的式子表示$DF$，将面积比转化为关于$t$的二次函数，配方即可求出最大值。
【解析】
(1) 求$A$、$C$坐标：当$x=0$时，$y=-x+2=2$，则$C(0,2)$；当$y=0$时，$-x+2=0$，解得$x=2$，则$A(2,0)$。
设抛物线表达式为$y=a(x+1)(x-2)$，把$C(0,2)$代入得$a×1×(-2)=2$，解得$a=-1$，
$\therefore$ 抛物线表达式为$y=-(x+1)(x-2)$，即$y=-x^2+x+2$。
(2) ① $\because OA=OC=2$，$∠ AOC=90°$，$\therefore △ OAC$为等腰直角三角形。
$\because DC=DA$，$\therefore$ 点$D$在$AC$的垂直平分线上，即点$D$在直线$y=x$上。
设$D(m,m)(m＞0)$，把$D(m,m)$代入$y=-x^2+x+2$，得$-m^2+m+2=m$，解得$m_1=\sqrt{2}$，$m_2=-\sqrt{2}$（舍去），
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$。
② 作$DF// y$ 轴交$AC$于点$F$，$BG// y$ 轴交直线$AC$于点$G$，如图，
$\because DF// BG$，$\therefore △ DEF ∽ △ BEG$，$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{DF}{BG}$。
$\because △ CDE$和$△ CBE$同高，$\therefore S_{△ CDE}:S_{△ CBE}=\frac{DE}{BE}$，即$S_{△ CDE}:S_{△ CBE}=\frac{DF}{BG}$。
当$x=-1$时，$y=-x+2=3$，则$G(-1,3)$，$BG=3$。
设$D(t, -t^2+t+2)(0＜t＜2)$，则$F(t,-t+2)$，
$\therefore DF=-t^2+t+2-(-t+2)=-t^2+2t$，
$\therefore S_{△ CDE}:S_{△ CBE}=\frac{-t^2+2t}{3}=-\frac{1}{3}(t-1)^2+\frac{1}{3}$，
$\because -\frac{1}{3}＜0$，$\therefore$ 当$t=1$时，$S_{△ CDE}:S_{△ CBE}$取得最大值$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+x+2}$；
(2) ① 点$D$的坐标为$\boldsymbol{(\sqrt{2},\sqrt{2})}$；
② $S_{△ CDE}:S_{△ CBE}$的最大值为$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$。
【知识点】
二次函数解析式确定，垂直平分线的性质，相似三角形的应用
【点评】
本题为二次函数综合题，结合了一次函数、等腰三角形性质、相似三角形等知识，解题过程中需运用数形结合思想，将面积比转化为线段比、最值问题转化为二次函数最值问题是解题的核心，属于二次函数常考的经典综合题型。
【难度系数】
0.6
(1) 首先求出直线$y=-x+2$与坐标轴的交点$A$、$C$的坐标，已知抛物线与$x$轴的两个交点$A$、$B$，因此设抛物线的交点式，代入$C$点坐标即可求出抛物线解析式。
(2) ① 由$CD=AD$可知点$D$在$AC$的垂直平分线上，先判断$△ OAC$是等腰直角三角形，可得$AC$的垂直平分线为直线$y=x$，联立抛物线解析式即可求出第一象限内$D$的坐标。
② $△ CDE$和$△ CBE$同高，因此面积比等于底$DE$与$BE$的比值；过$D$作$DF// y$轴交$AC$于$F$，过$B$作$BG// y$轴交$AC$于$G$，可证$△ DEF∽△ BEG$，将$DE:BE$转化为$DF:BG$；先求出$BG$的长度，设$D$点横坐标为$t$，用含$t$的式子表示$DF$，将面积比转化为关于$t$的二次函数，配方即可求出最大值。
【解析】
(1) 求$A$、$C$坐标：当$x=0$时，$y=-x+2=2$，则$C(0,2)$；当$y=0$时，$-x+2=0$，解得$x=2$，则$A(2,0)$。
设抛物线表达式为$y=a(x+1)(x-2)$，把$C(0,2)$代入得$a×1×(-2)=2$，解得$a=-1$，
$\therefore$ 抛物线表达式为$y=-(x+1)(x-2)$，即$y=-x^2+x+2$。
(2) ① $\because OA=OC=2$，$∠ AOC=90°$，$\therefore △ OAC$为等腰直角三角形。
$\because DC=DA$，$\therefore$ 点$D$在$AC$的垂直平分线上，即点$D$在直线$y=x$上。
设$D(m,m)(m＞0)$，把$D(m,m)$代入$y=-x^2+x+2$，得$-m^2+m+2=m$，解得$m_1=\sqrt{2}$，$m_2=-\sqrt{2}$（舍去），
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(\sqrt{2},\sqrt{2})$。
② 作$DF// y$ 轴交$AC$于点$F$，$BG// y$ 轴交直线$AC$于点$G$，如图
，$\because DF// BG$，$\therefore △ DEF ∽ △ BEG$，$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{DF}{BG}$。
$\because △ CDE$和$△ CBE$同高，$\therefore S_{△ CDE}:S_{△ CBE}=\frac{DE}{BE}$，即$S_{△ CDE}:S_{△ CBE}=\frac{DF}{BG}$。
当$x=-1$时，$y=-x+2=3$，则$G(-1,3)$，$BG=3$。
设$D(t, -t^2+t+2)(0＜t＜2)$，则$F(t,-t+2)$，
$\therefore DF=-t^2+t+2-(-t+2)=-t^2+2t$，
$\therefore S_{△ CDE}:S_{△ CBE}=\frac{-t^2+2t}{3}=-\frac{1}{3}(t-1)^2+\frac{1}{3}$，
$\because -\frac{1}{3}＜0$，$\therefore$ 当$t=1$时，$S_{△ CDE}:S_{△ CBE}$取得最大值$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+x+2}$；
(2) ① 点$D$的坐标为$\boldsymbol{(\sqrt{2},\sqrt{2})}$；
② $S_{△ CDE}:S_{△ CBE}$的最大值为$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$。
【知识点】
二次函数解析式确定，垂直平分线的性质，相似三角形的应用
【点评】
本题为二次函数综合题，结合了一次函数、等腰三角形性质、相似三角形等知识，解题过程中需运用数形结合思想，将面积比转化为线段比、最值问题转化为二次函数最值问题是解题的核心，属于二次函数常考的经典综合题型。
【难度系数】
0.6
4. 如图,二次函数$y=ax^2+bx+3(a≠0)$的图象与x轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点,C为顶点.
(1) 请求出二次函数的表达式及图象的顶点C的坐标;
(2) 若点E为抛物线对称轴左侧一点,过点E作x轴平行线交对称轴于点D,若$ED=m$,试用m的代数式表示CD;
(3) 连结EC,过点C作$CF⊥EC$交抛物线于点F,过点F作x轴的平行线交对称轴于点G,证明:$GF·DE=1.$
(1) 请求出二次函数的表达式及图象的顶点C的坐标;
(2) 若点E为抛物线对称轴左侧一点,过点E作x轴平行线交对称轴于点D,若$ED=m$,试用m的代数式表示CD;
(3) 连结EC,过点C作$CF⊥EC$交抛物线于点F,过点F作x轴的平行线交对称轴于点G,证明:$GF·DE=1.$
答案
4. (1)将点$A(-1,0),B(3,0)$代入$y=ax^2+bx+3(a≠0)$,得
$\begin{cases}a-b+3=0,\\9a+3b+3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$ $\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
$\because y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\therefore$ 顶点$C$的坐标为$(1,4)$.
(2)设$D(1,t)$,$\because ED=m$,$\therefore E(1-m,t)$,$\therefore t=-(1-m)^2+2(1-m)+3=$
$4-m^2$,$\therefore CD=4-t=4-(4-m^2)=m^2$.
(3)根据题意得,$ED⊥CD$,$GF⊥CD$,$\therefore ∠EDC=∠CGF=90°$.$\because EC⊥$
$CF$,$\therefore ∠ECF=90°$.$\because ∠ECD+∠FCG=90°$,$∠ECD+∠CED=90°$,
$\therefore ∠FCG=∠CED$,$\therefore △ CDE ∽ △ FGC$,$\therefore \frac{ED}{CG}=\frac{CD}{FG}$,$\therefore GF·DE=GC·$
$CD$.由(2)知,$ED=m$,$CD=m^2$,$\therefore FG=mCG$,设$F(n,-n^2+2n+3)$,则
$G(1,-n^2+2n+3)$,$\therefore CG=4-(-n^2+2n+3)=(n-1)^2$,$\therefore n-1=m(n-$
$1)^2$,$\therefore n-1=\frac{1}{m}$.$\because FG=mCG$,$\therefore GF·DE=mFG=m^2·(n-1)^2=1$.
$\begin{cases}a-b+3=0,\\9a+3b+3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$ $\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$.
$\because y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\therefore$ 顶点$C$的坐标为$(1,4)$.
(2)设$D(1,t)$,$\because ED=m$,$\therefore E(1-m,t)$,$\therefore t=-(1-m)^2+2(1-m)+3=$
$4-m^2$,$\therefore CD=4-t=4-(4-m^2)=m^2$.
(3)根据题意得,$ED⊥CD$,$GF⊥CD$,$\therefore ∠EDC=∠CGF=90°$.$\because EC⊥$
$CF$,$\therefore ∠ECF=90°$.$\because ∠ECD+∠FCG=90°$,$∠ECD+∠CED=90°$,
$\therefore ∠FCG=∠CED$,$\therefore △ CDE ∽ △ FGC$,$\therefore \frac{ED}{CG}=\frac{CD}{FG}$,$\therefore GF·DE=GC·$
$CD$.由(2)知,$ED=m$,$CD=m^2$,$\therefore FG=mCG$,设$F(n,-n^2+2n+3)$,则
$G(1,-n^2+2n+3)$,$\therefore CG=4-(-n^2+2n+3)=(n-1)^2$,$\therefore n-1=m(n-$
$1)^2$,$\therefore n-1=\frac{1}{m}$.$\because FG=mCG$,$\therefore GF·DE=mFG=m^2·(n-1)^2=1$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数图象过A、B两个已知点，采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出函数表达式；再将表达式配方为顶点式，就能直接得到顶点C的坐标。
(2) 先确定抛物线对称轴为直线x=1，设D点坐标为(1,t)，结合ED=m且E在对称轴左侧，可得E点横坐标为1-m、纵坐标与D相同为t，将E点代入抛物线解析式求出t，再用C点纵坐标减去D点纵坐标即可得到CD的表达式。
(3) 先根据垂直关系证明△CDE和△FGC相似，得到线段比例关系，再结合第(2)问的结论，用坐标表示出CG、FG的长度，代入比例式化简即可证明结论。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx+3(a≠0)$，得：
$\begin{cases}a-b+3=0\\9a+3b+3=0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
将表达式配方得：$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，
$\therefore$ 顶点$C$的坐标为$(1,4)$。
(2) 抛物线对称轴为直线$x=1$，设$D(1,t)$，
$\because ED=m$，E在对称轴左侧，且ED平行于x轴，
$\therefore E$点坐标为$(1-m,t)$，
将E代入抛物线解析式得：
$t=-(1-m)^2+2(1-m)+3=4-m^2$，
$\therefore CD=4-t=4-(4-m^2)=m^2$。
(3) 证明：由题意得$ED⊥CD$，$GF⊥CD$，$\therefore ∠EDC=∠CGF=90°$，
$\because EC⊥CF$，$\therefore ∠ECF=90°$，
$\therefore ∠ECD+∠FCG=90°$，
又$\because ∠ECD+∠CED=90°$，
$\therefore ∠FCG=∠CED$，
$\therefore △ CDE ∽ △ FGC$，
$\therefore \frac{ED}{CG}=\frac{CD}{FG}$，即$GF·DE=GC·CD$。
由(2)知$ED=m$，$CD=m^2$，$\therefore FG=mCG$，
设$F(n,-n^2+2n+3)$，则$G(1,-n^2+2n+3)$，
$\therefore CG=4-(-n^2+2n+3)=(n-1)^2$，$FG=n-1$（F在对称轴右侧，$n＞1$），
代入$FG=mCG$得$n-1=m(n-1)^2$，化简得$n-1=\frac{1}{m}$，
$\therefore GF·DE=GC·CD=(n-1)^2·m^2=(\frac{1}{m})^2·m^2=1$，原式得证。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$，顶点C的坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$；
(2) $\boldsymbol{CD=m^2}$；
(3) 证明成立。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，基础部分考察二次函数解析式、顶点坐标的常规求法，拓展部分需要掌握坐标与线段长度的转换方法，能通过角的互余关系证明三角形相似，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 已知二次函数图象过A、B两个已知点，采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于a、b的方程组，解方程组即可求出函数表达式；再将表达式配方为顶点式，就能直接得到顶点C的坐标。
(2) 先确定抛物线对称轴为直线x=1，设D点坐标为(1,t)，结合ED=m且E在对称轴左侧，可得E点横坐标为1-m、纵坐标与D相同为t，将E点代入抛物线解析式求出t，再用C点纵坐标减去D点纵坐标即可得到CD的表达式。
(3) 先根据垂直关系证明△CDE和△FGC相似，得到线段比例关系，再结合第(2)问的结论，用坐标表示出CG、FG的长度，代入比例式化简即可证明结论。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx+3(a≠0)$，得：
$\begin{cases}a-b+3=0\\9a+3b+3=0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$
$\therefore$ 二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+3$。
将表达式配方得：$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，
$\therefore$ 顶点$C$的坐标为$(1,4)$。
(2) 抛物线对称轴为直线$x=1$，设$D(1,t)$，
$\because ED=m$，E在对称轴左侧，且ED平行于x轴，
$\therefore E$点坐标为$(1-m,t)$，
将E代入抛物线解析式得：
$t=-(1-m)^2+2(1-m)+3=4-m^2$，
$\therefore CD=4-t=4-(4-m^2)=m^2$。
(3) 证明：由题意得$ED⊥CD$，$GF⊥CD$，$\therefore ∠EDC=∠CGF=90°$，
$\because EC⊥CF$，$\therefore ∠ECF=90°$，
$\therefore ∠ECD+∠FCG=90°$，
又$\because ∠ECD+∠CED=90°$，
$\therefore ∠FCG=∠CED$，
$\therefore △ CDE ∽ △ FGC$，
$\therefore \frac{ED}{CG}=\frac{CD}{FG}$，即$GF·DE=GC·CD$。
由(2)知$ED=m$，$CD=m^2$，$\therefore FG=mCG$，
设$F(n,-n^2+2n+3)$，则$G(1,-n^2+2n+3)$，
$\therefore CG=4-(-n^2+2n+3)=(n-1)^2$，$FG=n-1$（F在对称轴右侧，$n＞1$），
代入$FG=mCG$得$n-1=m(n-1)^2$，化简得$n-1=\frac{1}{m}$，
$\therefore GF·DE=GC·CD=(n-1)^2·m^2=(\frac{1}{m})^2·m^2=1$，原式得证。
【答案】
(1) 二次函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$，顶点C的坐标为$\boldsymbol{(1,4)}$；
(2) $\boldsymbol{CD=m^2}$；
(3) 证明成立。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，基础部分考察二次函数解析式、顶点坐标的常规求法，拓展部分需要掌握坐标与线段长度的转换方法，能通过角的互余关系证明三角形相似，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 如图,抛物线$y=-x^2+bx+c$交$x$轴于$A(-2,0),B(4,0)$两点,交$y$轴于点$C$.
(1)求出抛物线的表达式;
(2)如图,点$P$是直线$BC$上方抛物线上一动点,过点$P$作$PD⊥ BC$于点$D$,求$PD$的最大值及此时点$P$的坐标.
(1)求出抛物线的表达式;
(2)如图,点$P$是直线$BC$上方抛物线上一动点,过点$P$作$PD⊥ BC$于点$D$,求$PD$的最大值及此时点$P$的坐标.
答案
5. (1)把$A(-2,0)$,$B(4,0)$代入抛物线$y=-x^2+bx+c$得,
$\begin{cases}-4-2b+c=0,\\-16+4b+c=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=8,\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+8$.
(2)把$x=0$代入$y=-x^2+2x+8$,得$y=8$,
$\therefore C$点坐标为$(0,8)$,设直线$BC$的表达式
为$y=kx+m$,把$B(4,0)$,$C(0,8)$代入,得
$\begin{cases}4k+m=0,\\m=8,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=-2,\\m=8,\end{cases}$ $\therefore$ 直线$BC$的表达式
为$y=-2x+8$,当过点$P$的直线平行于$BC$
并且与抛物线只有一个交点时,$PD$的值最
大,设过点$P$的直线的表达式为$y=-2x+n$,
由$\begin{cases}y=-2x+n,\\y=-x^2+2x+8,\end{cases}$ 得$-x^2+2x+8=-2x+n$,整
理得$x^2-4x+(n-8)=0$,$\therefore b^2-4ac=16-4(n-8)=0$,解得$n=12$,$\therefore$ 过
点$P$的直线表达式为$y=-2x+12$,由$\begin{cases}y=-2x+12,\\y=-x^2+2x+8,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=2,\\y=8,\end{cases}$ $\therefore$ 点
$P$的坐标为$(2,8)$,如图
,连结$PC$,$\because C(0,8)$,$P(2,8)$,$\therefore CP⊥y$轴,$CP=2$,$\therefore ∠OCB+∠PCD=90°$.$\because ∠OCB+∠CBO=90°$,$\therefore ∠PCD=$
$∠CBO$.$\because PD⊥BC$,$\therefore ∠CDP=∠BOC=90°$,$\therefore △ CDP ∽ △ BOC$,$\therefore \frac{PD}{CO}=$
$\frac{PC}{CB}$.$\because B(4,0)$,$C(0,8)$,$\therefore OB=4$,$OC=8$,$\therefore CB=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=$
$4\sqrt{5}$,$\therefore \frac{PD}{8}=\frac{2}{4\sqrt{5}}$,$\therefore PD=\frac{4\sqrt{5}}{5}$,$\therefore PD$的最大值为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$,此时点$P$的坐
标为$(2,8)$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线过A、B两点，可直接将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出系数后即可得到解析式。
(2) 求PD的最大值，首先要先求出C点坐标和直线BC的解析式。PD是点P到直线BC的垂线段，当与BC平行的直线和抛物线相切（只有一个交点）时，两条平行线的距离最大，此时PD取得最大值。先设出平行于BC的直线解析式，联立抛物线方程，利用判别式Δ=0求出该直线的解析式，进而得到切点P的坐标；再通过证明△CDP∽△BOC，利用相似三角形对应边成比例即可求出PD的最大值。
【解析】
(1) 把$A(-2,0)$，$B(4,0)$代入抛物线$y=-x^2+bx+c$得：
$\begin{cases}-4-2b+c=0,\\-16+4b+c=0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=2,\\c=8,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+8$。
(2) 把$x=0$代入$y=-x^2+2x+8$，得$y=8$，
$\therefore C$点坐标为$(0,8)$，
设直线$BC$的表达式为$y=kx+m$，把$B(4,0)$，$C(0,8)$代入，得：
$\begin{cases}4k+m=0,\\m=8,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-2,\\m=8,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$BC$的表达式为$y=-2x+8$。
当过点$P$的直线平行于$BC$并且与抛物线只有一个交点时，$PD$的值最大，设过点$P$的直线的表达式为$y=-2x+n$，
联立$\begin{cases}y=-2x+n,\\y=-x^2+2x+8,\end{cases}$
得$-x^2+2x+8=-2x+n$，整理得$x^2-4x+(n-8)=0$，
$\therefore \Delta =b^2-4ac=16-4(n-8)=0$，解得$n=12$，
$\therefore$ 过点$P$的直线表达式为$y=-2x+12$，
联立$\begin{cases}y=-2x+12,\\y=-x^2+2x+8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2,\\y=8,\end{cases}$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,8)$。
如图，连结$PC$，
$\because C(0,8)$，$P(2,8)$，$\therefore CP⊥y$轴，$CP=2$，
$\therefore ∠OCB+∠PCD=90°$。
$\because ∠OCB+∠CBO=90°$，$\therefore ∠PCD=∠CBO$。
$\because PD⊥BC$，$\therefore ∠CDP=∠BOC=90°$，
$\therefore △ CDP ∽ △ BOC$，$\therefore \frac{PD}{CO}=\frac{PC}{CB}$。
$\because B(4,0)$，$C(0,8)$，$\therefore OB=4$，$OC=8$，
$\therefore CB=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$，
$\therefore \frac{PD}{8}=\frac{2}{4\sqrt{5}}$，$\therefore PD=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+8}$；
(2) $PD$的最大值为$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{5}}{5}}$，此时点$P$的坐标为$\boldsymbol{(2,8)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；相似三角形的性质
【点评】
本题综合了二次函数、一次函数和相似三角形的考点，解题关键是理解垂线段最大值的对应情况，即与BC平行的直线和抛物线相切时的切点为P点，再结合相似三角形的性质求解，考查了数形结合思想和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线表达式时，已知抛物线过A、B两点，可直接将两点坐标代入抛物线的一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出系数后即可得到解析式。
(2) 求PD的最大值，首先要先求出C点坐标和直线BC的解析式。PD是点P到直线BC的垂线段，当与BC平行的直线和抛物线相切（只有一个交点）时，两条平行线的距离最大，此时PD取得最大值。先设出平行于BC的直线解析式，联立抛物线方程，利用判别式Δ=0求出该直线的解析式，进而得到切点P的坐标；再通过证明△CDP∽△BOC，利用相似三角形对应边成比例即可求出PD的最大值。
【解析】
(1) 把$A(-2,0)$，$B(4,0)$代入抛物线$y=-x^2+bx+c$得：
$\begin{cases}-4-2b+c=0,\\-16+4b+c=0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=2,\\c=8,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-x^2+2x+8$。
(2) 把$x=0$代入$y=-x^2+2x+8$，得$y=8$，
$\therefore C$点坐标为$(0,8)$，
设直线$BC$的表达式为$y=kx+m$，把$B(4,0)$，$C(0,8)$代入，得：
$\begin{cases}4k+m=0,\\m=8,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-2,\\m=8,\end{cases}$
$\therefore$ 直线$BC$的表达式为$y=-2x+8$。
当过点$P$的直线平行于$BC$并且与抛物线只有一个交点时，$PD$的值最大，设过点$P$的直线的表达式为$y=-2x+n$，
联立$\begin{cases}y=-2x+n,\\y=-x^2+2x+8,\end{cases}$
得$-x^2+2x+8=-2x+n$，整理得$x^2-4x+(n-8)=0$，
$\therefore \Delta =b^2-4ac=16-4(n-8)=0$，解得$n=12$，
$\therefore$ 过点$P$的直线表达式为$y=-2x+12$，
联立$\begin{cases}y=-2x+12,\\y=-x^2+2x+8,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2,\\y=8,\end{cases}$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,8)$。
如图
，连结$PC$，$\because C(0,8)$，$P(2,8)$，$\therefore CP⊥y$轴，$CP=2$，
$\therefore ∠OCB+∠PCD=90°$。
$\because ∠OCB+∠CBO=90°$，$\therefore ∠PCD=∠CBO$。
$\because PD⊥BC$，$\therefore ∠CDP=∠BOC=90°$，
$\therefore △ CDP ∽ △ BOC$，$\therefore \frac{PD}{CO}=\frac{PC}{CB}$。
$\because B(4,0)$，$C(0,8)$，$\therefore OB=4$，$OC=8$，
$\therefore CB=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$，
$\therefore \frac{PD}{8}=\frac{2}{4\sqrt{5}}$，$\therefore PD=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+8}$；
(2) $PD$的最大值为$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{5}}{5}}$，此时点$P$的坐标为$\boldsymbol{(2,8)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；相似三角形的性质
【点评】
本题综合了二次函数、一次函数和相似三角形的考点，解题关键是理解垂线段最大值的对应情况，即与BC平行的直线和抛物线相切时的切点为P点，再结合相似三角形的性质求解，考查了数形结合思想和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
