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1. 若关于$x$的方程$(m-1)x^2 -2x +1=0$是一元二次方程，则$m$满足的条件是（
A.$m≠0$；
B.$m≠1$；
C.$m=0$；
D.$m=1$。
B
）A.$m≠0$；
B.$m≠1$；
C.$m=0$；
D.$m=1$。
答案
1. B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的判定条件：一元二次方程需要满足两个核心要求，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若二次项系数为0，方程会降为一元一次方程，不符合一元二次方程的定义）。本题给出的方程已经满足只含一个未知数x、x的最高次数为2的条件，因此只需保证二次项系数不为0，列出关于m的不等式求解即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不得为0。
方程$(m-1)x^2 -2x +1=0$的二次项系数为$m-1$，因此可得不等式：
$m-1≠0$
解得$m≠1$
所以正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记一元二次方程中二次项系数不为0的隐含限制条件，避免忽略该要求导致错选。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的判定条件：一元二次方程需要满足两个核心要求，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若二次项系数为0，方程会降为一元一次方程，不符合一元二次方程的定义）。本题给出的方程已经满足只含一个未知数x、x的最高次数为2的条件，因此只需保证二次项系数不为0，列出关于m的不等式求解即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不得为0。
方程$(m-1)x^2 -2x +1=0$的二次项系数为$m-1$，因此可得不等式：
$m-1≠0$
解得$m≠1$
所以正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记一元二次方程中二次项系数不为0的隐含限制条件，避免忽略该要求导致错选。
【难度系数】
0.9
2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) $x^2 + 3(x - 1) = 1$；
(2) $(y + 2)(y - 1) = 3y - 1$；
(3) $mx - x + 2 = x^2$（$m$是已知数）。
(1) $x^2 + 3(x - 1) = 1$；
(2) $(y + 2)(y - 1) = 3y - 1$；
(3) $mx - x + 2 = x^2$（$m$是已知数）。
答案
2. (1) $x^2+3x-4=0$，其二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为$-4$.(答案不唯一)
(2) $y^2-2y-1=0$，其二次项系数为1，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$.(答案不唯一)
(3) $x^2+(1-m)x-2=0$，其二次项系数为1，一次项系数为$(1-m)$，常数项为$-2$.(答案不唯一)
(2) $y^2-2y-1=0$，其二次项系数为1，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$.(答案不唯一)
(3) $x^2+(1-m)x-2=0$，其二次项系数为1，一次项系数为$(1-m)$，常数项为$-2$.(答案不唯一)
解析
【分析】
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题按三步进行：第一步对原方程去括号，将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0；第二步合并同类项，整理为一般形式（通常要求二次项系数为正）；第三步对应找出各项系数，注意系数要包含前面的正负号，遇到含参数的方程时，把参数当作已知数合并同类项即可。
【解析】
(1) 先去括号得：$x^2 + 3x - 3 = 1$
移项，将右侧常数项移到左侧合并：$x^2 + 3x - 3 -1 = 0$
整理得一般形式：$x^2 + 3x - 4 = 0$
对应得二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为$-4$。
(2) 先展开左侧多项式乘积：$y^2 - y + 2y - 2 = 3y -1$
化简左侧后移项，将右侧所有项移到左侧：$y^2 + y - 2 -3y +1 =0$
合并同类项得一般形式：$y^2 -2y -1 =0$
对应得二次项系数为1，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$。
(3) 移项，将左侧所有项移到右侧，保证二次项系数为正：$x^2 +x -mx -2 =0$
合并含$x$的一次项得一般形式：$x^2 + (1-m)x -2 =0$
对应得二次项系数为1，一次项系数为$(1-m)$，常数项为$-2$。
【答案】
(1) $x^2+3x-4=0$，其二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为$-4$.(答案不唯一)
(2) $y^2-2y-1=0$，其二次项系数为1，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$.(答案不唯一)
(3) $x^2+(1-m)x-2=0$，其二次项系数为1，一次项系数为$(1-m)$，常数项为$-2$.(答案不唯一)
【知识点】
一元二次方程一般形式、整式化简运算、移项合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，主要考察一元二次方程一般形式的转化方法，易错点为移项时忘记变号、提取系数时遗漏前面的正负号，处理含参数的方程时只需将参数当作常数合并同类项即可。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题按三步进行：第一步对原方程去括号，将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0；第二步合并同类项，整理为一般形式（通常要求二次项系数为正）；第三步对应找出各项系数，注意系数要包含前面的正负号，遇到含参数的方程时，把参数当作已知数合并同类项即可。
【解析】
(1) 先去括号得：$x^2 + 3x - 3 = 1$
移项，将右侧常数项移到左侧合并：$x^2 + 3x - 3 -1 = 0$
整理得一般形式：$x^2 + 3x - 4 = 0$
对应得二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为$-4$。
(2) 先展开左侧多项式乘积：$y^2 - y + 2y - 2 = 3y -1$
化简左侧后移项，将右侧所有项移到左侧：$y^2 + y - 2 -3y +1 =0$
合并同类项得一般形式：$y^2 -2y -1 =0$
对应得二次项系数为1，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$。
(3) 移项，将左侧所有项移到右侧，保证二次项系数为正：$x^2 +x -mx -2 =0$
合并含$x$的一次项得一般形式：$x^2 + (1-m)x -2 =0$
对应得二次项系数为1，一次项系数为$(1-m)$，常数项为$-2$。
【答案】
(1) $x^2+3x-4=0$，其二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为$-4$.(答案不唯一)
(2) $y^2-2y-1=0$，其二次项系数为1，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$.(答案不唯一)
(3) $x^2+(1-m)x-2=0$，其二次项系数为1，一次项系数为$(1-m)$，常数项为$-2$.(答案不唯一)
【知识点】
一元二次方程一般形式、整式化简运算、移项合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，主要考察一元二次方程一般形式的转化方法，易错点为移项时忘记变号、提取系数时遗漏前面的正负号，处理含参数的方程时只需将参数当作常数合并同类项即可。
【难度系数】
0.8
3. 判断－4、－1、1、$\frac{1}{2}$是不是一元二次方程$x^2 + 3x - 3 = 1$的根.
答案
3. $-4$、$1$是该一元二次方程的根，$-1$、$\frac{1}{2}$不是该一元二次方程的根.
解析
【分析】
要判断一个数是不是一元二次方程的根，依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题时只需将待判断的数分别代入方程的左右两边，计算后比较两边的值是否相等，若相等则是方程的根，若不相等则不是方程的根。
【解析】
原方程为$x^2 + 3x - 3 = 1$，方程右边的值为1，我们逐个代入验证：
1. 当$x=-4$时，
左边$=(-4)^2 + 3×(-4) -3 = 16 -12 -3 =1$，
左边=右边，故$-4$是该方程的根；
2. 当$x=-1$时，
左边$=(-1)^2 + 3×(-1) -3 =1 -3 -3 =-5$，
左边≠右边，故$-1$不是该方程的根；
3. 当$x=1$时，
左边$=1^2 + 3×1 -3 =1 +3 -3 =1$，
左边=右边，故$1$是该方程的根；
4. 当$x=\frac{1}{2}$时，
左边$=(\frac{1}{2})^2 + 3×\frac{1}{2} -3 = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} -3 = -\frac{5}{4}$，
左边≠右边，故$\frac{1}{2}$不是该方程的根。
【答案】
$-4$、$1$是该一元二次方程的根，$-1$、$\frac{1}{2}$不是该一元二次方程的根。
【知识点】
方程的根的定义；代数式求值
【点评】
本题核心考查方程根的概念，代入检验法是判断某个值是否为方程根的常用方法，计算时要注意符号运算的准确性，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
要判断一个数是不是一元二次方程的根，依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。解题时只需将待判断的数分别代入方程的左右两边，计算后比较两边的值是否相等，若相等则是方程的根，若不相等则不是方程的根。
【解析】
原方程为$x^2 + 3x - 3 = 1$，方程右边的值为1，我们逐个代入验证：
1. 当$x=-4$时，
左边$=(-4)^2 + 3×(-4) -3 = 16 -12 -3 =1$，
左边=右边，故$-4$是该方程的根；
2. 当$x=-1$时，
左边$=(-1)^2 + 3×(-1) -3 =1 -3 -3 =-5$，
左边≠右边，故$-1$不是该方程的根；
3. 当$x=1$时，
左边$=1^2 + 3×1 -3 =1 +3 -3 =1$，
左边=右边，故$1$是该方程的根；
4. 当$x=\frac{1}{2}$时，
左边$=(\frac{1}{2})^2 + 3×\frac{1}{2} -3 = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} -3 = -\frac{5}{4}$，
左边≠右边，故$\frac{1}{2}$不是该方程的根。
【答案】
$-4$、$1$是该一元二次方程的根，$-1$、$\frac{1}{2}$不是该一元二次方程的根。
【知识点】
方程的根的定义；代数式求值
【点评】
本题核心考查方程根的概念，代入检验法是判断某个值是否为方程根的常用方法，计算时要注意符号运算的准确性，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
