4. 试说明无论 $ m $ 取何值，关于 $ x $ 的方程 $ m^2x^2 + x(x - 1) + 3 = 0 $ 都是一元二次方程。

4. 将该方程化成一般形式$(m^2+1)x^2 -x +3=0$，因为$m^2+1≥1$，所以该方程一定是一元二次方程.

【分析】
要判断方程为一元二次方程，首先明确一元二次方程的核心判定条件：整式方程、仅含一个未知数、未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时首先需要将原方程整理为一元二次方程的一般形式，合并同类项得到二次项系数，再证明无论m取何值，二次项系数都不会为0，即可完成证明。
【解析】
1. 整理原方程：
先展开$x(x-1)$可得$x^2-x$，代入原方程得：
$m^2x^2 + x^2 -x +3=0$
2. 合并同类项，得到方程的一般形式：
将含$x^2$的项合并，可得$(m^2+1)x^2 -x +3=0$
3. 分析二次项系数：
根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，即$m^2≥0$，因此$m^2+1≥0+1=1$，即$m^2+1$恒大于等于1，不可能等于0。
此时方程满足一元二次方程的所有判定条件，因此无论m取何值，该方程都是一元二次方程。
【答案】
将该方程化成一般形式$(m^2+1)x^2 -x +3=0$，因为$m^2+1≥1$，所以该方程一定是一元二次方程.
【知识点】
一元二次方程的定义、合并同类项、平方的非负性
【点评】
本题重点考查一元二次方程的判定，解题的关键是先将方程化为一般形式，再验证二次项系数恒不为0，注意不能直接根据原式的$m^2x^2$判断系数，必须先合并同类项得到最终的二次项系数再分析。
【难度系数】
0.7

5. 写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是5，且它的一个根是2.
拓展与思考

5. 设该一元二次方程为$x^2+bx+5=0$，将$x=2$代入方程，解得$b=-\frac{9}{2}$，故该一元二次方程为$x^2-\frac{9}{2}x+5=0$.

【分析】
首先根据题目给出的二次项系数、常数项的要求，先写出含未知一次项系数的一元二次方程的形式；再根据方程根的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，把已知根代入方程，得到关于未知一次项系数的一元一次方程；解出未知系数后代回预设方程，即可得到符合要求的一元二次方程。
【解析】
1. 设方程：已知一元二次方程二次项系数为1，常数项为5，设该一元二次方程为$x^2+bx+5=0$（$b$为待求的一次项系数）。
2. 代入根计算：因为$x=2$是方程的根，将$x=2$代入方程可得：
$2^2 + 2b + 5 = 0$
3. 求解未知系数：化简上式得$9+2b=0$，解得$b=-\frac{9}{2}$。
4. 确定最终方程：将$b=-\frac{9}{2}$代入预设的方程即可。
【答案】
$x^2-\frac{9}{2}x+5=0$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是利用方程根的性质求解未知系数，熟练掌握一元二次方程相关基本概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8