1. 一元二次方程 $x(x-1)=x$ 的解是 （）

A.$x=1$；
B.$x=0$；
C.$x_1=0, x_2=1$；
D.$x_1=0, x_2=2$

1. D.

【分析】
要解这个一元二次方程，首先注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确的解题思路是先通过移项将方程右边化为0，再提取公因式进行因式分解，利用“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式的值为0”的原理，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程$x(x-1)=x$移项，得：
$x(x-1)-x=0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x-1)-1]=0$
化简括号内的式子，得：
$x(x-2)=0$
根据乘积为0的性质，可得：
$x=0$ 或 $x-2=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的求解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，易错点是直接将方程两边除以x导致漏解，解题时优先将方程整理为一边为0的形式，再用因式分解法求解即可避免漏根的问题。
【难度系数】
0.7

2. 用因式分解法解下列方程：
(1) $x^2 - 2x = 0$；
(2) $-x^2 = 9x$；
(3) $(x + 3)^2 = 2(x + 3)$；
(4) $3x(2x - 1) + 2x - 1 = 0$。

2. (1) $x_1=0, x_2=2.$ (2) $x_1=0, x_2=-9.$ (3) $x_1=-3, x_2=-1.$ (4) $x_1=-\frac{1}{3}, x_2=\frac{1}{2}.$

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：先将方程变形为“几个一次因式的乘积=0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解，注意不可随意在方程两边除以含未知数的整式，避免漏根。
各小题思考路径：
(1) 方程右边已经是0，左边多项式有公因式x，直接提公因式即可分解；
(2) 先移项将右边的9x移到左侧，使右边为0，再提公因式分解；
(3) 把(x+3)看作整体，移项后提公因式(x+3)，无需展开平方项，计算更简便；
(4) 把(2x-1)看作整体，直接提取公因式即可分解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 2x = 0$提公因式$x$，得：
$x(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得：
$x=0$ 或 $x - 2 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 对$-x^2 = 9x$移项，得：
$-x^2 - 9x = 0$
提公因式$-x$，得：
$-x(x + 9) = 0$
令每个因式为0，得：
$-x=0$ 或 $x + 9 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-9$。
(3) 对$(x + 3)^2 = 2(x + 3)$移项，得：
$(x + 3)^2 - 2(x + 3) = 0$
提公因式$(x + 3)$，得：
$(x + 3)(x + 3 - 2) = 0$
化简为：$(x + 3)(x + 1) = 0$
令每个因式为0，得：
$x + 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解得：$x_1=-3$，$x_2=-1$。
(4) 对$3x(2x - 1) + 2x - 1 = 0$变形，将$2x-1$看作整体提公因式，得：
$(2x - 1)(3x + 1) = 0$
令每个因式为0，得：
$2x - 1 = 0$ 或 $3x + 1 = 0$
解得：$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=0, x_2=2$；(2) $x_1=0, x_2=-9$；(3) $x_1=-3, x_2=-1$；(4) $x_1=-\frac{1}{3}, x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
提公因式法，因式分解法解方程，整体思想
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，重点考查提公因式因式分解的应用，以及整体代换的解题思想，解题时需注意移项变号规则，避免随意约去含未知数的整式造成漏根。
【难度系数】
0.8

3. 用因式分解法解下列方程：
(1) $x^2 -8x +7=0$；
(2) $x(x+3)-18=0$；
(3) $x^2 -x=20$；
(4) $x^2 -5(x+1)=9$；

3. (1) $x_1=1, x_2=7.$ (2) $x_1=-6, x_2=3.$ (3) $x_1=-4, x_2=5.$ (4) $x_1=-2, x_2=7.$

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的思路为：首先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再通过十字相乘法将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，最后根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 方程$x^2 -8x +7=0$已为一般形式，用十字相乘法分解左边：常数项$7=(-1)×(-7)$，且$(-1)+(-7)=-8$刚好等于一次项系数，因此分解得：
$(x-1)(x-7)=0$
令每个因式为0，得$x-1=0$或$x-7=0$，解得$x_1=1$，$x_2=7$。
(2) 先整理方程$x(x+3)-18=0$，去括号得$x^2+3x-18=0$，十字相乘法分解：常数项$-18=6×(-3)$，且$6+(-3)=3$等于一次项系数，分解得：
$(x+6)(x-3)=0$
令每个因式为0，得$x+6=0$或$x-3=0$，解得$x_1=-6$，$x_2=3$。
(3) 先整理方程$x^2 -x=20$，移项得$x^2 -x -20=0$，十字相乘法分解：常数项$-20=(-5)×4$，且$(-5)+4=-1$等于一次项系数，分解得：
$(x-5)(x+4)=0$
令每个因式为0，得$x-5=0$或$x+4=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=5$。
(4) 先整理方程$x^2 -5(x+1)=9$，去括号得$x^2 -5x -5=9$，移项合并同类项得$x^2 -5x -14=0$，十字相乘法分解：常数项$-14=(-7)×2$，且$(-7)+2=-5$等于一次项系数，分解得：
$(x-7)(x+2)=0$
令每个因式为0，得$x-7=0$或$x+2=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=7$。
【答案】
(1) $x_1=1, x_2=7.$ (2) $x_1=-6, x_2=3.$ (3) $x_1=-4, x_2=5.$ (4) $x_1=-2, x_2=7.$
【知识点】
因式分解法解方程、十字相乘法因式分解、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查十字相乘法的应用，解题时需要先将方程整理为一般形式再进行因式分解，熟练掌握方法后可快速求出方程的根。
【难度系数】
0.7