4. 请在方程$x^2+(\quad)+21=0$的“()”内添加一项，使得这个关于x的一元二次方程能用因式分解法解出两根，请写出一种添项的方法，并解出该方程.
拓展与思考

4. 答案不唯一，“( )”内添加一项可以是22x，该方程的解为$x_1=-1, x_2=-21.$

【分析】
对于二次项系数为1的一元二次方程，若能用因式分解法求解，通常可变形为$(x+p)(x+q)=0$的形式，展开后对应为$x^2+(p+q)x+pq=0$。本题中方程的常数项是21，因此只需找到两个整数$p、q$满足$pq=21$，将$(p+q)x$作为添加的一次项，方程就可以用十字相乘法因式分解求解。比如取$p=1,q=21$，此时$pq=21$，$p+q=22$，即可添加$22x$。
【解析】
我们选择在括号内添加$22x$，此时方程为：
$x^2+22x+21=0$
用十字相乘法分解因式，将21拆为$1×21$，且$1+21=22$，因此方程可变形为：
$(x+1)(x+21)=0$
令每个因式分别等于0，可得：
$x+1=0$ 或 $x+21=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-21$
（注：答案不唯一，如添加$-22x$等其他符合要求的项也可）
【答案】
“( )”内添加一项可以是22x，该方程的解为$x_1=-1, x_2=-21$（答案不唯一）
【知识点】
因式分解法解方程，十字相乘法，一元二次方程的解
【点评】
本题为开放性试题，重点考查因式分解法解一元二次方程的灵活运用，需要熟练掌握十字相乘法的结构特征，解题时可先从常数项的因数对入手推导一次项系数，对发散思维有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7

1. 方程$\frac{1}{4}x^2 -1=0$的解是 （）

A.$x_1=2, x_2=-2$;
B.$x_1=\frac{1}{2}, x_2=-\frac{1}{2}$;
C.$x_1=4, x_2=-4$;
D.$x_1=\frac{1}{4}, x_2=-\frac{1}{4}$.

A

【分析】
这是一道求解一元二次方程的基础题，可采用直接开平方法解题：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，最后对等式两边同时开平方即可得到方程的两个解，再对应选项选出答案即可，注意开平方时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
解：对原方程$\frac{1}{4}x^2 -1=0$移项，得：
$\frac{1}{4}x^2=1$
方程两边同时乘4，将二次项系数化为1，得：
$x^2=4$
对等式两边同时开平方，得：
$x=\pm2$
即方程的解为$x_1=2, x_2=-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解；直接开平方法
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的基础解法，熟练掌握直接开平方法的运算步骤即可快速解题，解题时需注意开平方后不要遗漏负根。
【难度系数】
0.9