登录
2. 解下列方程：
(1) $3x^2 -9=0$；
(2) $2x^2 +7=0$；
(3) $\frac{1}{7}x^2 -7=0$；
(4) $\frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2}=0$。
(1) $3x^2 -9=0$；
(2) $2x^2 +7=0$；
(3) $\frac{1}{7}x^2 -7=0$；
(4) $\frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2}=0$。
答案
(1) $x_1=-\sqrt{3}, x_2=\sqrt{3}$. (2) 没有实数根. (3) $x_1=-7, x_2=7$. (4) $x_1=-\frac{3}{2}, x_2=\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
这4个方程均为不含一次项的一元二次方程，形式为$ax^2+c=0(a≠0)$，适合用直接开平方法求解，解题思路如下：①先移项，将含$x^2$的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；②将$x^2$的系数化为1，变形为$x^2=m$的形式；③根据平方根的性质判断：若$m≥0$，则$x=±\sqrt{m}$，可得到两个实数根；若$m＜0$，因为任意实数的平方都为非负数，因此方程没有实数根。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 -9=0$：
移项得：$3x^2=9$，
系数化为1得：$x^2=3$，
开平方得：$x=±\sqrt{3}$，
即$x_1=-\sqrt{3}, x_2=\sqrt{3}$。
(2) 解方程$2x^2 +7=0$：
移项得：$2x^2=-7$，
系数化为1得：$x^2=-\frac{7}{2}$，
∵任意实数的平方都≥0，不可能为负数，
∴该方程没有实数根。
(3) 解方程$\frac{1}{7}x^2 -7=0$：
移项得：$\frac{1}{7}x^2=7$，
系数化为1（两边同乘7）得：$x^2=49$，
开平方得：$x=±7$，
即$x_1=-7, x_2=7$。
(4) 解方程$\frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2}=0$：
移项得：$\frac{2}{3}x^2=\frac{3}{2}$，
系数化为1（两边同乘$\frac{3}{2}$）得：$x^2=\frac{3}{2}×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$，
开平方得：$x=±\frac{3}{2}$，
即$x_1=-\frac{3}{2}, x_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=-\sqrt{3}, x_2=\sqrt{3}$；(2) 没有实数根；(3) $x_1=-7, x_2=7$；(4) $x_1=-\frac{3}{2}, x_2=\frac{3}{2}$。
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程；2. 平方根的性质；3. 一元二次方程实根判断
【点评】
本题侧重考查不含一次项的一元二次方程的解法，使用直接开平方法计算更简便，解题时需注意开平方不要遗漏负根，若变形后$x^2$等于负数，则方程无实数根。
【难度系数】
0.8
这4个方程均为不含一次项的一元二次方程，形式为$ax^2+c=0(a≠0)$，适合用直接开平方法求解，解题思路如下：①先移项，将含$x^2$的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；②将$x^2$的系数化为1，变形为$x^2=m$的形式；③根据平方根的性质判断：若$m≥0$，则$x=±\sqrt{m}$，可得到两个实数根；若$m＜0$，因为任意实数的平方都为非负数，因此方程没有实数根。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 -9=0$：
移项得：$3x^2=9$，
系数化为1得：$x^2=3$，
开平方得：$x=±\sqrt{3}$，
即$x_1=-\sqrt{3}, x_2=\sqrt{3}$。
(2) 解方程$2x^2 +7=0$：
移项得：$2x^2=-7$，
系数化为1得：$x^2=-\frac{7}{2}$，
∵任意实数的平方都≥0，不可能为负数，
∴该方程没有实数根。
(3) 解方程$\frac{1}{7}x^2 -7=0$：
移项得：$\frac{1}{7}x^2=7$，
系数化为1（两边同乘7）得：$x^2=49$，
开平方得：$x=±7$，
即$x_1=-7, x_2=7$。
(4) 解方程$\frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2}=0$：
移项得：$\frac{2}{3}x^2=\frac{3}{2}$，
系数化为1（两边同乘$\frac{3}{2}$）得：$x^2=\frac{3}{2}×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$，
开平方得：$x=±\frac{3}{2}$，
即$x_1=-\frac{3}{2}, x_2=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=-\sqrt{3}, x_2=\sqrt{3}$；(2) 没有实数根；(3) $x_1=-7, x_2=7$；(4) $x_1=-\frac{3}{2}, x_2=\frac{3}{2}$。
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程；2. 平方根的性质；3. 一元二次方程实根判断
【点评】
本题侧重考查不含一次项的一元二次方程的解法，使用直接开平方法计算更简便，解题时需注意开平方不要遗漏负根，若变形后$x^2$等于负数，则方程无实数根。
【难度系数】
0.8
3. 解下列方程：
(1) $(x+2)^2 -16=0$；
(2) $(-x+1)^2 +2=0$；
(3) $2(x+3)^2 - \frac{1}{8}=0$；
(4) $(3x-1)^2 -4=0$。
(1) $(x+2)^2 -16=0$；
(2) $(-x+1)^2 +2=0$；
(3) $2(x+3)^2 - \frac{1}{8}=0$；
(4) $(3x-1)^2 -4=0$。
答案
(1) $x_1=-6, x_2=2$. (2) 没有实数根. (3) $x_1=-\frac{11}{4}, x_2=-\frac{13}{4}$. (4) $x_1=-\frac{1}{3}, x_2=1$.
解析
【分析】
这4道题的方程均为含未知数的完全平方式与常数组合的结构，适合用直接开平方法求解。解题思路统一为：先通过移项、系数化为1，将方程整理为$(ax+b)^2=c$的形式；再根据平方根的性质判断：若$c＞0$，则开平方得到两个一元一次方程，分别求解得到两个实根；若$c＜0$，平方数不可能为负，方程无实数根。
【解析】
(1) 移项得：$(x+2)^2=16$
开平方得：$x+2=\pm4$
当$x+2=4$时，解得$x=2$；当$x+2=-4$时，解得$x=-6$
(2) 移项得：$(-x+1)^2=-2$
$\because$ 任意实数的平方为非负数，即$(-x+1)^2≥0$，$-2＜0$
$\therefore$ 该方程没有实数根
(3) 移项得：$2(x+3)^2=\frac{1}{8}$
两边同时除以2得：$(x+3)^2=\frac{1}{16}$
开平方得：$x+3=\pm\frac{1}{4}$
当$x+3=\frac{1}{4}$时，解得$x=\frac{1}{4}-3=-\frac{11}{4}$；当$x+3=-\frac{1}{4}$时，解得$x=-\frac{1}{4}-3=-\frac{13}{4}$
(4) 移项得：$(3x-1)^2=4$
开平方得：$3x-1=\pm2$
当$3x-1=2$时，$3x=3$，解得$x=1$；当$3x-1=-2$时，$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $x_1=-6, x_2=2$；(2) 没有实数根；(3) $x_1=-\frac{11}{4}, x_2=-\frac{13}{4}$；(4) $x_1=-\frac{1}{3}, x_2=1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 一元二次方程实根判定
【点评】
本组题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，只要熟练掌握将方程转化为完全平方式等于常数的变形步骤，结合平方根的性质就能快速解题，注意开平方时不要遗漏负的平方根哦。
【难度系数】
0.85
这4道题的方程均为含未知数的完全平方式与常数组合的结构，适合用直接开平方法求解。解题思路统一为：先通过移项、系数化为1，将方程整理为$(ax+b)^2=c$的形式；再根据平方根的性质判断：若$c＞0$，则开平方得到两个一元一次方程，分别求解得到两个实根；若$c＜0$，平方数不可能为负，方程无实数根。
【解析】
(1) 移项得：$(x+2)^2=16$
开平方得：$x+2=\pm4$
当$x+2=4$时，解得$x=2$；当$x+2=-4$时，解得$x=-6$
(2) 移项得：$(-x+1)^2=-2$
$\because$ 任意实数的平方为非负数，即$(-x+1)^2≥0$，$-2＜0$
$\therefore$ 该方程没有实数根
(3) 移项得：$2(x+3)^2=\frac{1}{8}$
两边同时除以2得：$(x+3)^2=\frac{1}{16}$
开平方得：$x+3=\pm\frac{1}{4}$
当$x+3=\frac{1}{4}$时，解得$x=\frac{1}{4}-3=-\frac{11}{4}$；当$x+3=-\frac{1}{4}$时，解得$x=-\frac{1}{4}-3=-\frac{13}{4}$
(4) 移项得：$(3x-1)^2=4$
开平方得：$3x-1=\pm2$
当$3x-1=2$时，$3x=3$，解得$x=1$；当$3x-1=-2$时，$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $x_1=-6, x_2=2$；(2) 没有实数根；(3) $x_1=-\frac{11}{4}, x_2=-\frac{13}{4}$；(4) $x_1=-\frac{1}{3}, x_2=1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 一元二次方程实根判定
【点评】
本组题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，只要熟练掌握将方程转化为完全平方式等于常数的变形步骤，结合平方根的性质就能快速解题，注意开平方时不要遗漏负的平方根哦。
【难度系数】
0.85
