登录
4. 小海在解方程$(2x-3)^2=4$时，解答过程如下：
上述解答过程从第几步开始出现了错误？其错误原因是什么？请写出正确的解答过程。
上述解答过程从第几步开始出现了错误？其错误原因是什么？请写出正确的解答过程。
答案
上述解答过程从第一步开始出现了错误，其错误原因是正数的平方根有两个，这里只写了一个，正确的解答过程如下：
解：两边开平方，得$2x-3=2$或$2x-3=-2$.
解得$x=\frac{5}{2}$或$x=\frac{1}{2}$.
所以，原方程的根是$x_1=\frac{5}{2}, x_2=\frac{1}{2}$.
解：两边开平方，得$2x-3=2$或$2x-3=-2$.
解得$x=\frac{5}{2}$或$x=\frac{1}{2}$.
所以，原方程的根是$x_1=\frac{5}{2}, x_2=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的规则：当方程形如$a^2=b(b＞0)$时，因为正数的平方根有两个、且互为相反数，所以开平方后可得$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。观察小海的解题步骤，第一步开平方时仅写出了正的结果，漏掉了负的结果，会导致漏根。解题时先指出错误步骤和出错原因，再按照正确的开平方规则求解方程即可。
【解析】
首先判断错误步骤：上述解答过程从第一步开始出现错误。
错误原因：正数的平方根有两个且互为相反数，开平方时只取了正的平方根，遗漏了负的平方根，造成漏解。
正确解答过程：
两边开平方，得$2x-3=2$或$2x-3=-2$，
分别解两个一元一次方程：
当$2x-3=2$时，移项得$2x=5$，解得$x=\frac{5}{2}$；
当$2x-3=-2$时，移项得$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$。
所以原方程的两个根为$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
上述解答过程从第一步开始出现了错误，其错误原因是正数的平方根有两个，这里只写了一个，正确的解答过程如下：
解：两边开平方，得$2x-3=2$或$2x-3=-2$.
解得$x=\frac{5}{2}$或$x=\frac{1}{2}$.
所以，原方程的根是$x_1=\frac{5}{2}, x_2=\frac{1}{2}$.
【知识点】
1. 直接开平方法解方程
2. 平方根的性质
3. 一元二次方程的根
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型易错题，解题的核心是牢记正数开平方的结果有正负两个，避免只取正根出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的规则：当方程形如$a^2=b(b＞0)$时，因为正数的平方根有两个、且互为相反数，所以开平方后可得$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。观察小海的解题步骤，第一步开平方时仅写出了正的结果，漏掉了负的结果，会导致漏根。解题时先指出错误步骤和出错原因，再按照正确的开平方规则求解方程即可。
【解析】
首先判断错误步骤：上述解答过程从第一步开始出现错误。
错误原因：正数的平方根有两个且互为相反数，开平方时只取了正的平方根，遗漏了负的平方根，造成漏解。
正确解答过程：
两边开平方，得$2x-3=2$或$2x-3=-2$，
分别解两个一元一次方程：
当$2x-3=2$时，移项得$2x=5$，解得$x=\frac{5}{2}$；
当$2x-3=-2$时，移项得$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$。
所以原方程的两个根为$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
上述解答过程从第一步开始出现了错误，其错误原因是正数的平方根有两个，这里只写了一个，正确的解答过程如下：
解：两边开平方，得$2x-3=2$或$2x-3=-2$.
解得$x=\frac{5}{2}$或$x=\frac{1}{2}$.
所以，原方程的根是$x_1=\frac{5}{2}, x_2=\frac{1}{2}$.
【知识点】
1. 直接开平方法解方程
2. 平方根的性质
3. 一元二次方程的根
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型易错题，解题的核心是牢记正数开平方的结果有正负两个，避免只取正根出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
(2) $x^2 - 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2;$
答案
(2) $\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的逆用，解题时先回忆完全平方差公式的结构：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将题目中的式子与公式结构对应即可求解。具体思路：首先确定公式中$m=x$，再通过一次项系数$-3=-2n$求出$n$的值，也就是右边括号内要填的数，最后计算$n^2$就能得到左边需要补充的常数项。
【解析】
根据完全平方差公式：$(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$
对比题干式子$x^2-3x+\_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$，可得一次项对应关系：$-2a=-3$
解得$a=\frac{3}{2}$，即右侧括号内应填$\frac{3}{2}$
左侧需要补充的常数项为$a^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$
【答案】
$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是完全平方公式逆用的基础题型，核心是掌握完全平方公式的结构特征，明确一次项系数和常数项的数量关系，是后续学习一元二次方程配方法的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的逆用，解题时先回忆完全平方差公式的结构：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，将题目中的式子与公式结构对应即可求解。具体思路：首先确定公式中$m=x$，再通过一次项系数$-3=-2n$求出$n$的值，也就是右边括号内要填的数，最后计算$n^2$就能得到左边需要补充的常数项。
【解析】
根据完全平方差公式：$(x-a)^2=x^2-2ax+a^2$
对比题干式子$x^2-3x+\_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$，可得一次项对应关系：$-2a=-3$
解得$a=\frac{3}{2}$，即右侧括号内应填$\frac{3}{2}$
左侧需要补充的常数项为$a^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$
【答案】
$\frac{9}{4}$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是完全平方公式逆用的基础题型，核心是掌握完全平方公式的结构特征，明确一次项系数和常数项的数量关系，是后续学习一元二次方程配方法的基础。
【难度系数】
0.8
(3) $x^2 - \frac{2}{3}x +$
$\frac{1}{9}$
$=(x -$ $\frac{1}{3}$
$)^2;$答案
(3) $\frac{1}{9}$；$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的配方应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。本题中二次项系数已经为1，对应公式里的$a=x$，我们可以先根据一次项系数求出公式里的$b$（即第二个空的数），再计算$b^2$得到第一个空的常数项。具体步骤：1. 等式右边$(x-m)^2$展开后一次项系数为$-2m$，和左边的一次项系数$-\frac{2}{3}$对应相等，可求出$m$；2. 常数项为$m^2$，代入$m$的值即可求出第一个空。
【解析】
设等式右边第二个横线处的数为$m$，根据完全平方差公式，将$(x-m)^2$展开得：
$(x-m)^2=x^2-2mx+m^2$
将展开式和左边的$x^2-\frac{2}{3}x+\_\_\_\_\_\_$对应，一次项系数相等：
$-2m=-\frac{2}{3}$
解得：$m=\frac{1}{3}$，即第二个空填$\frac{1}{3}$。
再计算常数项：$m^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即第一个空填$\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$；$\frac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心要掌握二次项系数为1时的配方法规则：常数项等于一次项系数一半的平方，熟练掌握该规则可快速解决此类配方问题。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的配方应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。本题中二次项系数已经为1，对应公式里的$a=x$，我们可以先根据一次项系数求出公式里的$b$（即第二个空的数），再计算$b^2$得到第一个空的常数项。具体步骤：1. 等式右边$(x-m)^2$展开后一次项系数为$-2m$，和左边的一次项系数$-\frac{2}{3}$对应相等，可求出$m$；2. 常数项为$m^2$，代入$m$的值即可求出第一个空。
【解析】
设等式右边第二个横线处的数为$m$，根据完全平方差公式，将$(x-m)^2$展开得：
$(x-m)^2=x^2-2mx+m^2$
将展开式和左边的$x^2-\frac{2}{3}x+\_\_\_\_\_\_$对应，一次项系数相等：
$-2m=-\frac{2}{3}$
解得：$m=\frac{1}{3}$，即第二个空填$\frac{1}{3}$。
再计算常数项：$m^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即第一个空填$\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$；$\frac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心要掌握二次项系数为1时的配方法规则：常数项等于一次项系数一半的平方，熟练掌握该规则可快速解决此类配方问题。
【难度系数】
0.8
(4) $x^2 - mx + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2.$
答案
(4) $\frac{m^2}{4}$；$\frac{m}{2}$
解析
【分析】
这道题考查完全平方差公式的逆用，解题时先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。我们可以先设等式右半部分括号里的数为$n$，将$(x-n)^2$展开后，和左半部分的多项式逐项对比系数，先通过一次项系数求出$n$的值（即第二个空的内容），再通过$n$求出左半部分的常数项（即第一个空的内容）。
【解析】
设等式右侧为$(x-n)^2$，根据完全平方差公式展开得：
$(x-n)^2=x^2-2nx+n^2$
将展开式与左侧$x^2-mx+\_\_\_\_\_\_$对应项系数对比：
1. 一次项系数对应：$-2n=-m$，解得$n=\frac{m}{2}$，即第二个空填$\frac{m}{2}$；
2. 常数项对应：左侧常数项为$n^2$，代入$n=\frac{m}{2}$得$n^2=(\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$，即第一个空填$\frac{m^2}{4}$。
【答案】
$\frac{m^2}{4}$；$\frac{m}{2}$
【知识点】
完全平方公式，多项式对应系数相等
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，只要牢记完全平方公式的结构特征，理清展开式各项和原式的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
这道题考查完全平方差公式的逆用，解题时先回忆完全平方差公式的结构：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。我们可以先设等式右半部分括号里的数为$n$，将$(x-n)^2$展开后，和左半部分的多项式逐项对比系数，先通过一次项系数求出$n$的值（即第二个空的内容），再通过$n$求出左半部分的常数项（即第一个空的内容）。
【解析】
设等式右侧为$(x-n)^2$，根据完全平方差公式展开得：
$(x-n)^2=x^2-2nx+n^2$
将展开式与左侧$x^2-mx+\_\_\_\_\_\_$对应项系数对比：
1. 一次项系数对应：$-2n=-m$，解得$n=\frac{m}{2}$，即第二个空填$\frac{m}{2}$；
2. 常数项对应：左侧常数项为$n^2$，代入$n=\frac{m}{2}$得$n^2=(\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$，即第一个空填$\frac{m^2}{4}$。
【答案】
$\frac{m^2}{4}$；$\frac{m}{2}$
【知识点】
完全平方公式，多项式对应系数相等
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，只要牢记完全平方公式的结构特征，理清展开式各项和原式的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 用配方法解下列方程：
(1) $x^2 + 3x = \frac{3}{4}$；
(2) $x^2 - x + 1 = 0$；
(3) $x^2 - 4x - 1 = 0$；
(4) $-x^2 + 2x + 2 = 0$。
(1) $x^2 + 3x = \frac{3}{4}$；
(2) $x^2 - x + 1 = 0$；
(3) $x^2 - 4x - 1 = 0$；
(4) $-x^2 + 2x + 2 = 0$。
答案
(1) $x_1=-\frac{3}{2}-\sqrt{3}$，$x_2=-\frac{3}{2}+\sqrt{3}$。
(2) 没有实数根。
(3) $x_1=2-\sqrt{5}$，$x_2=2+\sqrt{5}$。
(4) $x_1=1-\sqrt{3}$，$x_2=1+\sqrt{3}$。
(2) 没有实数根。
(3) $x_1=2-\sqrt{5}$，$x_2=2+\sqrt{5}$。
(4) $x_1=1-\sqrt{3}$，$x_2=1+\sqrt{3}$。
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，再利用平方根的性质求解，通用步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式；④若等号右侧是非负数，直接开方求根，若右侧是负数，则方程无实数根。解题时按步骤逐一计算即可，注意符号不要出错。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 3x = \frac{3}{4}$二次项系数已为1，直接配方：
一次项系数为3，一半的平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，方程两边同时加$\frac{9}{4}$得：
$x^2+3x+\frac{9}{4}=\frac{3}{4}+\frac{9}{4}$
即$(x+\frac{3}{2})^2=3$
开方得$x+\frac{3}{2}=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=-\frac{3}{2}-\sqrt{3}$，$x_2=-\frac{3}{2}+\sqrt{3}$
(2) 方程$x^2 - x + 1 = 0$先移项得$x^2 -x = -1$：
一次项系数为-1，一半的平方为$(\frac{-1}{2})^2=\frac{1}{4}$，方程两边同时加$\frac{1}{4}$得：
$x^2 -x +\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$
即$(x-\frac{1}{2})^2=-\frac{3}{4}$
∵ 平方数非负，$-\frac{3}{4}＜0$
∴ 该方程没有实数根
(3) 方程$x^2 - 4x -1 = 0$先移项得$x^2 -4x = 1$：
一次项系数为-4，一半的平方为$(-2)^2=4$，方程两边同时加4得：
$x^2 -4x +4 =1+4$
即$(x-2)^2=5$
开方得$x-2=\pm\sqrt{5}$
解得$x_1=2-\sqrt{5}$，$x_2=2+\sqrt{5}$
(4) 方程$-x^2 + 2x +2 = 0$先将二次项系数化为1，两边同乘$-1$得$x^2 -2x -2 = 0$，移项得$x^2 -2x =2$：
一次项系数为-2，一半的平方为$(-1)^2=1$，方程两边同时加1得：
$x^2 -2x +1 =2+1$
即$(x-1)^2=3$
开方得$x-1=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=1-\sqrt{3}$，$x_2=1+\sqrt{3}$
【答案】
(1) $x_1=-\frac{3}{2}-\sqrt{3}$，$x_2=-\frac{3}{2}+\sqrt{3}$；
(2) 没有实数根；
(3) $x_1=2-\sqrt{5}$，$x_2=2+\sqrt{5}$；
(4) $x_1=1-\sqrt{3}$，$x_2=1+\sqrt{3}$。
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 平方根的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，解题时需严格遵循配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化系数为1，配方后等号右侧为负时方程无实根，熟练掌握完全平方公式是正确配方的关键。
【难度系数】
0.75
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，再利用平方根的性质求解，通用步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式；④若等号右侧是非负数，直接开方求根，若右侧是负数，则方程无实数根。解题时按步骤逐一计算即可，注意符号不要出错。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 3x = \frac{3}{4}$二次项系数已为1，直接配方：
一次项系数为3，一半的平方为$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，方程两边同时加$\frac{9}{4}$得：
$x^2+3x+\frac{9}{4}=\frac{3}{4}+\frac{9}{4}$
即$(x+\frac{3}{2})^2=3$
开方得$x+\frac{3}{2}=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=-\frac{3}{2}-\sqrt{3}$，$x_2=-\frac{3}{2}+\sqrt{3}$
(2) 方程$x^2 - x + 1 = 0$先移项得$x^2 -x = -1$：
一次项系数为-1，一半的平方为$(\frac{-1}{2})^2=\frac{1}{4}$，方程两边同时加$\frac{1}{4}$得：
$x^2 -x +\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$
即$(x-\frac{1}{2})^2=-\frac{3}{4}$
∵ 平方数非负，$-\frac{3}{4}＜0$
∴ 该方程没有实数根
(3) 方程$x^2 - 4x -1 = 0$先移项得$x^2 -4x = 1$：
一次项系数为-4，一半的平方为$(-2)^2=4$，方程两边同时加4得：
$x^2 -4x +4 =1+4$
即$(x-2)^2=5$
开方得$x-2=\pm\sqrt{5}$
解得$x_1=2-\sqrt{5}$，$x_2=2+\sqrt{5}$
(4) 方程$-x^2 + 2x +2 = 0$先将二次项系数化为1，两边同乘$-1$得$x^2 -2x -2 = 0$，移项得$x^2 -2x =2$：
一次项系数为-2，一半的平方为$(-1)^2=1$，方程两边同时加1得：
$x^2 -2x +1 =2+1$
即$(x-1)^2=3$
开方得$x-1=\pm\sqrt{3}$
解得$x_1=1-\sqrt{3}$，$x_2=1+\sqrt{3}$
【答案】
(1) $x_1=-\frac{3}{2}-\sqrt{3}$，$x_2=-\frac{3}{2}+\sqrt{3}$；
(2) 没有实数根；
(3) $x_1=2-\sqrt{5}$，$x_2=2+\sqrt{5}$；
(4) $x_1=1-\sqrt{3}$，$x_2=1+\sqrt{3}$。
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 平方根的性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，解题时需严格遵循配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时要先化系数为1，配方后等号右侧为负时方程无实根，熟练掌握完全平方公式是正确配方的关键。
【难度系数】
0.75
