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3. 用配方法解下列方程：
(1) $2x^2 + x - 1 = 0$；
(2) $-3x^2 + 4x = -\frac{2}{3}$。
(1) $2x^2 + x - 1 = 0$；
(2) $-3x^2 + 4x = -\frac{2}{3}$。
答案
(1) $x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$。
(2) $x_1=\frac{2-\sqrt{6}}{3}$，$x_2=\frac{2+\sqrt{6}}{3}$。
(2) $x_1=\frac{2-\sqrt{6}}{3}$，$x_2=\frac{2+\sqrt{6}}{3}$。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程遵循通用步骤：①将二次项系数化为1；②移项，把含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④用直接开平方法求解方程。两个小题均按该步骤计算即可，计算时注意符号处理。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 + x - 1 = 0$：
第一步，二次项系数化为1，方程两边同时除以2：
$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
第二步，移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$
第三步，配方，两边同时加一次项系数$\frac{1}{2}$一半的平方$(\frac{1}{4})^2$：
$x^2 + \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{2} + (\frac{1}{4})^2$
整理得：$(x+\frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$
第四步，开平方：
$x+\frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得：$x_1 = \frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，$x_2 = -\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=-1$
(2) 解方程$-3x^2 + 4x = -\frac{2}{3}$：
第一步，二次项系数化为1，方程两边同时除以-3：
$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{9}$
第二步，配方，两边同时加一次项系数$-\frac{4}{3}$一半的平方$(\frac{2}{3})^2$：
$x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{9} + (\frac{2}{3})^2$
整理得：$(x-\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3}$
第三步，开平方：
$x-\frac{2}{3} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$
解得：$x_1 = \frac{2-\sqrt{6}}{3}$，$x_2 = \frac{2+\sqrt{6}}{3}$
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(2) $x_1=\frac{2-\sqrt{6}}{3}$，$x_2=\frac{2+\sqrt{6}}{3}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规应用，核心是掌握配方法的固定步骤，尤其注意配方时需给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加或符号计算错误。
【难度系数】
0.7
用配方法解一元二次方程遵循通用步骤：①将二次项系数化为1；②移项，把含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④用直接开平方法求解方程。两个小题均按该步骤计算即可，计算时注意符号处理。
【解析】
(1) 解方程$2x^2 + x - 1 = 0$：
第一步，二次项系数化为1，方程两边同时除以2：
$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
第二步，移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}$
第三步，配方，两边同时加一次项系数$\frac{1}{2}$一半的平方$(\frac{1}{4})^2$：
$x^2 + \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{2} + (\frac{1}{4})^2$
整理得：$(x+\frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}$
第四步，开平方：
$x+\frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}$
解得：$x_1 = \frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，$x_2 = -\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=-1$
(2) 解方程$-3x^2 + 4x = -\frac{2}{3}$：
第一步，二次项系数化为1，方程两边同时除以-3：
$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{9}$
第二步，配方，两边同时加一次项系数$-\frac{4}{3}$一半的平方$(\frac{2}{3})^2$：
$x^2 - \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{9} + (\frac{2}{3})^2$
整理得：$(x-\frac{2}{3})^2 = \frac{2}{3}$
第三步，开平方：
$x-\frac{2}{3} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$
解得：$x_1 = \frac{2-\sqrt{6}}{3}$，$x_2 = \frac{2+\sqrt{6}}{3}$
【答案】
(1) $x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(2) $x_1=\frac{2-\sqrt{6}}{3}$，$x_2=\frac{2+\sqrt{6}}{3}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规应用，核心是掌握配方法的固定步骤，尤其注意配方时需给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，避免漏加或符号计算错误。
【难度系数】
0.7
4. 根据完全平方式的概念，在代数式“$(x+1)(x-3)+$
拓展与思考
4
”中的“”上补充一个数，使得所得到的代数式是一个完全平方式，请写出符合要求的这个数.拓展与思考
答案
4. 提示：$(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$，要加上一个数使之成为完全平方式，因为其一次项系数为$-2$，所以成为完全平方式后常数项为1，故而补充的数为4。
解析
【分析】
解题时首先要先将括号内的整式乘积展开，整理为二次三项式的标准形式，再根据完全平方式的结构特征，结合展开式的一次项系数求出构成完全平方式需要的常数项，最后用所需常数项减去展开式中已有的常数项，即可得到需要补充的数。
【解析】
1. 先化简已知的整式乘积：
$\begin{aligned}(x+1)(x-3)&=x^2 - 3x + x - 3\\&=x^2 - 2x - 3\end{aligned}$
2. 根据完全平方公式的特征，对于$x^2-2x$，要构成完全平方式，需要补充的常数项为$(\frac{-2}{2})^2=1$，对应的完全平方式为$x^2-2x+1=(x-1)^2$。
3. 计算需要补充的数：展开式现有常数项为$-3$，因此需要补充的数为$1 - (-3)=4$。
【答案】
4
【知识点】
整式乘法运算，完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的基础应用，解题核心是熟练掌握完全平方式的结构特征，先化简已知代数式再匹配公式特征求解，是整式运算模块的典型基础题。
【难度系数】
0.75
解题时首先要先将括号内的整式乘积展开，整理为二次三项式的标准形式，再根据完全平方式的结构特征，结合展开式的一次项系数求出构成完全平方式需要的常数项，最后用所需常数项减去展开式中已有的常数项，即可得到需要补充的数。
【解析】
1. 先化简已知的整式乘积：
$\begin{aligned}(x+1)(x-3)&=x^2 - 3x + x - 3\\&=x^2 - 2x - 3\end{aligned}$
2. 根据完全平方公式的特征，对于$x^2-2x$，要构成完全平方式，需要补充的常数项为$(\frac{-2}{2})^2=1$，对应的完全平方式为$x^2-2x+1=(x-1)^2$。
3. 计算需要补充的数：展开式现有常数项为$-3$，因此需要补充的数为$1 - (-3)=4$。
【答案】
4
【知识点】
整式乘法运算，完全平方公式
【点评】
本题考查完全平方公式的基础应用，解题核心是熟练掌握完全平方式的结构特征，先化简已知代数式再匹配公式特征求解，是整式运算模块的典型基础题。
【难度系数】
0.75
1. 用公式法解 $x^2 -2=3x$，下列求根公式正确的是 （
A.$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2 -4×1×2}}{2}$；
B.$x=\frac{-3\pm\sqrt{(-3)^2 -4×1×(-2)}}{2}$；
C.$x=\frac{3\pm\sqrt{$
$}}{2}$；
D.$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2 -4×1×2}}{2}$。
C
）A.$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2 -4×1×2}}{2}$；
B.$x=\frac{-3\pm\sqrt{(-3)^2 -4×1×(-2)}}{2}$；
C.$x=\frac{3\pm\sqrt{$
$}}{2}$；D.$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2 -4×1×2}}{2}$。
答案
1. C.
解析
【分析】
要解决这道题，需按照公式法解一元二次方程的标准步骤思考：首先必须把原方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值（注意要带符号），最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，和选项比对即可得出答案。
【解析】
第一步：将原方程$x^2 -2=3x$移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x - 2 = 0$
第二步：确定系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-2$。
第三步：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2 - 4×1×(-2)}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2 - 4×1×(-2)}}{2}$
对比选项，C选项与推导结果一致。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程一般式
2. 求根公式
3. 公式法解方程
【点评】
本题属于公式法解一元二次方程的基础考查题，易错点是未将方程化为一般形式就直接确定系数，或是确定$b$、$c$时忽略符号，只要严格遵循先整理一般式、再确定系数、最后代入公式的步骤，就能轻松得出正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按照公式法解一元二次方程的标准步骤思考：首先必须把原方程化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，再准确确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值（注意要带符号），最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，和选项比对即可得出答案。
【解析】
第一步：将原方程$x^2 -2=3x$移项，整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x - 2 = 0$
第二步：确定系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-2$。
第三步：代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2 - 4×1×(-2)}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2 - 4×1×(-2)}}{2}$
对比选项，C选项与推导结果一致。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程一般式
2. 求根公式
3. 公式法解方程
【点评】
本题属于公式法解一元二次方程的基础考查题，易错点是未将方程化为一般形式就直接确定系数，或是确定$b$、$c$时忽略符号，只要严格遵循先整理一般式、再确定系数、最后代入公式的步骤，就能轻松得出正确结果。
【难度系数】
0.7
