2. 用公式法解下列方程：
(1) $x^2 +4x +1=0$；
(2) $2x^2 -3x=9$；
(3) $x(5x -2)+1=0$；
(4) $3x +x(x -1)=6$。

2. (1) $x_1=-2-\sqrt{3}$，$x_2=-2+\sqrt{3}$. (2) $x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=3$. (3) 没有实数根.
(4) $x_1=-1-\sqrt{7}$，$x_2=-1+\sqrt{7}$.

【分析】
用公式法解一元二次方程的通用思路如下：第一步，先把原方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确确定系数$a、b、c$的取值；第二步，计算根的判别式$\Delta =b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：若$\Delta≥0$，方程有实数根，若$\Delta＜0$，方程没有实数根；第三步，若有实根，将$a、b、\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算最终的根即可，计算过程中要注意符号不要出错。
【解析】
(1) 方程$x^2 +4x +1=0$已是一般形式，其中$a=1$，$b=4$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = 4^2 -4×1×1 =12＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2×1}=-2\pm\sqrt{3}$。
(2) 先整理为一般形式：移项得$2x^2 -3x -9=0$，其中$a=2$，$b=-3$，$c=-9$。
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 -4×2×(-9)=81＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{3\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{3\pm9}{4}$，计算得$x_1=\frac{3-9}{4}=-\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{3+9}{4}=3$。
(3) 先整理为一般形式：展开原式得$5x^2 -2x +1=0$，其中$a=5$，$b=-2$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = (-2)^2 -4×5×1=-16＜0$，因此方程没有实数根。
(4) 先整理为一般形式：展开、合并同类项得$x^2 +2x -6=0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-6$。
计算判别式：$\Delta = 2^2 -4×1×(-6)=28＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2×1}=-1\pm\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $x_1=-2-\sqrt{3}$，$x_2=-2+\sqrt{3}$；(2) $x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=3$；(3) 没有实数根；(4) $x_1=-1-\sqrt{7}$，$x_2=-1+\sqrt{7}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，核心要求是熟练掌握公式法的解题步骤，解题时要注意先把方程转化为标准一般形式，准确确定系数的符号，避免因符号错误或者整理方程出错导致结果失误。
【难度系数】
0.85

3. 用公式法解下列方程：
(1) $x^2+\sqrt{3}x-5=0$；
(2) $3x^2+1=-2\sqrt{5}x$；
(3) $x(x+\sqrt{2})+x^2-3=0$；
(4) $\frac{1}{2}x^2=3x-\frac{2}{5}$；

3. (1) $x_1=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{23}}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{23}}{2}$. (2) $x_1=\frac{-\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$.
(3) $x_1=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{26}}{4}$，$x_2=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{26}}{4}$. (4) $x_1=3-\frac{\sqrt{205}}{5}$，$x_2=3+\frac{\sqrt{205}}{5}$.

【分析】
用公式法解一元二次方程的通用步骤为：①将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定系数$a、b、c$的值，尤其注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，若$\Delta≥0$则方程有实数根，若$\Delta＜0$则无实数根；③当$\Delta≥0$时，将$a、b、\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后将结果化简为最简形式即可。
【解析】
(1) 方程$x^2+\sqrt{3}x-5=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=\sqrt{3}$，$c=-5$。
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(\sqrt{3})^2 - 4×1×(-5)=3+20=23＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\sqrt{3}\pm\sqrt{23}}{2×1}$。
(2) 先移项整理为一般形式：$3x^2 + 2\sqrt{5}x + 1=0$，其中$a=3$，$b=2\sqrt{5}$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta = (2\sqrt{5})^2 -4×3×1=20-12=8＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-2\sqrt{5}\pm\sqrt{8}}{2×3}=\frac{-2\sqrt{5}\pm2\sqrt{2}}{6}=\frac{-\sqrt{5}\pm\sqrt{2}}{3}$。
(3) 先展开合并同类项整理为一般形式：$x^2+\sqrt{2}x +x^2 -3=0$，即$2x^2+\sqrt{2}x -3=0$，其中$a=2$，$b=\sqrt{2}$，$c=-3$。
计算判别式：$\Delta = (\sqrt{2})^2 -4×2×(-3)=2+24=26＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{26}}{2×2}=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{26}}{4}$。
(4) 先移项去分母整理为一般形式：两边同乘10得$5x^2 -30x +4=0$，其中$a=5$，$b=-30$，$c=4$。
计算判别式：$\Delta = (-30)^2 -4×5×4=900-80=820＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：$x=\frac{30\pm\sqrt{820}}{2×5}=\frac{30\pm2\sqrt{205}}{10}=3\pm\frac{\sqrt{205}}{5}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{23}}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{23}}{2}$
(2) $x_1=\frac{-\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}+\sqrt{2}}{3}$
(3) $x_1=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{26}}{4}$，$x_2=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{26}}{4}$
(4) $x_1=3-\frac{\sqrt{205}}{5}$，$x_2=3+\frac{\sqrt{205}}{5}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题核心是严格遵循公式法的解题步骤，尤其注意在整理方程一般形式时不要弄错系数符号，计算判别式和代入求根公式后要注意将结果化为最简形式，避免计算失误。
【难度系数】
0.75