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4. 如果关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有两个实数根$x_1$、$x_2$，且$|x_1 - x_2| = 1$，那么称该方程的两个根的距离为
1. 例如，一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$两个根是$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，则方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个根的距离为1.
（1）方程$x^2 + 5x + 6 = 0$的两个根的距离为1吗？方程$x^2 + 5x - 6 = 0$的两个根的距离为1吗？为什么？
（2）如果关于$x$的方程$(x - 3)(mx - n) = 0$的两个根的距离为1，求代数式$\frac{m + n}{2n}$的值.
阅读与探索
1. 例如，一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$两个根是$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，则方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个根的距离为1.
（1）方程$x^2 + 5x + 6 = 0$的两个根的距离为1吗？方程$x^2 + 5x - 6 = 0$的两个根的距离为1吗？为什么？
（2）如果关于$x$的方程$(x - 3)(mx - n) = 0$的两个根的距离为1，求代数式$\frac{m + n}{2n}$的值.
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答案
4. (1) 因为方程$x^2 +5x +6=0$的根是$x_1=-2$，$x_2=-3$，此时$|x_1-x_2|=1$，所以该方程的两个根的距离为1；因为方程$x^2 +5x -6=0$的根是$x_1=-6$，$x_2=1$，此时$|x_1-x_2|=7$，所以该方程的两个根的距离不为1.
(2) 因为方程$(x-3)(mx-n)=0$的根是$x_1=3$，$x_2=\frac{n}{m}$，又因为该方程的两个根的距离为1，所以$\frac{n}{m}=2$或$\frac{n}{m}=4$. 当$\frac{n}{m}=2$时，$\frac{m+n}{2n}$的值是$\frac{3}{4}$；当$\frac{n}{m}=4$时，$\frac{m+n}{2n}$的值是$\frac{5}{8}$.
(2) 因为方程$(x-3)(mx-n)=0$的根是$x_1=3$，$x_2=\frac{n}{m}$，又因为该方程的两个根的距离为1，所以$\frac{n}{m}=2$或$\frac{n}{m}=4$. 当$\frac{n}{m}=2$时，$\frac{m+n}{2n}$的值是$\frac{3}{4}$；当$\frac{n}{m}=4$时，$\frac{m+n}{2n}$的值是$\frac{5}{8}$.
解析
【分析】
（1）判断方程两根距离是否为1，首先用因式分解法分别求出两个方程的实数根，再计算两根差的绝对值，若结果等于1则符合定义，否则不符合。
（2）先求出方程$(x-3)(mx-n)=0$的两个根，根据两根距离为1的定义可得两根差的绝对值为1，分两种情况求出$\frac{n}{m}$的取值，再将所求代数式变形为含$\frac{m}{n}$的形式，代入比值计算即可。
【解析】
（1）① 解方程$x^2 + 5x + 6 = 0$，因式分解得$(x+2)(x+3)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=-3$，则$|x_1-x_2|=|-2-(-3)|=1$，符合两根距离为1的定义。
② 解方程$x^2 + 5x - 6 = 0$，因式分解得$(x+6)(x-1)=0$，解得$x_1=-6$，$x_2=1$，则$|x_1-x_2|=|-6-1|=7≠1$，不符合两根距离为1的定义。
（2）解方程$(x-3)(mx-n)=0$，可得两根为$x_1=3$，$x_2=\frac{n}{m}$（$m≠0$）。
由两根距离为1得$|3-\frac{n}{m}|=1$，分两种情况：
1. 当$3-\frac{n}{m}=1$时，$\frac{n}{m}=2$，即$\frac{m}{n}=\frac{1}{2}$，代数式变形得$\frac{m+n}{2n}=\frac{m}{2n}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$；
2. 当$3-\frac{n}{m}=-1$时，$\frac{n}{m}=4$，即$\frac{m}{n}=\frac{1}{4}$，代入得$\frac{m+n}{2n}=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$。
【答案】
(1) 方程$x^2 +5x +6=0$的两个根的距离为1；方程$x^2 +5x -6=0$的两个根的距离不为1，因为方程$x^2 +5x +6=0$的根是$x_1=-2$，$x_2=-3$，此时$|x_1-x_2|=1$，方程$x^2 +5x -6=0$的根是$x_1=-6$，$x_2=1$，此时$|x_1-x_2|=7$。
(2) 当$\frac{n}{m}=2$时，$\frac{m+n}{2n}$的值是$\frac{3}{4}$；当$\frac{n}{m}=4$时，$\frac{m+n}{2n}$的值是$\frac{5}{8}$。
【知识点】
一元二次方程求解，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题属于新定义题型，解题核心是准确理解题中给出的“两根距离为1”的含义，第二问解题时要注意分情况讨论，避免漏解，整体侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
（1）判断方程两根距离是否为1，首先用因式分解法分别求出两个方程的实数根，再计算两根差的绝对值，若结果等于1则符合定义，否则不符合。
（2）先求出方程$(x-3)(mx-n)=0$的两个根，根据两根距离为1的定义可得两根差的绝对值为1，分两种情况求出$\frac{n}{m}$的取值，再将所求代数式变形为含$\frac{m}{n}$的形式，代入比值计算即可。
【解析】
（1）① 解方程$x^2 + 5x + 6 = 0$，因式分解得$(x+2)(x+3)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=-3$，则$|x_1-x_2|=|-2-(-3)|=1$，符合两根距离为1的定义。
② 解方程$x^2 + 5x - 6 = 0$，因式分解得$(x+6)(x-1)=0$，解得$x_1=-6$，$x_2=1$，则$|x_1-x_2|=|-6-1|=7≠1$，不符合两根距离为1的定义。
（2）解方程$(x-3)(mx-n)=0$，可得两根为$x_1=3$，$x_2=\frac{n}{m}$（$m≠0$）。
由两根距离为1得$|3-\frac{n}{m}|=1$，分两种情况：
1. 当$3-\frac{n}{m}=1$时，$\frac{n}{m}=2$，即$\frac{m}{n}=\frac{1}{2}$，代数式变形得$\frac{m+n}{2n}=\frac{m}{2n}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$；
2. 当$3-\frac{n}{m}=-1$时，$\frac{n}{m}=4$，即$\frac{m}{n}=\frac{1}{4}$，代入得$\frac{m+n}{2n}=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$。
【答案】
(1) 方程$x^2 +5x +6=0$的两个根的距离为1；方程$x^2 +5x -6=0$的两个根的距离不为1，因为方程$x^2 +5x +6=0$的根是$x_1=-2$，$x_2=-3$，此时$|x_1-x_2|=1$，方程$x^2 +5x -6=0$的根是$x_1=-6$，$x_2=1$，此时$|x_1-x_2|=7$。
(2) 当$\frac{n}{m}=2$时，$\frac{m+n}{2n}$的值是$\frac{3}{4}$；当$\frac{n}{m}=4$时，$\frac{m+n}{2n}$的值是$\frac{5}{8}$。
【知识点】
一元二次方程求解，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题属于新定义题型，解题核心是准确理解题中给出的“两根距离为1”的含义，第二问解题时要注意分情况讨论，避免漏解，整体侧重对基础知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
