登录
4. 若$x=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$，$y=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$，求$(x-1)(y-1)$的值.
答案
$\frac{3}{2}-\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件中x、y的形式，均为分母含二次根式的分式，第一步需先对x、y进行分母有理化得到最简形式。再观察所求代数式$(x-1)(y-1)$，可先利用多项式乘法法则将其展开为$xy - x - y +1$，变形为$xy-(x+y)+1$，只需计算出$x+y$和$xy$的值后代入即可，这样计算比直接代入化简后的x、y计算更简便，减少运算量。
【解析】
第一步：对x、y进行分母有理化：
$x=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
$y=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
第二步：计算$x+y$和$xy$的值：
$x+y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$
$xy=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}=\frac{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}{4}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
第三步：展开所求代数式并代入计算：
$(x-1)(y-1)=xy - x - y +1=xy-(x+y)+1$
将$xy=\frac{1}{2}$，$x+y=\sqrt{5}$代入得：
原式$=\frac{1}{2}-\sqrt{5}+1=\frac{3}{2}-\sqrt{5}$
【答案】
$\frac{3}{2}-\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式分母有理化，多项式乘法，二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，解题时先将含二次根式的分式化为最简形式，再对所求代数式适当变形，利用整体代入的思想计算，可有效简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件中x、y的形式，均为分母含二次根式的分式，第一步需先对x、y进行分母有理化得到最简形式。再观察所求代数式$(x-1)(y-1)$，可先利用多项式乘法法则将其展开为$xy - x - y +1$，变形为$xy-(x+y)+1$，只需计算出$x+y$和$xy$的值后代入即可，这样计算比直接代入化简后的x、y计算更简便，减少运算量。
【解析】
第一步：对x、y进行分母有理化：
$x=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$
$y=\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$
第二步：计算$x+y$和$xy$的值：
$x+y=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$
$xy=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}=\frac{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}{4}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
第三步：展开所求代数式并代入计算：
$(x-1)(y-1)=xy - x - y +1=xy-(x+y)+1$
将$xy=\frac{1}{2}$，$x+y=\sqrt{5}$代入得：
原式$=\frac{1}{2}-\sqrt{5}+1=\frac{3}{2}-\sqrt{5}$
【答案】
$\frac{3}{2}-\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式分母有理化，多项式乘法，二次根式混合运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，解题时先将含二次根式的分式化为最简形式，再对所求代数式适当变形，利用整体代入的思想计算，可有效简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
5. 已知 $m=\frac{1}{3}$，$n=\frac{1}{27}$，求 $\frac{m-n}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} + \frac{m+4n -4\sqrt{mn}}{\sqrt{m}-2\sqrt{n}}$ 的值.
拓展与思考
拓展与思考
答案
$\frac{5}{9}\sqrt{3}$。提示：原式$=\frac{(\sqrt{m})^2-(\sqrt{n})^2}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}+\frac{(\sqrt{m}-2\sqrt{n})^2}{\sqrt{m}-2\sqrt{n}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}+\sqrt{m}-2\sqrt{n}=2\sqrt{m}-\sqrt{n}$。
解析
【分析】
本题属于二次根式的化简求值题，解题时无需直接代入m、n的值计算，首先观察两个分式的分子结构：第一个分式的分子$m-n$可变形为$(\sqrt{m})^2-(\sqrt{n})^2$，符合平方差公式的形式；第二个分式的分子$m+4n-4\sqrt{mn}$可变形为$(\sqrt{m})^2-2·\sqrt{m}·2\sqrt{n}+(2\sqrt{n})^2$，符合完全平方差公式的形式。将分子因式分解后和分母约分，就能把原式化简为最简形式，最后代入m、n的值计算即可，可大幅减少运算量，避免出错。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 利用平方差公式化简第一个分式：
$\frac{m-n}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}$（$\sqrt{m}\ne\sqrt{n}$，可约分）
2. 利用完全平方差公式化简第二个分式：
$\frac{m+4n -4\sqrt{mn}}{\sqrt{m}-2\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{m})^2 - 2·\sqrt{m}·2\sqrt{n} + (2\sqrt{n})^2}{\sqrt{m}-2\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{m}-2\sqrt{n})^2}{\sqrt{m}-2\sqrt{n}}=\sqrt{m}-2\sqrt{n}$（$\sqrt{m}\ne2\sqrt{n}$，可约分）
3. 合并化简结果：
原式$=(\sqrt{m}+\sqrt{n})+(\sqrt{m}-2\sqrt{n})=2\sqrt{m}-\sqrt{n}$
4. 代入$m=\frac{1}{3}$，$n=\frac{1}{27}$计算：
$\sqrt{m}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{n}=\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$
代入得：$2\sqrt{m}-\sqrt{n}=2×\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{6\sqrt{3}}{9}-\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{5}{9}\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{5}{9}\sqrt{3}$
【知识点】
1. 乘法公式应用
2. 二次根式化简
3. 分式约分
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心技巧是利用二次根式的性质将整式变形为符合乘法公式的形式，通过因式分解约分简化运算，避免直接代入的复杂计算，掌握该技巧能大幅提升二次根式类化简求值题的解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
本题属于二次根式的化简求值题，解题时无需直接代入m、n的值计算，首先观察两个分式的分子结构：第一个分式的分子$m-n$可变形为$(\sqrt{m})^2-(\sqrt{n})^2$，符合平方差公式的形式；第二个分式的分子$m+4n-4\sqrt{mn}$可变形为$(\sqrt{m})^2-2·\sqrt{m}·2\sqrt{n}+(2\sqrt{n})^2$，符合完全平方差公式的形式。将分子因式分解后和分母约分，就能把原式化简为最简形式，最后代入m、n的值计算即可，可大幅减少运算量，避免出错。
【解析】
解：先对原式进行化简：
1. 利用平方差公式化简第一个分式：
$\frac{m-n}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}$（$\sqrt{m}\ne\sqrt{n}$，可约分）
2. 利用完全平方差公式化简第二个分式：
$\frac{m+4n -4\sqrt{mn}}{\sqrt{m}-2\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{m})^2 - 2·\sqrt{m}·2\sqrt{n} + (2\sqrt{n})^2}{\sqrt{m}-2\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{m}-2\sqrt{n})^2}{\sqrt{m}-2\sqrt{n}}=\sqrt{m}-2\sqrt{n}$（$\sqrt{m}\ne2\sqrt{n}$，可约分）
3. 合并化简结果：
原式$=(\sqrt{m}+\sqrt{n})+(\sqrt{m}-2\sqrt{n})=2\sqrt{m}-\sqrt{n}$
4. 代入$m=\frac{1}{3}$，$n=\frac{1}{27}$计算：
$\sqrt{m}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{n}=\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$
代入得：$2\sqrt{m}-\sqrt{n}=2×\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{6\sqrt{3}}{9}-\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{5}{9}\sqrt{3}$
【答案】
$\frac{5}{9}\sqrt{3}$
【知识点】
1. 乘法公式应用
2. 二次根式化简
3. 分式约分
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，核心技巧是利用二次根式的性质将整式变形为符合乘法公式的形式，通过因式分解约分简化运算，避免直接代入的复杂计算，掌握该技巧能大幅提升二次根式类化简求值题的解题效率和正确率。
【难度系数】
0.7
