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2. 解下列方程：
(1) $2x = 4 - 2\sqrt{2}$；
(2) $2 - \sqrt{3}x = 1 - \sqrt{12}x$；
(3) $\sqrt{3}(x - \sqrt{3}) = \sqrt{2}(x + \sqrt{2})$；
(4) $-\sqrt{3}x = 2x + 4\sqrt{3}$。
(1) $2x = 4 - 2\sqrt{2}$；
(2) $2 - \sqrt{3}x = 1 - \sqrt{12}x$；
(3) $\sqrt{3}(x - \sqrt{3}) = \sqrt{2}(x + \sqrt{2})$；
(4) $-\sqrt{3}x = 2x + 4\sqrt{3}$。
答案
(1) $x=2-\sqrt{2}$
(2) $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) $x=5\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
(4) $x=-8\sqrt{3}+12$
(2) $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) $x=5\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
(4) $x=-8\sqrt{3}+12$
解析
【分析】
这4道题均为含二次根式的一元一次方程，解题思路与普通一元一次方程的解法完全一致：首先有括号的先去括号，再通过移项将含未知数的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧，接着合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可。运算过程中注意先化简出现的二次根式，系数化为1时若分母含根号，要通过分母有理化将结果化为最简形式，同时移项时记得变号，遵循二次根式的运算规则计算。
【解析】
(1) 方程$2x = 4 - 2\sqrt{2}$两边同时除以2，得：
$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}$
(2) 先化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，原方程变为$2 - \sqrt{3}x = 1 - 2\sqrt{3}x$
移项，得：$-\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}x = 1 - 2$
合并同类项，得：$\sqrt{3}x = -1$
系数化为1，分母有理化得：$x=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) 先去括号，根据二次根式乘法规则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，得：
$\sqrt{3}x - (\sqrt{3})^2 = \sqrt{2}x + (\sqrt{2})^2$，即$\sqrt{3}x - 3 = \sqrt{2}x + 2$
移项，得：$\sqrt{3}x - \sqrt{2}x = 2 + 3$
合并同类项，得：$(\sqrt{3}-\sqrt{2})x=5$
系数化为1，分子分母同乘$(\sqrt{3}+\sqrt{2})$分母有理化：
$x=\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=5\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
(4) 移项，得：$-\sqrt{3}x - 2x = 4\sqrt{3}$
合并同类项，提取公因式x，得：$-(2+\sqrt{3})x=4\sqrt{3}$
系数化为1，分子分母同乘$(2-\sqrt{3})$分母有理化：
$x=\frac{-4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{-4\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{-8\sqrt{3}+12}{4-3}=-8\sqrt{3}+12$
【答案】
(1) $x=2-\sqrt{2}$
(2) $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) $x=5\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
(4) $x=-8\sqrt{3}+12$
【知识点】
一元一次方程解法，二次根式运算，分母有理化
【点评】
本组题目核心考察含二次根式的一元一次方程求解，既要求熟练掌握一元一次方程的基本解题步骤，也需要准确运用二次根式的化简、运算及分母有理化的方法，计算时需注意移项变号、分母有理化的规则，避免细节错误。
【难度系数】
0.7
这4道题均为含二次根式的一元一次方程，解题思路与普通一元一次方程的解法完全一致：首先有括号的先去括号，再通过移项将含未知数的项移到等号左侧、常数项移到等号右侧，接着合并同类项，最后将未知数的系数化为1即可。运算过程中注意先化简出现的二次根式，系数化为1时若分母含根号，要通过分母有理化将结果化为最简形式，同时移项时记得变号，遵循二次根式的运算规则计算。
【解析】
(1) 方程$2x = 4 - 2\sqrt{2}$两边同时除以2，得：
$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}$
(2) 先化简$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，原方程变为$2 - \sqrt{3}x = 1 - 2\sqrt{3}x$
移项，得：$-\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}x = 1 - 2$
合并同类项，得：$\sqrt{3}x = -1$
系数化为1，分母有理化得：$x=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) 先去括号，根据二次根式乘法规则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，得：
$\sqrt{3}x - (\sqrt{3})^2 = \sqrt{2}x + (\sqrt{2})^2$，即$\sqrt{3}x - 3 = \sqrt{2}x + 2$
移项，得：$\sqrt{3}x - \sqrt{2}x = 2 + 3$
合并同类项，得：$(\sqrt{3}-\sqrt{2})x=5$
系数化为1，分子分母同乘$(\sqrt{3}+\sqrt{2})$分母有理化：
$x=\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=5\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
(4) 移项，得：$-\sqrt{3}x - 2x = 4\sqrt{3}$
合并同类项，提取公因式x，得：$-(2+\sqrt{3})x=4\sqrt{3}$
系数化为1，分子分母同乘$(2-\sqrt{3})$分母有理化：
$x=\frac{-4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{-4\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{-8\sqrt{3}+12}{4-3}=-8\sqrt{3}+12$
【答案】
(1) $x=2-\sqrt{2}$
(2) $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
(3) $x=5\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
(4) $x=-8\sqrt{3}+12$
【知识点】
一元一次方程解法，二次根式运算，分母有理化
【点评】
本组题目核心考察含二次根式的一元一次方程求解，既要求熟练掌握一元一次方程的基本解题步骤，也需要准确运用二次根式的化简、运算及分母有理化的方法，计算时需注意移项变号、分母有理化的规则，避免细节错误。
【难度系数】
0.7
3. 解下列不等式：
(1) $2x+\sqrt{32}＜x+\sqrt{2}$；
(2) $x+\sqrt{6}＞3x+\sqrt{1.5}$；
(3) $\frac{1}{2}(3-\sqrt{8}x)＜1+\sqrt{18}x$；
(4) $\sqrt{3}x＞\sqrt{5}x-2\sqrt{3}$。
(1) $2x+\sqrt{32}＜x+\sqrt{2}$；
(2) $x+\sqrt{6}＞3x+\sqrt{1.5}$；
(3) $\frac{1}{2}(3-\sqrt{8}x)＜1+\sqrt{18}x$；
(4) $\sqrt{3}x＞\sqrt{5}x-2\sqrt{3}$。
答案
(1) $x＜-3\sqrt{2}$
(2) $x＜\frac{\sqrt{6}}{4}$
(3) $x＞\frac{\sqrt{2}}{16}$
(4) $x＜3+\sqrt{15}$
(2) $x＜\frac{\sqrt{6}}{4}$
(3) $x＞\frac{\sqrt{2}}{16}$
(4) $x＜3+\sqrt{15}$
解析
【分析】
这是一组含二次根式的一元一次不等式，解题思路与普通一元一次不等式一致：先化简式子中的二次根式，再通过移项将含未知数的项移到不等号一侧，常数项移到另一侧，合并同类项后将未知数系数化为1即可。注意两点：①若未知数系数为负数，系数化为1时不等号方向要改变；②最终结果要化为最简二次根式。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，原不等式变为：
$2x + 4\sqrt{2} ＜ x + \sqrt{2}$
移项得：$2x - x ＜ \sqrt{2} - 4\sqrt{2}$
合并同类项得：$x ＜ -3\sqrt{2}$
(2) 先化简$\sqrt{1.5}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，原不等式变为：
$x + \sqrt{6} ＞ 3x + \frac{\sqrt{6}}{2}$
移项得：$x - 3x ＞ \frac{\sqrt{6}}{2} - \sqrt{6}$
合并同类项得：$-2x ＞ -\frac{\sqrt{6}}{2}$
系数化为1（不等号方向改变）：$x ＜ \frac{\sqrt{6}}{4}$
(3) 先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，原不等式去括号得：
$\frac{3}{2} - \sqrt{2}x ＜ 1 + 3\sqrt{2}x$
移项得：$-\sqrt{2}x - 3\sqrt{2}x ＜ 1 - \frac{3}{2}$
合并同类项得：$-4\sqrt{2}x ＜ -\frac{1}{2}$
系数化为1（不等号方向改变）：$x ＞ \frac{1}{2} ÷ 4\sqrt{2}$
分母有理化得：$x ＞ \frac{\sqrt{2}}{16}$
(4) 移项得：$\sqrt{3}x - \sqrt{5}x ＞ -2\sqrt{3}$
合并同类项得：$(\sqrt{3} - \sqrt{5})x ＞ -2\sqrt{3}$
$\because \sqrt{3}-\sqrt{5}＜0$，系数化为1时不等号方向改变：
$x ＜ \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$
分母有理化（分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{5}$）：
$x ＜ \frac{-2\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{-6 - 2\sqrt{15}}{-2} = 3 + \sqrt{15}$
【答案】
(1) $x＜-3\sqrt{2}$
(2) $x＜\frac{\sqrt{6}}{4}$
(3) $x＞\frac{\sqrt{2}}{16}$
(4) $x＜3+\sqrt{15}$
【知识点】
一元一次不等式解法；二次根式化简；分母有理化
【点评】
本题将二次根式运算与一元一次不等式解法结合考查，运算时需准确化简二次根式，尤其注意当未知数系数为负时，不等号方向必须改变，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
这是一组含二次根式的一元一次不等式，解题思路与普通一元一次不等式一致：先化简式子中的二次根式，再通过移项将含未知数的项移到不等号一侧，常数项移到另一侧，合并同类项后将未知数系数化为1即可。注意两点：①若未知数系数为负数，系数化为1时不等号方向要改变；②最终结果要化为最简二次根式。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，原不等式变为：
$2x + 4\sqrt{2} ＜ x + \sqrt{2}$
移项得：$2x - x ＜ \sqrt{2} - 4\sqrt{2}$
合并同类项得：$x ＜ -3\sqrt{2}$
(2) 先化简$\sqrt{1.5}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，原不等式变为：
$x + \sqrt{6} ＞ 3x + \frac{\sqrt{6}}{2}$
移项得：$x - 3x ＞ \frac{\sqrt{6}}{2} - \sqrt{6}$
合并同类项得：$-2x ＞ -\frac{\sqrt{6}}{2}$
系数化为1（不等号方向改变）：$x ＜ \frac{\sqrt{6}}{4}$
(3) 先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，原不等式去括号得：
$\frac{3}{2} - \sqrt{2}x ＜ 1 + 3\sqrt{2}x$
移项得：$-\sqrt{2}x - 3\sqrt{2}x ＜ 1 - \frac{3}{2}$
合并同类项得：$-4\sqrt{2}x ＜ -\frac{1}{2}$
系数化为1（不等号方向改变）：$x ＞ \frac{1}{2} ÷ 4\sqrt{2}$
分母有理化得：$x ＞ \frac{\sqrt{2}}{16}$
(4) 移项得：$\sqrt{3}x - \sqrt{5}x ＞ -2\sqrt{3}$
合并同类项得：$(\sqrt{3} - \sqrt{5})x ＞ -2\sqrt{3}$
$\because \sqrt{3}-\sqrt{5}＜0$，系数化为1时不等号方向改变：
$x ＜ \frac{-2\sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}}$
分母有理化（分子分母同乘$\sqrt{3}+\sqrt{5}$）：
$x ＜ \frac{-2\sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{-6 - 2\sqrt{15}}{-2} = 3 + \sqrt{15}$
【答案】
(1) $x＜-3\sqrt{2}$
(2) $x＜\frac{\sqrt{6}}{4}$
(3) $x＞\frac{\sqrt{2}}{16}$
(4) $x＜3+\sqrt{15}$
【知识点】
一元一次不等式解法；二次根式化简；分母有理化
【点评】
本题将二次根式运算与一元一次不等式解法结合考查，运算时需准确化简二次根式，尤其注意当未知数系数为负时，不等号方向必须改变，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.7
