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6. 给定六个二次根式：$\sqrt{\frac{2}{3}}$、$\sqrt{8}$、$\sqrt{12}$、$\sqrt{18}$、$\sqrt{24}$、$\sqrt{27}$. 可从这六个二次根式中选出几个(不能重复)，进行加、减、乘、除中的几种运算，使所得结果为 $a\sqrt{3}$(其中 $a$ 为有理数)的形式. 例如，$\sqrt{27}-\sqrt{12}=\sqrt{3}$，$\sqrt{24}÷\sqrt{18}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，$(\sqrt{18}-\sqrt{8})÷\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{3}$. 请另举出两个这样的例子.
拓展与思考
拓展与思考
答案
答案不唯一，例如，$\sqrt{\dfrac{2}{3}}·\sqrt{8}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{8}÷\sqrt{24}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{\dfrac{2}{3}}·\sqrt{12}÷\sqrt{24}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，等等。
解析
【分析】
解题时首先要将所有给定的二次根式化为最简二次根式，观察各最简根式的被开方数特征：若进行加减运算，选择被开方数为3的同类二次根式合并，所得结果自然为$a\sqrt{3}$（$a$为有理数）的形式；若进行乘除运算，只需保证运算过程中含$\sqrt{2}$的部分恰好抵消，剩余的被开方数因数仅含3，化简后即可得到目标形式。
【解析】
首先化简六个二次根式：
$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
示例1：选择$\sqrt{\frac{2}{3}}$和$\sqrt{8}$做乘法运算：
$\sqrt{\frac{2}{3}}·\sqrt{8}=\sqrt{\frac{2}{3}×8}=\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，结果符合$a\sqrt{3}$的要求。
示例2：选择$\sqrt{8}$和$\sqrt{24}$做除法运算：
$\sqrt{8}÷\sqrt{24}=\sqrt{8÷24}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，结果符合$a\sqrt{3}$的要求。
（也可构造其他符合要求的运算式子）
【答案】
答案不唯一，例如：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}·\sqrt{8}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{8}÷\sqrt{24}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
最简二次根式、二次根式的运算、同类二次根式
【点评】
本题为开放性运算题，核心考查二次根式的化简和四则运算能力，需要学生灵活观察根式的结构特征，尝试搭配不同的运算组合得到目标结果，有利于锻炼发散思维和运算熟练度。
【难度系数】
0.7
解题时首先要将所有给定的二次根式化为最简二次根式，观察各最简根式的被开方数特征：若进行加减运算，选择被开方数为3的同类二次根式合并，所得结果自然为$a\sqrt{3}$（$a$为有理数）的形式；若进行乘除运算，只需保证运算过程中含$\sqrt{2}$的部分恰好抵消，剩余的被开方数因数仅含3，化简后即可得到目标形式。
【解析】
首先化简六个二次根式：
$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
示例1：选择$\sqrt{\frac{2}{3}}$和$\sqrt{8}$做乘法运算：
$\sqrt{\frac{2}{3}}·\sqrt{8}=\sqrt{\frac{2}{3}×8}=\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，结果符合$a\sqrt{3}$的要求。
示例2：选择$\sqrt{8}$和$\sqrt{24}$做除法运算：
$\sqrt{8}÷\sqrt{24}=\sqrt{8÷24}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，结果符合$a\sqrt{3}$的要求。
（也可构造其他符合要求的运算式子）
【答案】
答案不唯一，例如：$\sqrt{\dfrac{2}{3}}·\sqrt{8}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{8}÷\sqrt{24}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
最简二次根式、二次根式的运算、同类二次根式
【点评】
本题为开放性运算题，核心考查二次根式的化简和四则运算能力，需要学生灵活观察根式的结构特征，尝试搭配不同的运算组合得到目标结果，有利于锻炼发散思维和运算熟练度。
【难度系数】
0.7
1. 计算：
(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1}$；
(2) $-\sqrt{6} ÷ ( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}} )$；
(3) $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}} - \frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$；
(4) $( \sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{\frac{5}{2}} ) ÷ ( \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{2}} )$；
(1) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1}$；
(2) $-\sqrt{6} ÷ ( \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{2}} )$；
(3) $\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}} - \frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$；
(4) $( \sqrt{\frac{2}{5}} - \sqrt{\frac{5}{2}} ) ÷ ( \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{2}} )$；
答案
(1) $-\sqrt{2}-1$
(2) $6\sqrt{3}+6\sqrt{2}$
(3) $-4\sqrt{6}$
(4) $\sqrt{2}+\sqrt{5}$
(2) $6\sqrt{3}+6\sqrt{2}$
(3) $-4\sqrt{6}$
(4) $\sqrt{2}+\sqrt{5}$
解析
【分析】
这四道题均属于二次根式混合运算类题目，解题思路可遵循以下步骤：首先严格按照整式混合运算顺序计算，有括号先算括号内的运算，再算乘除，最后算加减；遇到分母含有二次根式的，利用平方差公式对分母进行有理化，消除分母中的根号；最后合并同类二次根式，将结果化为最简形式，计算过程中要重点注意符号变化，避免因符号错误影响最终结果。
【解析】
(1) 先对两个分式分别分母有理化：
第一个分式：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
第二个分式：$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1$
原式$=(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-1=-\sqrt{2}-1$
(2) 先计算括号内的减法，再计算除法：
括号内通分：$\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$
原式$=-\sqrt{6}÷\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=-\sqrt{6}×\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{-6}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
分母有理化：$\frac{-6(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{-6(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3}=6\sqrt{3}+6\sqrt{2}$
(3) 分别对两个分式分母有理化后再相减：
第一个分式：$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})^2}{(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2}=\frac{12+12\sqrt{6}+18}{12-18}=\frac{30+12\sqrt{6}}{-6}=-5-2\sqrt{6}$
第二个分式：$\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^2}{(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2}=\frac{12-12\sqrt{6}+18}{12-18}=\frac{30-12\sqrt{6}}{-6}=-5+2\sqrt{6}$
原式$=(-5-2\sqrt{6})-(-5+2\sqrt{6})=-5-2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}=-4\sqrt{6}$
(4) 先化简分子和分母，再计算除法：
分子化简：$\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}-\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{2\sqrt{10}-5\sqrt{10}}{10}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$
分母化简：$\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{10}$
原式$=(-\frac{3\sqrt{10}}{10})÷\frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{10}=-\frac{3\sqrt{10}}{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}$
分母有理化：$\frac{-3\sqrt{10}(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})}{(2\sqrt{5})^2-(5\sqrt{2})^2}=\frac{-30(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{20-50}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$
【答案】
(1) $-\sqrt{2}-1$
(2) $6\sqrt{3}+6\sqrt{2}$
(3) $-4\sqrt{6}$
(4) $\sqrt{2}+\sqrt{5}$
【知识点】
1. 二次根式混合运算
2. 分母有理化
3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式章节的典型基础运算题，主要考察运算熟练度，掌握分母有理化的方法、牢记运算顺序、注意符号处理是解题的核心，这类题型通过适量练习就能有效提升正确率。
【难度系数】
0.7
这四道题均属于二次根式混合运算类题目，解题思路可遵循以下步骤：首先严格按照整式混合运算顺序计算，有括号先算括号内的运算，再算乘除，最后算加减；遇到分母含有二次根式的，利用平方差公式对分母进行有理化，消除分母中的根号；最后合并同类二次根式，将结果化为最简形式，计算过程中要重点注意符号变化，避免因符号错误影响最终结果。
【解析】
(1) 先对两个分式分别分母有理化：
第一个分式：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
第二个分式：$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1$
原式$=(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}-1=-\sqrt{2}-1$
(2) 先计算括号内的减法，再计算除法：
括号内通分：$\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$
原式$=-\sqrt{6}÷\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=-\sqrt{6}×\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{-6}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
分母有理化：$\frac{-6(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}=\frac{-6(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3}=6\sqrt{3}+6\sqrt{2}$
(3) 分别对两个分式分母有理化后再相减：
第一个分式：$\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})^2}{(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2}=\frac{12+12\sqrt{6}+18}{12-18}=\frac{30+12\sqrt{6}}{-6}=-5-2\sqrt{6}$
第二个分式：$\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^2}{(2\sqrt{3})^2-(3\sqrt{2})^2}=\frac{12-12\sqrt{6}+18}{12-18}=\frac{30-12\sqrt{6}}{-6}=-5+2\sqrt{6}$
原式$=(-5-2\sqrt{6})-(-5+2\sqrt{6})=-5-2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}=-4\sqrt{6}$
(4) 先化简分子和分母，再计算除法：
分子化简：$\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}-\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{2\sqrt{10}-5\sqrt{10}}{10}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$
分母化简：$\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{10}$
原式$=(-\frac{3\sqrt{10}}{10})÷\frac{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}{10}=-\frac{3\sqrt{10}}{2\sqrt{5}-5\sqrt{2}}$
分母有理化：$\frac{-3\sqrt{10}(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})}{(2\sqrt{5})^2-(5\sqrt{2})^2}=\frac{-30(\sqrt{2}+\sqrt{5})}{20-50}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$
【答案】
(1) $-\sqrt{2}-1$
(2) $6\sqrt{3}+6\sqrt{2}$
(3) $-4\sqrt{6}$
(4) $\sqrt{2}+\sqrt{5}$
【知识点】
1. 二次根式混合运算
2. 分母有理化
3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式章节的典型基础运算题，主要考察运算熟练度，掌握分母有理化的方法、牢记运算顺序、注意符号处理是解题的核心，这类题型通过适量练习就能有效提升正确率。
【难度系数】
0.7
