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5. 把下列各式分母有理化：
(1) $\dfrac{3}{2\sqrt{6x}}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{4mn}}{2\sqrt{n^3}}$；
(3) $\dfrac{3-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$；
(4) $\dfrac{a^2 - b^2}{\sqrt{a - b}}$；
(5) $(x + 2\sqrt{xy} + y) ÷ (\sqrt{x} + \sqrt{y})$；
(6) $\dfrac{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$。
(1) $\dfrac{3}{2\sqrt{6x}}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{4mn}}{2\sqrt{n^3}}$；
(3) $\dfrac{3-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$；
(4) $\dfrac{a^2 - b^2}{\sqrt{a - b}}$；
(5) $(x + 2\sqrt{xy} + y) ÷ (\sqrt{x} + \sqrt{y})$；
(6) $\dfrac{a\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$。
答案
(1) $\dfrac{\sqrt{6x}}{4x}$。(2) $\dfrac{\sqrt{m}}{n}$。(3) $-\sqrt{3}$。(4) $(a+b)\sqrt{a-b}$。(5) $\sqrt{x}+\sqrt{y}$。(6) $a+\sqrt{ab}+b$。
解析
【分析】
解决分母有理化问题可按以下思路思考：首先观察分母的形式，若分母是单个二次根式，直接给分子、分母同乘该二次根式，即可消去分母中的根号，后续再约分简化；若分母是含二次根式的加减式，可利用平方差公式，给分子、分母同乘分母的共轭根式（将两式中间的符号取反即可）消去根号；此外要优先观察分子是否可因式分解，若分子能分解出与分母相同的因式，先约分再计算会更简便，计算过程中要注意二次根式有意义的隐含条件（被开方数非负、分母不为0）。
【解析】
(1) 由题意得$x＞0$，给分子、分母同乘$\sqrt{6x}$：
原式$=\dfrac{3×\sqrt{6x}}{2\sqrt{6x}×\sqrt{6x}}=\dfrac{3\sqrt{6x}}{2×6x}=\dfrac{3\sqrt{6x}}{12x}=\dfrac{\sqrt{6x}}{4x}$。
(2) 由题意得$n＞0$，先化简分子、分母：
原式$=\dfrac{2\sqrt{mn}}{2n\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{mn}}{n\sqrt{n}}$，再给分子、分母同乘$\sqrt{n}$得$\dfrac{\sqrt{mn}×\sqrt{n}}{n\sqrt{n}×\sqrt{n}}=\dfrac{n\sqrt{m}}{n^2}=\dfrac{\sqrt{m}}{n}$。
(3) 分母为$1-\sqrt{3}$，给分子、分母同乘其共轭根式$1+\sqrt{3}$：
原式$=\dfrac{(3-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\dfrac{3×1+3\sqrt{3}-\sqrt{3}-(\sqrt{3})^2}{1^2-(\sqrt{3})^2}=\dfrac{3+2\sqrt{3}-3}{1-3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{-2}=-\sqrt{3}$。
(4) 由题意得$a＞b$，先将分子因式分解：
原式$=\dfrac{(a-b)(a+b)}{\sqrt{a-b}}=\dfrac{(\sqrt{a-b})^2(a+b)}{\sqrt{a-b}}=(a+b)\sqrt{a-b}$。
(5) 由题意得$x≥0,y≥0$且$\sqrt{x}+\sqrt{y}≠0$，先将被除数因式分解：
$x+2\sqrt{xy}+y=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$，则原式$=\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$。
(6) 由题意得$a≥0,b≥0$且$\sqrt{a}≠\sqrt{b}$，给分子、分母同乘$\sqrt{a}+\sqrt{b}$：
分子：$(a\sqrt{a}-b\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a^2+a\sqrt{ab}-b\sqrt{ab}-b^2=(a^2-b^2)+\sqrt{ab}(a-b)=(a-b)(a+b+\sqrt{ab})$，
分母：$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$，
约分后得原式$=a+\sqrt{ab}+b$。
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{6x}}{4x}$；(2) $\dfrac{\sqrt{m}}{n}$；(3) $-\sqrt{3}$；(4) $(a+b)\sqrt{a-b}$；(5) $\sqrt{x}+\sqrt{y}$；(6) $a+\sqrt{ab}+b$。
【知识点】
分母有理化；二次根式运算；因式分解
【点评】
本题考察二次根式分母有理化的常用方法，解题时优先观察式子结构，灵活运用因式分解约分可简化计算过程，要注意二次根式有意义的隐含条件，保证变形合理。
【难度系数】
0.7
解决分母有理化问题可按以下思路思考：首先观察分母的形式，若分母是单个二次根式，直接给分子、分母同乘该二次根式，即可消去分母中的根号，后续再约分简化；若分母是含二次根式的加减式，可利用平方差公式，给分子、分母同乘分母的共轭根式（将两式中间的符号取反即可）消去根号；此外要优先观察分子是否可因式分解，若分子能分解出与分母相同的因式，先约分再计算会更简便，计算过程中要注意二次根式有意义的隐含条件（被开方数非负、分母不为0）。
【解析】
(1) 由题意得$x＞0$，给分子、分母同乘$\sqrt{6x}$：
原式$=\dfrac{3×\sqrt{6x}}{2\sqrt{6x}×\sqrt{6x}}=\dfrac{3\sqrt{6x}}{2×6x}=\dfrac{3\sqrt{6x}}{12x}=\dfrac{\sqrt{6x}}{4x}$。
(2) 由题意得$n＞0$，先化简分子、分母：
原式$=\dfrac{2\sqrt{mn}}{2n\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{mn}}{n\sqrt{n}}$，再给分子、分母同乘$\sqrt{n}$得$\dfrac{\sqrt{mn}×\sqrt{n}}{n\sqrt{n}×\sqrt{n}}=\dfrac{n\sqrt{m}}{n^2}=\dfrac{\sqrt{m}}{n}$。
(3) 分母为$1-\sqrt{3}$，给分子、分母同乘其共轭根式$1+\sqrt{3}$：
原式$=\dfrac{(3-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\dfrac{3×1+3\sqrt{3}-\sqrt{3}-(\sqrt{3})^2}{1^2-(\sqrt{3})^2}=\dfrac{3+2\sqrt{3}-3}{1-3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{-2}=-\sqrt{3}$。
(4) 由题意得$a＞b$，先将分子因式分解：
原式$=\dfrac{(a-b)(a+b)}{\sqrt{a-b}}=\dfrac{(\sqrt{a-b})^2(a+b)}{\sqrt{a-b}}=(a+b)\sqrt{a-b}$。
(5) 由题意得$x≥0,y≥0$且$\sqrt{x}+\sqrt{y}≠0$，先将被除数因式分解：
$x+2\sqrt{xy}+y=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$，则原式$=\dfrac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$。
(6) 由题意得$a≥0,b≥0$且$\sqrt{a}≠\sqrt{b}$，给分子、分母同乘$\sqrt{a}+\sqrt{b}$：
分子：$(a\sqrt{a}-b\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a^2+a\sqrt{ab}-b\sqrt{ab}-b^2=(a^2-b^2)+\sqrt{ab}(a-b)=(a-b)(a+b+\sqrt{ab})$，
分母：$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$，
约分后得原式$=a+\sqrt{ab}+b$。
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{6x}}{4x}$；(2) $\dfrac{\sqrt{m}}{n}$；(3) $-\sqrt{3}$；(4) $(a+b)\sqrt{a-b}$；(5) $\sqrt{x}+\sqrt{y}$；(6) $a+\sqrt{ab}+b$。
【知识点】
分母有理化；二次根式运算；因式分解
【点评】
本题考察二次根式分母有理化的常用方法，解题时优先观察式子结构，灵活运用因式分解约分可简化计算过程，要注意二次根式有意义的隐含条件，保证变形合理。
【难度系数】
0.7
