登录
1. 把下列各式分母有理化：
(1) $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{14}}{2\sqrt{6}}$。
(1) $\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$；
(2) $\dfrac{\sqrt{14}}{2\sqrt{6}}$。
答案
(1) $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$；(2) $\dfrac{\sqrt{21}}{6}$。
解析
【分析】
分母有理化的核心是消去分母中的根号，解题思路如下：首先找到分母的有理化因式（仅含单个二次根式的分母，它本身就是对应的有理化因式）；再根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘这个有理化因式，保证分式的值不变；最后对计算结果化简，化为最简二次根式，能约分的要进行约分。
【解析】
(1) 对$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$分母有理化，分母的有理化因式为$\sqrt{2}$：
$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
(2) 对$\dfrac{\sqrt{14}}{2\sqrt{6}}$分母有理化，分母的有理化因式为$\sqrt{6}$：
$\dfrac{\sqrt{14}}{2\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{6}}{2×\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{84}}{12}=\dfrac{2\sqrt{21}}{12}=\dfrac{\sqrt{21}}{6}$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$；(2) $\dfrac{\sqrt{21}}{6}$
【知识点】
分母有理化；二次根式运算；最简二次根式
【点评】
本题是二次根式的基础运算题，主要考查分母有理化的基本方法，计算时要注意分子乘有理化因式后需先化简，最终结果要化为最简二次根式，不要遗漏约分步骤。
【难度系数】
0.8
分母有理化的核心是消去分母中的根号，解题思路如下：首先找到分母的有理化因式（仅含单个二次根式的分母，它本身就是对应的有理化因式）；再根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘这个有理化因式，保证分式的值不变；最后对计算结果化简，化为最简二次根式，能约分的要进行约分。
【解析】
(1) 对$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$分母有理化，分母的有理化因式为$\sqrt{2}$：
$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
(2) 对$\dfrac{\sqrt{14}}{2\sqrt{6}}$分母有理化，分母的有理化因式为$\sqrt{6}$：
$\dfrac{\sqrt{14}}{2\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{6}}{2×\sqrt{6}×\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{84}}{12}=\dfrac{2\sqrt{21}}{12}=\dfrac{\sqrt{21}}{6}$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$；(2) $\dfrac{\sqrt{21}}{6}$
【知识点】
分母有理化；二次根式运算；最简二次根式
【点评】
本题是二次根式的基础运算题，主要考查分母有理化的基本方法，计算时要注意分子乘有理化因式后需先化简，最终结果要化为最简二次根式，不要遗漏约分步骤。
【难度系数】
0.8
2. 下列各选项中，$\sqrt{a-b}$的有理化因式是（
A.$\sqrt{a-b}$；
B.$\sqrt{a+b}$；
C.$\sqrt{a}-\sqrt{b}$；
D.$\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
A
）A.$\sqrt{a-b}$；
B.$\sqrt{a+b}$；
C.$\sqrt{a}-\sqrt{b}$；
D.$\sqrt{a}+\sqrt{b}$.
答案
A.
解析
【分析】
解题首先要明确有理化因式的定义：两个含有二次根式的代数式相乘，若乘积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。解题时只需将每个选项的代数式与$\sqrt{a-b}$相乘，判断乘积是否不含二次根式，符合条件的即为正确答案。
【解析】
根据有理化因式的定义，逐一验证各选项：
1. 验证选项A：$\sqrt{a-b} × \sqrt{a-b} = (\sqrt{a-b})^2 = a-b$，乘积$a-b$为整式，不含二次根式，符合要求；
2. 验证选项B：$\sqrt{a-b} × \sqrt{a+b} = \sqrt{(a-b)(a+b)} = \sqrt{a^2 - b^2}$，乘积仍含二次根式，不符合要求；
3. 验证选项C：$\sqrt{a-b} × (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \sqrt{a(a-b)} - \sqrt{b(a-b)}$，乘积仍含二次根式，不符合要求；
4. 验证选项D：$\sqrt{a-b} × (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{a(a-b)} + \sqrt{b(a-b)}$，乘积仍含二次根式，不符合要求。
综上，只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
有理化因式的概念；二次根式的乘法运算
【点评】
本题考查有理化因式的判断，属于基础题型，解题核心是紧扣有理化因式的定义，通过二次根式的乘法运算验证乘积是否不含根号即可，掌握常见二次根式的有理化因式找法能提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确有理化因式的定义：两个含有二次根式的代数式相乘，若乘积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式。解题时只需将每个选项的代数式与$\sqrt{a-b}$相乘，判断乘积是否不含二次根式，符合条件的即为正确答案。
【解析】
根据有理化因式的定义，逐一验证各选项：
1. 验证选项A：$\sqrt{a-b} × \sqrt{a-b} = (\sqrt{a-b})^2 = a-b$，乘积$a-b$为整式，不含二次根式，符合要求；
2. 验证选项B：$\sqrt{a-b} × \sqrt{a+b} = \sqrt{(a-b)(a+b)} = \sqrt{a^2 - b^2}$，乘积仍含二次根式，不符合要求；
3. 验证选项C：$\sqrt{a-b} × (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \sqrt{a(a-b)} - \sqrt{b(a-b)}$，乘积仍含二次根式，不符合要求；
4. 验证选项D：$\sqrt{a-b} × (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = \sqrt{a(a-b)} + \sqrt{b(a-b)}$，乘积仍含二次根式，不符合要求。
综上，只有选项A符合条件。
【答案】
A
【知识点】
有理化因式的概念；二次根式的乘法运算
【点评】
本题考查有理化因式的判断，属于基础题型，解题核心是紧扣有理化因式的定义，通过二次根式的乘法运算验证乘积是否不含根号即可，掌握常见二次根式的有理化因式找法能提高解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 乐乐在计算$\sqrt{18}÷(\sqrt{3}+\sqrt{2})$时，是这样做的：
$\sqrt{18}÷(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{18}÷\sqrt{3}+\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{6}+3$.
你认为他做得对吗？如果做得不对，请予以改正.
$\sqrt{18}÷(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\sqrt{18}÷\sqrt{3}+\sqrt{18}÷\sqrt{2}=\sqrt{6}+3$.
你认为他做得对吗？如果做得不对，请予以改正.
答案
他做得不对，改正如下：$\sqrt{18}÷(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{18}×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}=\sqrt{2×3^2×3}-\sqrt{2^2×3^2}=3\sqrt{6}-6$。
解析
【分析】
乐乐的解法错误，因为只有乘法存在分配律，除法没有分配律，不能将除以两个数的和拆分为分别除以这两个数再相加。正确解题思路：先把除法运算改写为分数形式，再对分母进行有理化，给分子、分母同时乘分母的有理化因式$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，利用平方差公式消去分母中的根号，最后按照二次根式的乘法法则化简计算即可。
【解析】
他做得不对，改正如下：
$\sqrt{18}÷(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
给分子分母同乘$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，结合平方差公式计算分母：
$=\dfrac{\sqrt{18}×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{18}×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}$
展开分子并化简二次根式：
$=\sqrt{18×3}-\sqrt{18×2}=\sqrt{2×3^2×3}-\sqrt{2^2×3^2}=3\sqrt{6}-6$
【答案】
他做得不对，正确结果为$3\sqrt{6}-6$
【知识点】
二次根式混合运算，分母有理化，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常见易错题，核心易错点是误用除法分配律，解题时要牢记运算律的适用范围，遇到含根式的分母为和的形式时，优先用分母有理化的方法化简再计算。
【难度系数】
0.7
乐乐的解法错误，因为只有乘法存在分配律，除法没有分配律，不能将除以两个数的和拆分为分别除以这两个数再相加。正确解题思路：先把除法运算改写为分数形式，再对分母进行有理化，给分子、分母同时乘分母的有理化因式$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，利用平方差公式消去分母中的根号，最后按照二次根式的乘法法则化简计算即可。
【解析】
他做得不对，改正如下：
$\sqrt{18}÷(\sqrt{3}+\sqrt{2})=\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
给分子分母同乘$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，结合平方差公式计算分母：
$=\dfrac{\sqrt{18}×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{18}×(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}$
展开分子并化简二次根式：
$=\sqrt{18×3}-\sqrt{18×2}=\sqrt{2×3^2×3}-\sqrt{2^2×3^2}=3\sqrt{6}-6$
【答案】
他做得不对，正确结果为$3\sqrt{6}-6$
【知识点】
二次根式混合运算，分母有理化，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的常见易错题，核心易错点是误用除法分配律，解题时要牢记运算律的适用范围，遇到含根式的分母为和的形式时，优先用分母有理化的方法化简再计算。
【难度系数】
0.7
4. 已知$\sqrt{m}\pm\sqrt{n}$与$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{n}$都不等于0.
(1) $\sqrt{m}+\sqrt{n}$的倒数是________；$\sqrt{m}-\sqrt{n}$的倒数是________.
(2) $a\sqrt{m}+b\sqrt{n}$的倒数是________；$a\sqrt{m}-b\sqrt{n}$的倒数是________.
(1) $\sqrt{m}+\sqrt{n}$的倒数是________；$\sqrt{m}-\sqrt{n}$的倒数是________.
(2) $a\sqrt{m}+b\sqrt{n}$的倒数是________；$a\sqrt{m}-b\sqrt{n}$的倒数是________.
答案
(1) $\dfrac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m-n}$；$\dfrac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}$。(2) $\dfrac{a\sqrt{m}-b\sqrt{n}}{a^2m-b^2n}$；$\dfrac{a\sqrt{m}+b\sqrt{n}}{a^2m-b^2n}$。
解析
【分析】
求含二次根式的代数式的倒数，首先根据倒数定义，倒数为1除以该代数式，此时分母含有二次根式，需要进行分母有理化；分母有理化的核心是利用平方差公式，找到分母的有理化因式（将原式中间的加号换为减号、减号换为加号即可得到），分子分母同乘有理化因式后，分母可消去根号变为整式。题目已明确给出所有原式均不为0，因此化简后的分母不会为0，无需额外考虑无意义的情况。
(1) 对$\sqrt{m}+\sqrt{n}$、$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，分别找到对应有理化因式后化简即可；
(2) 对于带系数的$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{n}$，同理找到对应的有理化因式，按相同方法计算即可。
【解析】
(1) ① 根据倒数定义，$\sqrt{m}+\sqrt{n}$的倒数为$\dfrac{1}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}$，对其分母有理化：
分子、分母同乘$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，得：
$\dfrac{1×(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})}=\dfrac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{(\sqrt{m})^2-(\sqrt{n})^2}=\dfrac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m-n}$
② 同理，$\sqrt{m}-\sqrt{n}$的倒数为$\dfrac{1}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$，分子、分母同乘$\sqrt{m}+\sqrt{n}$，得：
$\dfrac{1×(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}=\dfrac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}$
(2) ① $a\sqrt{m}+b\sqrt{n}$的倒数为$\dfrac{1}{a\sqrt{m}+b\sqrt{n}}$，分子、分母同乘$a\sqrt{m}-b\sqrt{n}$，得：
$\dfrac{1×(a\sqrt{m}-b\sqrt{n})}{(a\sqrt{m}+b\sqrt{n})(a\sqrt{m}-b\sqrt{n})}=\dfrac{a\sqrt{m}-b\sqrt{n}}{(a\sqrt{m})^2-(b\sqrt{n})^2}=\dfrac{a\sqrt{m}-b\sqrt{n}}{a^2m-b^2n}$
② 同理，$a\sqrt{m}-b\sqrt{n}$的倒数为$\dfrac{1}{a\sqrt{m}-b\sqrt{n}}$，分子、分母同乘$a\sqrt{m}+b\sqrt{n}$，得：
$\dfrac{1×(a\sqrt{m}+b\sqrt{n})}{(a\sqrt{m}-b\sqrt{n})(a\sqrt{m}+b\sqrt{n})}=\dfrac{a\sqrt{m}+b\sqrt{n}}{a^2m-b^2n}$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m-n}$；$\dfrac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}$。(2) $\dfrac{a\sqrt{m}-b\sqrt{n}}{a^2m-b^2n}$；$\dfrac{a\sqrt{m}+b\sqrt{n}}{a^2m-b^2n}$。
【知识点】
倒数的定义，分母有理化，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查分母有理化的操作方法，解题的关键是准确找到含二次根式式子的有理化因式，该方法是后续二次根式化简、混合运算的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
求含二次根式的代数式的倒数，首先根据倒数定义，倒数为1除以该代数式，此时分母含有二次根式，需要进行分母有理化；分母有理化的核心是利用平方差公式，找到分母的有理化因式（将原式中间的加号换为减号、减号换为加号即可得到），分子分母同乘有理化因式后，分母可消去根号变为整式。题目已明确给出所有原式均不为0，因此化简后的分母不会为0，无需额外考虑无意义的情况。
(1) 对$\sqrt{m}+\sqrt{n}$、$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，分别找到对应有理化因式后化简即可；
(2) 对于带系数的$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{n}$，同理找到对应的有理化因式，按相同方法计算即可。
【解析】
(1) ① 根据倒数定义，$\sqrt{m}+\sqrt{n}$的倒数为$\dfrac{1}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}$，对其分母有理化：
分子、分母同乘$\sqrt{m}-\sqrt{n}$，得：
$\dfrac{1×(\sqrt{m}-\sqrt{n})}{(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})}=\dfrac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{(\sqrt{m})^2-(\sqrt{n})^2}=\dfrac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m-n}$
② 同理，$\sqrt{m}-\sqrt{n}$的倒数为$\dfrac{1}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$，分子、分母同乘$\sqrt{m}+\sqrt{n}$，得：
$\dfrac{1×(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}=\dfrac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}$
(2) ① $a\sqrt{m}+b\sqrt{n}$的倒数为$\dfrac{1}{a\sqrt{m}+b\sqrt{n}}$，分子、分母同乘$a\sqrt{m}-b\sqrt{n}$，得：
$\dfrac{1×(a\sqrt{m}-b\sqrt{n})}{(a\sqrt{m}+b\sqrt{n})(a\sqrt{m}-b\sqrt{n})}=\dfrac{a\sqrt{m}-b\sqrt{n}}{(a\sqrt{m})^2-(b\sqrt{n})^2}=\dfrac{a\sqrt{m}-b\sqrt{n}}{a^2m-b^2n}$
② 同理，$a\sqrt{m}-b\sqrt{n}$的倒数为$\dfrac{1}{a\sqrt{m}-b\sqrt{n}}$，分子、分母同乘$a\sqrt{m}+b\sqrt{n}$，得：
$\dfrac{1×(a\sqrt{m}+b\sqrt{n})}{(a\sqrt{m}-b\sqrt{n})(a\sqrt{m}+b\sqrt{n})}=\dfrac{a\sqrt{m}+b\sqrt{n}}{a^2m-b^2n}$
【答案】
(1) $\dfrac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m-n}$；$\dfrac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}$。(2) $\dfrac{a\sqrt{m}-b\sqrt{n}}{a^2m-b^2n}$；$\dfrac{a\sqrt{m}+b\sqrt{n}}{a^2m-b^2n}$。
【知识点】
倒数的定义，分母有理化，平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查分母有理化的操作方法，解题的关键是准确找到含二次根式式子的有理化因式，该方法是后续二次根式化简、混合运算的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
