3. 计算：
(1) $\sqrt{270} ÷ \sqrt{\dfrac{9}{5}} ÷ \sqrt{1\dfrac{1}{5}}$；
(2) $\sqrt{xy} · \sqrt{6x} ÷ \sqrt{3y}$。

(1) $5\sqrt{5}$
(2) $\sqrt{2}x$

【分析】
这两道题都是二次根式的乘除混合运算，解题时利用二次根式乘除运算法则：多个二次根式相乘除时，可以先将被开方数进行对应乘除运算，根指数保持不变，最后将结果化简为最简二次根式即可。计算前先把带分数转化为假分数，运算过程中优先约分能简化计算步骤，降低出错概率。
【解析】
(1) 先将带分数$1\dfrac{1}{5}$化为假分数$\dfrac{6}{5}$，再根据二次根式除法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{270÷\frac{9}{5}÷\frac{6}{5}}\\&=\sqrt{270×\frac{5}{9}×\frac{5}{6}}\\&=\sqrt{125}\\&=\sqrt{25×5}=5\sqrt{5}\end{aligned}$
(2) 根据二次根式乘除混合运算法则，统一计算被开方数的乘除，再化简：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{xy·6x÷3y}\\&=\sqrt{\frac{6x^2y}{3y}}\\&=\sqrt{2x^2}\\&=\sqrt{2}x\quad(\mathrm{由根式有意义得}x≥0,\mathrm{故}\sqrt{x^2}=x)\end{aligned}$
【答案】
(1) $5\sqrt{5}$；(2) $\sqrt{2}x$
【知识点】
1. 二次根式乘除运算
2. 最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考察二次根式乘除法则的应用，计算时先约分再化简能有效提升运算效率和正确率，注意最终运算结果必须为最简二次根式。
【难度系数】
0.8

4. 按照一定规律排列的一串数：$\sqrt{2}$、2、$\sqrt{6}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{10}$、…、$\sqrt{50}$，请试着写出这一串数中最大的有理数，你知道它是这一串数中的第几个数吗？
拓展与思考

最大的有理数是6，它是这一串数中的第18个数。提示：易知，第$n$个数为$\sqrt{2n}$（其中$n$为正整数）。

【分析】
首先将数列中所有数统一转化为二次根式的形式，观察根号下被开方数的排列规律，推导得出第n个数的表达式；再根据有理数的定义，明确当二次根式的结果为有理数时，被开方数必须是完全平方数；结合数列的最大项为$\sqrt{50}$，筛选出小于等于50的符合要求的最大完全平方数，最后计算该数对应的序号n即可。
【解析】
1. 推导数列的通项公式：
将数列中各数统一化为二次根式形式：
$\sqrt{2}=\sqrt{2×1}$，$2=\sqrt{4}=\sqrt{2×2}$，$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}$，$2\sqrt{2}=\sqrt{8}=\sqrt{2×4}$，$\sqrt{10}=\sqrt{2×5}$，…，$\sqrt{50}=\sqrt{2×25}$
观察可得，第n个数的表达式为$\sqrt{2n}$（n为正整数，且$1≤ n≤25$）。
2. 寻找最大的有理数：
若$\sqrt{2n}$为有理数，则被开方数$2n$必须是完全平方数。
由数列最大项为$\sqrt{50}$，可得$\sqrt{2n}≤\sqrt{50}$，即$2n≤50$。
列出小于等于50的完全平方数：49（$7^2$）、36（$6^2$）、25（$5^2$）……，其中49为奇数，不符合$2n$是偶数的要求，因此符合条件的最大完全平方数为36，对应的有理数为$\sqrt{36}=6$，即数列中最大的有理数是6。
3. 计算对应序号：
令$2n=36$，解得$n=18$。
【答案】
最大的有理数是6，它是这一串数中的第18个数。
【知识点】
二次根式的化简，数字规律探究，有理数的概念
【点评】
本题将数字规律与二次根式、有理数的知识结合考查，解题的核心是先统一数的表现形式找到通项公式，再结合有理数的性质筛选符合要求的数值，能够有效锻炼观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7