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思考3.(1)当b为何值时，一元二次方程$x^2 - 2ax + a^2 = b$有实根？并求出两个实根。
(2)把方程$x^2 - mx = 0$配成$(x+a)^2 = b$的形式是
(2)把方程$x^2 - mx = 0$配成$(x+a)^2 = b$的形式是
$(x-\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$
，它的根是$x_1=0,x_2=m$
。答案
(1)$b$为非负数，$a+\sqrt{b}$，$a-\sqrt{b}$。
(2)$(x-\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$，$x_1=0,x_2=m$
(2)$(x-\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$，$x_1=0,x_2=m$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 观察发现方程左边是完全平方式，可直接变形为$(x-a)^2=b$，根据平方数的非负性可知右边b必须是非负数，方程才有实根，再直接开平方即可得到两根；也可将方程整理为一般形式，利用判别式$\Delta≥0$求解b的取值范围，再求根。
(2) 配方法的核心是将方程左边构造成完全平方式，对于二次项系数为1的方程，只需在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可配成$(x+a)^2=b$的形式，再通过开平方求出方程的根。
【解析】
(1) 原方程左边因式分解可得：
$(x-a)^2 = b$
∵平方数是非负数，要使方程有实根，需满足被开方数非负
∴$b≥0$
对$(x-a)^2 = b$两边直接开平方，得：
$x - a = \pm\sqrt{b}$
解得两个实根为$x_1=a+\sqrt{b}$，$x_2=a-\sqrt{b}$。
(2) 对$x^2 - mx = 0$进行配方：
一次项系数为$-m$，其一半的平方为$(\frac{-m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$，在方程两边同时加上$\frac{m^2}{4}$，得：
$x^2 - mx + \frac{m^2}{4} = \frac{m^2}{4}$
即配方后的形式为$(x-\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$。
两边开平方得：
$x - \frac{m}{2} = \pm\frac{m}{2}$
解得$x_1=\frac{m}{2}+\frac{m}{2}=m$，$x_2=\frac{m}{2}-\frac{m}{2}=0$。
【答案】
(1) $b$为非负数，$a+\sqrt{b}$，$a-\sqrt{b}$；
(2) $(x-\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$，$x_1=0,x_2=m$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、配方法解一元二次方程、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查完全平方公式的应用、配方法的操作步骤以及方程有实根的判定条件，熟练掌握配方法步骤和平方的非负性即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 观察发现方程左边是完全平方式，可直接变形为$(x-a)^2=b$，根据平方数的非负性可知右边b必须是非负数，方程才有实根，再直接开平方即可得到两根；也可将方程整理为一般形式，利用判别式$\Delta≥0$求解b的取值范围，再求根。
(2) 配方法的核心是将方程左边构造成完全平方式，对于二次项系数为1的方程，只需在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可配成$(x+a)^2=b$的形式，再通过开平方求出方程的根。
【解析】
(1) 原方程左边因式分解可得：
$(x-a)^2 = b$
∵平方数是非负数，要使方程有实根，需满足被开方数非负
∴$b≥0$
对$(x-a)^2 = b$两边直接开平方，得：
$x - a = \pm\sqrt{b}$
解得两个实根为$x_1=a+\sqrt{b}$，$x_2=a-\sqrt{b}$。
(2) 对$x^2 - mx = 0$进行配方：
一次项系数为$-m$，其一半的平方为$(\frac{-m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$，在方程两边同时加上$\frac{m^2}{4}$，得：
$x^2 - mx + \frac{m^2}{4} = \frac{m^2}{4}$
即配方后的形式为$(x-\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$。
两边开平方得：
$x - \frac{m}{2} = \pm\frac{m}{2}$
解得$x_1=\frac{m}{2}+\frac{m}{2}=m$，$x_2=\frac{m}{2}-\frac{m}{2}=0$。
【答案】
(1) $b$为非负数，$a+\sqrt{b}$，$a-\sqrt{b}$；
(2) $(x-\frac{m}{2})^2=\frac{m^2}{4}$，$x_1=0,x_2=m$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、配方法解一元二次方程、直接开平方法解方程
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查完全平方公式的应用、配方法的操作步骤以及方程有实根的判定条件，熟练掌握配方法步骤和平方的非负性即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.若一元二次方程$(x+1)^2 = a - 3$有实根，
则a的取值范围是（
A.$a=3$
B.$a＞3$
C.$a≥3$
D.$a＜3$
则a的取值范围是（
C
）。A.$a=3$
B.$a＞3$
C.$a≥3$
D.$a＜3$
答案
C
解析
【分析】
要确定a的取值范围，首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数。一元二次方程有实根，说明等号左右两边的值相等，因此等号右边的代数式的值必须满足平方的非负要求，据此列不等式求解即可。
【解析】
∵ 对于任意实数x，都有$(x+1)^2 ≥ 0$，
又
∵ 一元二次方程$(x+1)^2 = a - 3$有实根，
∴ 等号右边的$a-3$必须满足$a - 3 ≥ 0$，
解这个不等式，移项得$a ≥ 3$。
【答案】
C
【知识点】
平方的非负性；一元二次方程实根条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方的非负性质的应用，只要掌握实数平方的取值特点，就能快速列出不等式求出结果。
【难度系数】
0.9
要确定a的取值范围，首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数。一元二次方程有实根，说明等号左右两边的值相等，因此等号右边的代数式的值必须满足平方的非负要求，据此列不等式求解即可。
【解析】
∵ 对于任意实数x，都有$(x+1)^2 ≥ 0$，
又
∵ 一元二次方程$(x+1)^2 = a - 3$有实根，
∴ 等号右边的$a-3$必须满足$a - 3 ≥ 0$，
解这个不等式，移项得$a ≥ 3$。
【答案】
C
【知识点】
平方的非负性；一元二次方程实根条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，核心考查平方的非负性质的应用，只要掌握实数平方的取值特点，就能快速列出不等式求出结果。
【难度系数】
0.9
1. 一元二次方程$x^2 -4x -1=0$配方后正确的是（
A.$(x-2)^2=1$
B.$(x-2)^2=5$
C.$(x-4)^2=1$
D.$(x-4)^2=5$
B
）。A.$(x-2)^2=1$
B.$(x-2)^2=5$
C.$(x-4)^2=1$
D.$(x-4)^2=5$
答案
B
解析
【分析】
要解决一元二次方程的配方问题，需按照配方法的固定步骤思考：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后整理即可得到配方后的结果，再对照选项选出答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -1=0$进行配方：
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 -4x = 1$；
第二步：配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = 1 +4$；
第三步：将左侧写成完全平方形式，得$(x-2)^2=5$。
因此选项B正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法变形的基础题，重点考查配方法的操作流程，解题时需注意移项要变号，配方时等式两边要同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加或只加单侧的错误。
【难度系数】
0.8
要解决一元二次方程的配方问题，需按照配方法的固定步骤思考：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后整理即可得到配方后的结果，再对照选项选出答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -1=0$进行配方：
第一步：移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2 -4x = 1$；
第二步：配方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = 1 +4$；
第三步：将左侧写成完全平方形式，得$(x-2)^2=5$。
因此选项B正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法变形的基础题，重点考查配方法的操作流程，解题时需注意移项要变号，配方时等式两边要同时加一次项系数一半的平方，避免出现漏加或只加单侧的错误。
【难度系数】
0.8
2.用配方法解一元二次方程$2x^2 -4x -3=0$，配方正确的是（
A.$(x-1)^2=\frac{5}{2}$
B.$(x-1)^2=-\frac{5}{2}$
C.$(x+1)^2=\frac{1}{2}$
D.$(x+1)^2=\frac{5}{2}$
A
）。A.$(x-1)^2=\frac{5}{2}$
B.$(x-1)^2=-\frac{5}{2}$
C.$(x+1)^2=\frac{1}{2}$
D.$(x+1)^2=\frac{5}{2}$
答案
A
解析
【分析】
要解这道题，需回忆配方法解一元二次方程的标准步骤：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，然后给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，最后计算右侧常数即可得到配方后的方程，再对应选项判断即可。
【解析】
对一元二次方程$2x^2 -4x -3=0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \frac{3}{2}=0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \frac{3}{2}$
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给方程两边同时加1，得
$x^2 - 2x +1 = \frac{3}{2} +1$
左边化为完全平方式，右边合并常数项，得$(x-1)^2=\frac{5}{2}$
因此配方正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的应用，掌握配方法的操作步骤是解题关键，注意配方前要先把二次项系数化为1，移项时不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
要解这道题，需回忆配方法解一元二次方程的标准步骤：首先将二次项系数化为1，再将常数项移到等号右侧，然后给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，最后计算右侧常数即可得到配方后的方程，再对应选项判断即可。
【解析】
对一元二次方程$2x^2 -4x -3=0$按配方法步骤变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \frac{3}{2}=0$
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \frac{3}{2}$
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，给方程两边同时加1，得
$x^2 - 2x +1 = \frac{3}{2} +1$
左边化为完全平方式，右边合并常数项，得$(x-1)^2=\frac{5}{2}$
因此配方正确的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法的应用，掌握配方法的操作步骤是解题关键，注意配方前要先把二次项系数化为1，移项时不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
3.用配方法解一元二次方程$3x^2 +6x -1=0$，将它化为$(x+a)^2 =b$的形式，则$a+b=（\quad）$。
A.$\frac{10}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$2$
D.$\frac{4}{3}$
A.$\frac{10}{3}$
B.$\frac{7}{3}$
C.$2$
D.$\frac{4}{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：第一步先将原方程的二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步在等号两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，得到$(x+a)^2=b$的形式后，确定$a$、$b$的值，最后计算$a+b$即可选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$3x^2+6x-1=0$进行变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2+2x-\frac{1}{3}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2+2x=\frac{1}{3}$；
3. 配方：一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$，方程两边同时加1，得$x^2+2x+1=\frac{1}{3}+1$；
4. 化为完全平方式：左侧整理为$(x+1)^2$，右侧计算得$\frac{4}{3}$，即$(x+1)^2=\frac{4}{3}$。
对比$(x+a)^2=b$的形式，可得$a=1$，$b=\frac{4}{3}$，因此$a+b=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其注意当二次项系数不为1时要先化为1，配方时等号两边需同时加相同的数，避免常数项计算出错。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：第一步先将原方程的二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步在等号两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，得到$(x+a)^2=b$的形式后，确定$a$、$b$的值，最后计算$a+b$即可选出正确答案。
【解析】
解：对原方程$3x^2+6x-1=0$进行变形：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以3，得$x^2+2x-\frac{1}{3}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2+2x=\frac{1}{3}$；
3. 配方：一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$，方程两边同时加1，得$x^2+2x+1=\frac{1}{3}+1$；
4. 化为完全平方式：左侧整理为$(x+1)^2$，右侧计算得$\frac{4}{3}$，即$(x+1)^2=\frac{4}{3}$。
对比$(x+a)^2=b$的形式，可得$a=1$，$b=\frac{4}{3}$，因此$a+b=1+\frac{4}{3}=\frac{7}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其注意当二次项系数不为1时要先化为1，配方时等号两边需同时加相同的数，避免常数项计算出错。
【难度系数】
0.7
4.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如下所示：
原方程$2x^2 + 4x -1=0$→甲：$2x^2 +4x=1$→乙：$x^2 +2x=1$→丙：$x^2 +2x +1=1+1$，即$(x+1)^2=2$→丁：$x_1=\sqrt{2}-1$，$x_2=-\sqrt{2}-1$。
老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
原方程$2x^2 + 4x -1=0$→甲：$2x^2 +4x=1$→乙：$x^2 +2x=1$→丙：$x^2 +2x +1=1+1$，即$(x+1)^2=2$→丁：$x_1=\sqrt{2}-1$，$x_2=-\sqrt{2}-1$。
老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是(
B
)。A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B
解析
【分析】
本题需要结合配方法解一元二次方程的标准步骤逐一核对每位同学的操作：配方法解一元二次方程的流程为①移项，将常数项移到等号右侧；②将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；③配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开方求解。按照该流程逐步骤核验即可找到出错的同学。
【解析】
我们依次核对四人的步骤：
1. 核对甲的步骤：原方程为$2x^2 + 4x -1=0$，移项后得到$2x^2 +4x=1$，甲的操作符合移项规则，步骤正确，排除A选项；
2. 核对乙的步骤：甲步骤得到$2x^2 +4x=1$，下一步需要将二次项系数化为1，方程两边应同时除以2，变形后应为$x^2+2x=\frac{1}{2}$，但乙的结果为$x^2 +2x=1$，右侧未除以2，操作不符合等式的性质，步骤错误。
丙、丁的步骤是承接乙的错误结果继续计算的，运算逻辑本身没有问题，错误源头为乙。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点是将二次项系数化为1时，遗漏给方程右侧除以二次项系数，解题时要牢记等式变形需要两边同步操作。
【难度系数】
0.8
本题需要结合配方法解一元二次方程的标准步骤逐一核对每位同学的操作：配方法解一元二次方程的流程为①移项，将常数项移到等号右侧；②将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；③配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开方求解。按照该流程逐步骤核验即可找到出错的同学。
【解析】
我们依次核对四人的步骤：
1. 核对甲的步骤：原方程为$2x^2 + 4x -1=0$，移项后得到$2x^2 +4x=1$，甲的操作符合移项规则，步骤正确，排除A选项；
2. 核对乙的步骤：甲步骤得到$2x^2 +4x=1$，下一步需要将二次项系数化为1，方程两边应同时除以2，变形后应为$x^2+2x=\frac{1}{2}$，但乙的结果为$x^2 +2x=1$，右侧未除以2，操作不符合等式的性质，步骤错误。
丙、丁的步骤是承接乙的错误结果继续计算的，运算逻辑本身没有问题，错误源头为乙。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点是将二次项系数化为1时，遗漏给方程右侧除以二次项系数，解题时要牢记等式变形需要两边同步操作。
【难度系数】
0.8
5.若方程$x^2 - 2kx + 16 = 0$的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为
$\pm4$
。答案
$\pm4$
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含和的平方、差的平方两种形式。首先对应给定二次三项式的平方项：$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；常数项16是$(\pm4)^2$，对应$b^2$，可得$b=\pm4$。再根据中间项系数相等建立关于k的方程求解，注意不要遗漏两种完全平方式对应的两种情况。
【解析】
解：根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，
已知$x^2 - 2kx + 16$是完全平方式，
其中$x^2$对应公式里的$a^2$，即$a=x$；常数项$16=(\pm4)^2$对应公式里的$b^2$，即$b=\pm4$，
因此该完全平方式为$(x\pm4)^2$，
将其展开得：$(x\pm4)^2=x^2\pm8x+16$，
和原式$x^2 - 2kx + 16$对比一次项系数，可得：$-2k=\pm8$，
当$-2k=8$时，解得$k=-4$；当$-2k=-8$时，解得$k=4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
完全平方公式、配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，易错点是容易忽略完全平方的两种形式，只算出一个k值，解题时要注意考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含和的平方、差的平方两种形式。首先对应给定二次三项式的平方项：$x^2$对应$a^2$，可得$a=x$；常数项16是$(\pm4)^2$，对应$b^2$，可得$b=\pm4$。再根据中间项系数相等建立关于k的方程求解，注意不要遗漏两种完全平方式对应的两种情况。
【解析】
解：根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，
已知$x^2 - 2kx + 16$是完全平方式，
其中$x^2$对应公式里的$a^2$，即$a=x$；常数项$16=(\pm4)^2$对应公式里的$b^2$，即$b=\pm4$，
因此该完全平方式为$(x\pm4)^2$，
将其展开得：$(x\pm4)^2=x^2\pm8x+16$，
和原式$x^2 - 2kx + 16$对比一次项系数，可得：$-2k=\pm8$，
当$-2k=8$时，解得$k=-4$；当$-2k=-8$时，解得$k=4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
完全平方公式、配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题，易错点是容易忽略完全平方的两种形式，只算出一个k值，解题时要注意考虑两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6.已知方程$x^2 -6x -n=0$可以配方成$(x - m)^2=7$，则$(m + n)^{2026}=$
1
。答案
1
解析
【分析】
解题思路：已知两个方程是等价的，我们可以通过展开配方后的方程，将其转化为一元二次方程的一般形式，再和原方程的对应项系数相等，列方程求出m、n的值，最后将m、n代入$(m + n)^{2026}$计算结果即可。也可以直接对原方程进行配方，和给定的配方形式对比得到m、n的值，两种方法都符合配方法的应用逻辑。
【解析】
第一步：展开配方后的方程并整理为一般形式
把$(x - m)^2=7$展开得：$x^2 - 2mx + m^2 = 7$，
移项整理为一元二次方程一般形式：$x^2 - 2mx + (m^2 -7) = 0$。
第二步：对比对应项系数求解参数
已知原方程为$x^2 -6x -n=0$，两个方程等价，对应项系数相等：
一次项系数：$-2m = -6$，解得$m=3$；
常数项：$m^2 -7 = -n$，将$m=3$代入得：$9 -7 = -n$，即$2=-n$，解得$n=-2$。
第三步：代入计算幂次
先计算$m+n=3 + (-2)=1$，
因此$(m + n)^{2026}=1^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.代数式求值
3.有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的应用，解题时既可以通过展开配方后的方程对比系数求解参数，也可以直接对原方程配方求解，熟练掌握配方法的步骤是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路：已知两个方程是等价的，我们可以通过展开配方后的方程，将其转化为一元二次方程的一般形式，再和原方程的对应项系数相等，列方程求出m、n的值，最后将m、n代入$(m + n)^{2026}$计算结果即可。也可以直接对原方程进行配方，和给定的配方形式对比得到m、n的值，两种方法都符合配方法的应用逻辑。
【解析】
第一步：展开配方后的方程并整理为一般形式
把$(x - m)^2=7$展开得：$x^2 - 2mx + m^2 = 7$，
移项整理为一元二次方程一般形式：$x^2 - 2mx + (m^2 -7) = 0$。
第二步：对比对应项系数求解参数
已知原方程为$x^2 -6x -n=0$，两个方程等价，对应项系数相等：
一次项系数：$-2m = -6$，解得$m=3$；
常数项：$m^2 -7 = -n$，将$m=3$代入得：$9 -7 = -n$，即$2=-n$，解得$n=-2$。
第三步：代入计算幂次
先计算$m+n=3 + (-2)=1$，
因此$(m + n)^{2026}=1^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.代数式求值
3.有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查配方法的应用，解题时既可以通过展开配方后的方程对比系数求解参数，也可以直接对原方程配方求解，熟练掌握配方法的步骤是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
7.用配方法解下列方程：
(1)$x^2 -10x +5=0$；
(2)$x^2 +4x -6=0$；
(3)$3x^2 -6x -1=0$；
(4)$2x^2 -5x -4=0$。
(1)$x^2 -10x +5=0$；
(2)$x^2 +4x -6=0$；
(3)$3x^2 -6x -1=0$；
(4)$2x^2 -5x -4=0$。
答案
(1)$x_1=5+2\sqrt{5},x_2=5-2\sqrt{5}$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$；
(3)$x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\frac{2}{3}\sqrt{3}$；
(4)$x_1=\frac{5+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$。
(2)$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$；
(3)$x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\frac{2}{3}\sqrt{3}$；
(4)$x_1=\frac{5+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②移项，将含未知数的项留在等号左边，常数项移到等号右边；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式；④直接开平方，得到两个一元一次方程；⑤求解一元一次方程，得到原方程的根。按照该步骤逐题计算即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -10x +5=0$
移项，得：$x^2 -10x = -5$
配方，两边加$(-10÷2)^2=25$，得：$x^2 -10x +25 = -5+25$
即$(x-5)^2=20$
开平方，得：$x-5=\pm2\sqrt{5}$
解得：$x_1=5+2\sqrt{5},x_2=5-2\sqrt{5}$
(2) 解方程$x^2 +4x -6=0$
移项，得：$x^2 +4x =6$
配方，两边加$(4÷2)^2=4$，得：$x^2 +4x +4=6+4$
即$(x+2)^2=10$
开平方，得：$x+2=\pm\sqrt{10}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$
(3) 解方程$3x^2 -6x -1=0$
二次项系数化为1，两边除以3，得：$x^2 -2x -\frac{1}{3}=0$
移项，得：$x^2 -2x =\frac{1}{3}$
配方，两边加$(-2÷2)^2=1$，得：$x^2 -2x +1=\frac{1}{3}+1$
即$(x-1)^2=\frac{4}{3}$
开平方，得：$x-1=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得：$x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\frac{2}{3}\sqrt{3}$
(4) 解方程$2x^2 -5x -4=0$
二次项系数化为1，两边除以2，得：$x^2 -\frac{5}{2}x -2=0$
移项，得：$x^2 -\frac{5}{2}x =2$
配方，两边加$(-\frac{5}{2}÷2)^2=\frac{25}{16}$，得：$x^2 -\frac{5}{2}x +\frac{25}{16}=2+\frac{25}{16}$
即$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{57}{16}$
开平方，得：$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{57}}{4}$
解得：$x_1=\frac{5+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$
【答案】
(1)$x_1=5+2\sqrt{5},x_2=5-2\sqrt{5}$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$；
(3)$x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\frac{2}{3}\sqrt{3}$；
(4)$x_1=\frac{5+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规训练题，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意当二次项系数不为1时，需先将二次项系数化为1再配方，配方时等式两边要同时加相同的数，保证等式成立，避免漏加、错加常数项导致出错。
【难度系数】
0.75
用配方法解一元二次方程需遵循固定步骤：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②移项，将含未知数的项留在等号左边，常数项移到等号右边；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式；④直接开平方，得到两个一元一次方程；⑤求解一元一次方程，得到原方程的根。按照该步骤逐题计算即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -10x +5=0$
移项，得：$x^2 -10x = -5$
配方，两边加$(-10÷2)^2=25$，得：$x^2 -10x +25 = -5+25$
即$(x-5)^2=20$
开平方，得：$x-5=\pm2\sqrt{5}$
解得：$x_1=5+2\sqrt{5},x_2=5-2\sqrt{5}$
(2) 解方程$x^2 +4x -6=0$
移项，得：$x^2 +4x =6$
配方，两边加$(4÷2)^2=4$，得：$x^2 +4x +4=6+4$
即$(x+2)^2=10$
开平方，得：$x+2=\pm\sqrt{10}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$
(3) 解方程$3x^2 -6x -1=0$
二次项系数化为1，两边除以3，得：$x^2 -2x -\frac{1}{3}=0$
移项，得：$x^2 -2x =\frac{1}{3}$
配方，两边加$(-2÷2)^2=1$，得：$x^2 -2x +1=\frac{1}{3}+1$
即$(x-1)^2=\frac{4}{3}$
开平方，得：$x-1=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得：$x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\frac{2}{3}\sqrt{3}$
(4) 解方程$2x^2 -5x -4=0$
二次项系数化为1，两边除以2，得：$x^2 -\frac{5}{2}x -2=0$
移项，得：$x^2 -\frac{5}{2}x =2$
配方，两边加$(-\frac{5}{2}÷2)^2=\frac{25}{16}$，得：$x^2 -\frac{5}{2}x +\frac{25}{16}=2+\frac{25}{16}$
即$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{57}{16}$
开平方，得：$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{57}}{4}$
解得：$x_1=\frac{5+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$
【答案】
(1)$x_1=5+2\sqrt{5},x_2=5-2\sqrt{5}$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$；
(3)$x_1=1+\frac{2}{3}\sqrt{3},x_2=1-\frac{2}{3}\sqrt{3}$；
(4)$x_1=\frac{5+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规训练题，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其注意当二次项系数不为1时，需先将二次项系数化为1再配方，配方时等式两边要同时加相同的数，保证等式成立，避免漏加、错加常数项导致出错。
【难度系数】
0.75
