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8.你会用配方法解方程$(x+1)^2 + 2(x+1)=8$吗？你能找到几种解法？
答案
$x_1=1,x_2=-5$。两种解法
解析
【分析】
本题是含整体结构的一元二次方程，可从两种思路出发用配方法求解：思路一：观察到方程中均含有(x+1)项，可将(x+1)看作整体直接配方，简化计算步骤；思路二：先将原方程去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，再按照常规配方法步骤求解。两种思路均需遵循“配方时等式两边同时加一次项系数一半的平方”的规则，开平方时注意正负两种情况。
【解析】
解法1：将$(x+1)$看作整体配方
原方程：$(x+1)^2 + 2(x+1) = 8$
等式两边同时加1（即关于$(x+1)$的一次项系数一半的平方），得：
$(x+1)^2 + 2(x+1) + 1 = 8 + 1$
左边化为完全平方形式：$(x+1+1)^2 = 9$，即$(x+2)^2=9$
开平方得：$x+2=3$ 或 $x+2=-3$
解得：$x_1=1$，$x_2=-5$
解法2：先整理为一般式再配方
展开原方程左边得：$x^2+2x+1+2x+2=8$
移项、合并同类项得：$x^2+4x=5$
等式两边同时加4（即一次项系数4的一半的平方），得：
$x^2+4x+4=5+4$
左边化为完全平方形式：$(x+2)^2=9$
开平方得：$x+2=3$ 或 $x+2=-3$
解得：$x_1=1$，$x_2=-5$
综上共有2种解法。
【答案】
$x_1=1,x_2=-5$，两种解法
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整体换元思想
【点评】
本题侧重考查配方法的灵活运用，既可以用常规步骤展开配方，也可以通过观察式子的整体结构简化计算，能引导学生多角度思考解方程的方法，打破思维定式。
【难度系数】
0.7
本题是含整体结构的一元二次方程，可从两种思路出发用配方法求解：思路一：观察到方程中均含有(x+1)项，可将(x+1)看作整体直接配方，简化计算步骤；思路二：先将原方程去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，再按照常规配方法步骤求解。两种思路均需遵循“配方时等式两边同时加一次项系数一半的平方”的规则，开平方时注意正负两种情况。
【解析】
解法1：将$(x+1)$看作整体配方
原方程：$(x+1)^2 + 2(x+1) = 8$
等式两边同时加1（即关于$(x+1)$的一次项系数一半的平方），得：
$(x+1)^2 + 2(x+1) + 1 = 8 + 1$
左边化为完全平方形式：$(x+1+1)^2 = 9$，即$(x+2)^2=9$
开平方得：$x+2=3$ 或 $x+2=-3$
解得：$x_1=1$，$x_2=-5$
解法2：先整理为一般式再配方
展开原方程左边得：$x^2+2x+1+2x+2=8$
移项、合并同类项得：$x^2+4x=5$
等式两边同时加4（即一次项系数4的一半的平方），得：
$x^2+4x+4=5+4$
左边化为完全平方形式：$(x+2)^2=9$
开平方得：$x+2=3$ 或 $x+2=-3$
解得：$x_1=1$，$x_2=-5$
综上共有2种解法。
【答案】
$x_1=1,x_2=-5$，两种解法
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整体换元思想
【点评】
本题侧重考查配方法的灵活运用，既可以用常规步骤展开配方，也可以通过观察式子的整体结构简化计算，能引导学生多角度思考解方程的方法，打破思维定式。
【难度系数】
0.7
9.下面是小亮解一元二次方程的过程,请认真阅读并完成相应的任务。
解:$3x^2 + 12x -9=0$
二次项系数化为1,得$x^2 +4x -3=0$,(第一步)
移项,得$x^2 +4x=3$,(第二步)
配方,得$x^2 +4x +16=3+16$,即$(x+4)^2=19$,(第三步)
由此,可得$x+4=\pm\sqrt{19}$,(第四步)
所以$x_1=\sqrt{19}-4$,$x_2=-\sqrt{19}-4$。(第五步)
任务一:填空:
①上述小亮同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程,此过程所体现的数学思想是
②“第二步”变形的数学依据是
③小亮同学解题过程中,从第
任务二:请你运用“配方法”解一元二次方程:$3x^2 +8x -3=0$。
解:$3x^2 + 12x -9=0$
二次项系数化为1,得$x^2 +4x -3=0$,(第一步)
移项,得$x^2 +4x=3$,(第二步)
配方,得$x^2 +4x +16=3+16$,即$(x+4)^2=19$,(第三步)
由此,可得$x+4=\pm\sqrt{19}$,(第四步)
所以$x_1=\sqrt{19}-4$,$x_2=-\sqrt{19}-4$。(第五步)
任务一:填空:
①上述小亮同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程,此过程所体现的数学思想是
转化
,其中,“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式
;②“第二步”变形的数学依据是
等式的基本性质
;③小亮同学解题过程中,从第
三
步开始出现错误,请直接写出正确的结果$x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$
;任务二:请你运用“配方法”解一元二次方程:$3x^2 +8x -3=0$。
答案
任务一:①转化 完全平方公式
②等式的基本性质
③三 $x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$
任务二:$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$。
②等式的基本性质
③三 $x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$
任务二:$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$。
解析
【分析】
任务一解题思路：①一元二次方程通过配方法降次为一元一次方程求解，是将未知问题转化为已知问题的过程，对应转化思想；配方法是构造完全平方式，依据完全平方公式。②移项是在等式两边同时加同一个数，依据等式的基本性质。③配方的规则是方程两边同时加一次项系数一半的平方，第三步中一次项系数为4，一半是2，平方是4，小亮错加16，因此第三步出错，按照正确配方步骤计算即可得到正确解。
任务二解题思路：按照配方法解一元二次方程的标准步骤：先将二次项系数化为1，再移项，接着配方，然后开方降次为一元一次方程，最后求解即可。
【解析】
任务一
①将高次的一元二次方程转化为低次的一元一次方程求解，体现的数学思想是转化；配方法通过构造完全平方式完成变形，依据的数学公式是完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）。
②第二步移项的本质是等式两边同时加同一个整式，变形依据是等式的基本性质。
③配方时需加一次项系数一半的平方，本题一次项系数为4，一半为2，平方为4，第三步小亮加了16，因此从第三步开始出现错误。
正确计算过程：配方得$x^2+4x+4=3+4$，即$(x+2)^2=7$，开方得$x+2=\pm\sqrt{7}$，解得$x_1=\sqrt{7}-2$，$x_2=-\sqrt{7}-2$。
任务二
解：$3x^2 +8x -3=0$
1. 二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{8}{3}x -1=0$
2. 移项，得$x^2 + \frac{8}{3}x = 1$
3. 配方，两边同时加$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，得$x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$，即$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{9}$
4. 开方，得$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}$
5. 求解得：$x_1=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$，$x_2=-\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=-3$
【答案】
任务一:①转化 完全平方公式
②等式的基本性质
③三 $x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$
任务二:$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的性质，完全平方公式
【点评】
本题围绕配方法解一元二次方程设置考点，既考查解方程的基础步骤，也考查解方程过程中蕴含的数学思想和原理，易错点为配方时容易错加常数项，牢记“配方时加一次项系数一半的平方”即可避免错误。
【难度系数】
0.7
任务一解题思路：①一元二次方程通过配方法降次为一元一次方程求解，是将未知问题转化为已知问题的过程，对应转化思想；配方法是构造完全平方式，依据完全平方公式。②移项是在等式两边同时加同一个数，依据等式的基本性质。③配方的规则是方程两边同时加一次项系数一半的平方，第三步中一次项系数为4，一半是2，平方是4，小亮错加16，因此第三步出错，按照正确配方步骤计算即可得到正确解。
任务二解题思路：按照配方法解一元二次方程的标准步骤：先将二次项系数化为1，再移项，接着配方，然后开方降次为一元一次方程，最后求解即可。
【解析】
任务一
①将高次的一元二次方程转化为低次的一元一次方程求解，体现的数学思想是转化；配方法通过构造完全平方式完成变形，依据的数学公式是完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）。
②第二步移项的本质是等式两边同时加同一个整式，变形依据是等式的基本性质。
③配方时需加一次项系数一半的平方，本题一次项系数为4，一半为2，平方为4，第三步小亮加了16，因此从第三步开始出现错误。
正确计算过程：配方得$x^2+4x+4=3+4$，即$(x+2)^2=7$，开方得$x+2=\pm\sqrt{7}$，解得$x_1=\sqrt{7}-2$，$x_2=-\sqrt{7}-2$。
任务二
解：$3x^2 +8x -3=0$
1. 二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{8}{3}x -1=0$
2. 移项，得$x^2 + \frac{8}{3}x = 1$
3. 配方，两边同时加$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，得$x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$，即$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{9}$
4. 开方，得$x+\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3}$
5. 求解得：$x_1=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=\frac{1}{3}$，$x_2=-\frac{5}{3}-\frac{4}{3}=-3$
【答案】
任务一:①转化 完全平方公式
②等式的基本性质
③三 $x_1=\sqrt{7}-2,x_2=-\sqrt{7}-2$
任务二:$x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的性质，完全平方公式
【点评】
本题围绕配方法解一元二次方程设置考点，既考查解方程的基础步骤，也考查解方程过程中蕴含的数学思想和原理，易错点为配方时容易错加常数项，牢记“配方时加一次项系数一半的平方”即可避免错误。
【难度系数】
0.7
10. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。
例:已知$x$可取任何实数,试求二次三项式$2x^2 -12x +14$的值的范围。
解:$2x^2 -12x +14$
$=2(x^2 -6x)+14$
$=2(x^2 -6x +3^2 -3^2)+14$
$=2[(x-3)^2 -9]+14$
$=2(x-3)^2 -18+14$
$=2(x-3)^2 -4$。
因为无论$x$取何实数,总有$(x-3)^2 ≥ 0$,
所以$2(x-3)^2 -4 ≥ -4$,
即无论$x$取何实数,$2x^2 -12x +14$的值总是不小于$-4$的实数。
问题:已知$x$可取任何实数,试判断二次三项式$-3x^2 +12x -11$的最值情况。
例:已知$x$可取任何实数,试求二次三项式$2x^2 -12x +14$的值的范围。
解:$2x^2 -12x +14$
$=2(x^2 -6x)+14$
$=2(x^2 -6x +3^2 -3^2)+14$
$=2[(x-3)^2 -9]+14$
$=2(x-3)^2 -18+14$
$=2(x-3)^2 -4$。
因为无论$x$取何实数,总有$(x-3)^2 ≥ 0$,
所以$2(x-3)^2 -4 ≥ -4$,
即无论$x$取何实数,$2x^2 -12x +14$的值总是不小于$-4$的实数。
问题:已知$x$可取任何实数,试判断二次三项式$-3x^2 +12x -11$的最值情况。
答案
解:$-3x^2 +12x -11$
$=-3(x-2)^2 +1$,
因为$-3(x-2)^2 ≤0$,
所以$-3(x-2)^2 +1 ≤1$,
所以$-3x^2 +12x -11 ≤1$,
所以无论$x$取何实数,二次三项式$-3x^2 +12x -11$都有最大值1。
$=-3(x-2)^2 +1$,
因为$-3(x-2)^2 ≤0$,
所以$-3(x-2)^2 +1 ≤1$,
所以$-3x^2 +12x -11 ≤1$,
所以无论$x$取何实数,二次三项式$-3x^2 +12x -11$都有最大值1。
解析
【分析】
要判断该二次三项式的最值，可参考例题的配方法思路解题：第一步先提取二次项系数，把含x的二次项、一次项整理到括号内；第二步对括号内的式子凑完全平方，注意添加的常数项要同步抵消，保证原式的值不变；第三步将原式整理为$a(x-h)^2+k$的形式，再结合平方的非负性，根据a的正负判断最值：若a＞0，式子有最小值k；若a＜0，式子有最大值k。
【解析】
对$-3x^2 +12x -11$进行配方：
$\begin{aligned}-3x^2 +12x -11&=-3(x^2-4x)-11\\&=-3(x^2-4x+2^2-2^2)-11\\&=-3[(x-2)^2-4]-11\\&=-3(x-2)^2+12-11\\&=-3(x-2)^2+1\end{aligned}$
因为无论x取任何实数，总有$(x-2)^2≥0$，
不等式两边乘负数$-3$，不等号方向改变，可得$-3(x-2)^2≤0$，
两边同时加1得：$-3(x-2)^2+1≤1$，即$-3x^2 +12x -11≤1$。
【答案】
无论x取何实数，二次三项式$-3x^2 +12x -11$有最大值1。
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是通过配方将二次三项式转化为含完全平方式的结构，再结合非负性判断取值范围，熟练掌握配方步骤、注意符号变化是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要判断该二次三项式的最值，可参考例题的配方法思路解题：第一步先提取二次项系数，把含x的二次项、一次项整理到括号内；第二步对括号内的式子凑完全平方，注意添加的常数项要同步抵消，保证原式的值不变；第三步将原式整理为$a(x-h)^2+k$的形式，再结合平方的非负性，根据a的正负判断最值：若a＞0，式子有最小值k；若a＜0，式子有最大值k。
【解析】
对$-3x^2 +12x -11$进行配方：
$\begin{aligned}-3x^2 +12x -11&=-3(x^2-4x)-11\\&=-3(x^2-4x+2^2-2^2)-11\\&=-3[(x-2)^2-4]-11\\&=-3(x-2)^2+12-11\\&=-3(x-2)^2+1\end{aligned}$
因为无论x取任何实数，总有$(x-2)^2≥0$，
不等式两边乘负数$-3$，不等号方向改变，可得$-3(x-2)^2≤0$，
两边同时加1得：$-3(x-2)^2+1≤1$，即$-3x^2 +12x -11≤1$。
【答案】
无论x取何实数，二次三项式$-3x^2 +12x -11$有最大值1。
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性；代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的典型应用题型，解题核心是通过配方将二次三项式转化为含完全平方式的结构，再结合非负性判断取值范围，熟练掌握配方步骤、注意符号变化是解题的关键。
【难度系数】
0.8
