课前预习
| 序号 | 基础知识 |
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| 1 | 一元二次方程的求根公式 | 一般地，当时，一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个根是。这个式子叫作一元二次方程的求根公式。用解一元二次方程的方法叫作公式法。 |
| 2 | 用公式法解一元二次方程的步骤 | 用公式法解一元二次方程的基本步骤是：
(1)把一元二次方程化为一般形式，一般应使$a＞0$；
(2)确定$a,b,c$的值；
(3)计算代数式的值，判断其是否非负；
(4)当$b^2 -4ac≥0$时，把$a,b,c$的值代入求根公式求解；当$b^2 -4ac＜0$时，方程没有实数根。 |
困惑疑问：
课堂同步

1. 当$b^2-4ac≥0$时，一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个根是$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，这个式子叫作一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法。
2. (1)把一元二次方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，一般应使$a＞0$；
(3)计算代数式$b^2-4ac$的值，判断其是否非负。

【分析】
本题是考查一元二次方程公式法相关基础概念的识记类题型，解题思路如下：①回忆求根公式的推导前提：通过配方法推导求根公式时，只有被开方数$b^2-4ac$非负，方程才有实数根，由此确定第一个空的内容；②回忆配方法推导得到的求根公式的标准形式，填写第二个空；③根据公式法的定义填写第三个空；④回忆公式法解方程的步骤：首先要将方程整理为统一的一般形式，才能准确确定$a,b,c$的取值，由此填写步骤(1)的空；⑤要先判断方程有没有实数根，需要计算判别式$b^2-4ac$的符号，由此填写步骤(3)的空。
【解析】
1. 一元二次方程有实数根的前提是判别式非负，即$b^2-4ac≥0$；此时方程的根为求根公式$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法。
2. (1) 公式法解方程首先要把方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，方便确定系数；
(3) 解方程前需要先计算判别式$b^2-4ac$的值，判断其是否非负，确定方程是否有实数根。
【答案】
1. $b^2-4ac≥0$；$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；求根公式
2. (1) $ax^2+bx+c=0(a≠0)$；(3) $b^2-4ac$
【知识点】
一元二次方程求根公式；公式法解一元二次方程；根的判别式
【点评】
本题属于基础概念考查题，内容是公式法求解一元二次方程的核心基础，只有准确掌握这些识记类知识点，才能正确运用公式法求解各类一元二次方程。
【难度系数】
0.9

思考1.(1)用配方法把一元二次方程$ax^2 +bx+c=0(a≠0)$的左边配成完全平方式得到$(x+\_\_\_\_\_\_)^2=\_\_\_\_\_\_$。当满足
什么条件时原方程有实数根？
(2)用公式法解一元二次方程的步骤：
①如果$b^2 -4ac≥0$，代入求根公式求出方程的根；如果$b^2 -4ac＜0$，没有实数根。
②将方程化为一般形式，确定$a,b,c$的值。
③根据$b^2 -4ac$的值判断一元二次方程根的情况。④计算出$b^2 -4ac$的值。
下列排序正确的是()。
A. ①②③④
B. ④②①③
C. ②④③①
D. ③①④②

1.(1) 配方得$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$，当满足$b^2-4ac≥0$时原方程有实数根。
(2) C

【分析】
(1) 本题考查用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，解题思路为：因为$a≠0$，先将方程两边同时除以$a$把二次项系数化为1，再移项把常数项移到等号右侧，给等号两边同时加一次项系数一半的平方，即可将左边配成完全平方式；再根据偶次幂的非负性，要使方程有实数根，等号右侧的式子需为非负数，据此推导判别式的取值要求即可。
(2) 本题考查公式法解一元二次方程的步骤排序，解题思路为：回忆公式法的操作逻辑，要确定$a、b、c$的值必须先把方程化为一般形式，再计算判别式的值，接着根据判别式判断根的情况，最后代入求根公式求解，按照这个逻辑对步骤排序即可。
【解析】
(1) 已知$a≠0$，将方程$ax^2+bx+c=0$两边同时除以$a$，得：
$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$
移项得：$x^2+\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{c}{a}$
配方，给两边同时加一次项系数一半的平方$(\dfrac{b}{2a})^2$，得：
$x^2+\dfrac{b}{a}x+(\dfrac{b}{2a})^2=-\dfrac{c}{a}+(\dfrac{b}{2a})^2$
左边整理为完全平方式，右边通分合并得：
$(x+\dfrac{b}{2a})^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
因为完全平方式的值非负，且分母$4a^2＞0$，要使方程有实数根，需右侧分式非负，即$b^2-4ac≥0$。
(2) 公式法解一元二次方程的逻辑顺序：
第一步：先将方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定$a、b、c$的值，对应步骤②；
第二步：计算判别式$b^2-4ac$的值，对应步骤④；
第三步：根据$b^2-4ac$的值判断一元二次方程根的情况，对应步骤③；
第四步：若$b^2-4ac≥0$，代入求根公式求根，若$b^2-4ac＜0$，方程无实数根，对应步骤①。
因此正确排序为②④③①，对应选项C。
【答案】
(1) $\dfrac{b}{2a}$，$\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$；当$b^2-4ac≥0$时原方程有实数根。
(2) C
【知识点】
配方法解一元二次方程；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础考查题，既涉及配方法推导求根公式的核心过程，也考查了公式法求解的操作顺序，熟练掌握配方法的步骤和公式法的求解逻辑，是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8

1. 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，当$b^2 - 4ac ≥ 0$时，两根分别是$x_1 = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_$。

$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

【分析】
本题考查一元二次方程求根公式的推导与记忆，解题思路从配方法解一元二次方程的步骤入手：求根公式是通过配方法对一元二次方程的一般形式变形推导而来的，当判别式$b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根，我们按照配方法的常规步骤：二次项系数化为1、移项、配方、开平方、移项求解，即可得到两个根的表达式。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，且$b^2-4ac≥0$，推导过程如下：
1. 二次项系数化为1：方程两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，左侧变形为完全平方式，右侧通分化简，可得：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
4. 开平方：因为$b^2-4ac≥0$，$4a^2＞0$，右侧是非负数，两边同时开平方得：
$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
5. 移项求解：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，取正号得$x_1$，取负号得$x_2$。
【答案】
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式、配方法解一元二次方程、根的判别式
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对一元二次方程求根公式的掌握，熟练记忆并理解求根公式的推导过程，是运用公式法解一元二次方程的前提，需要重点掌握。
【难度系数】
0.9

2. 把方程$3x^2=2-4x$化为一般式，其中$a=$，$b=$，$c=$。
$b^2-4ac=$。

化为一般式为$3x^2+4x-2=0$，其中$a=3$，$b=4$，$c=-2$，$b^2-4ac=40$。

【分析】
要解决这道题，首先需明确一元二次方程一般式的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题第一步要把给定方程通过移项整理为一般式，移项时注意移动的项要变号；整理完成后对应提取$a、b、c$的值，注意要带上项本身的符号；最后将$a、b、c$代入判别式公式$b^2-4ac$计算即可得到结果。
【解析】
1. 将原方程化为一般式：
原方程为$3x^2=2-4x$，把右侧的项全部移到等号左侧，得：
$3x^2+4x-2=0$
2. 确定$a、b、c$的值：
对照一元二次方程一般式的结构，可得：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=4$，常数项$c=-2$
3. 计算$b^2-4ac$：
将$a=3、b=4、c=-2$代入判别式公式：
$b^2-4ac=4^2 - 4×3×(-2)=16+24=40$
【答案】
$3$；$4$；$-2$；$40$
【知识点】
一元二次方程一般式；根的判别式计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的基本概念，解题时要注意移项的符号变化，提取$a、b、c$时不要遗漏项本身的正负号，计算判别式时注意负号的运算规则，避免因粗心出现错误。
【难度系数】
0.8

思考 2.(1)所有的一元二次方程都能用公式法求根吗？
(2)如何用求根公式来解一元二次方程？需要注意什么问题？

(1)公式法可解全部的一元二次方程。首先要通过$b^2-4ac$来判断一元二次方程有几个根。当$b^2-4ac≥0$时方程有两个实数根，当$b^2-4ac＜0$时方程没有实数根。
(2)用求根公式解一元二次方程，先将原方程转化成一般式，准确找出$a,b,c$的值，不要漏掉前面的符号，然后计算$b^2-4ac$的值，当其大于等于0时，代入求根公式求根。

【分析】
这两个问题围绕公式法解一元二次方程的核心基础设置，解题思路如下：
(1) 先回忆求根公式的推导来源：求根公式是对一元二次方程一般式通过配方法推导得到的，因此理论上适用于所有一元二次方程；同时要结合根的判别式的意义，明确不同判别式取值下方程根的情况，不能误认为无实根就是公式法不适用。
(2) 结合求根公式的推导前提思考操作步骤：求根公式是对应一元二次方程一般式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$推导的，因此首先要把方程化为一般式，再准确提取参数，先判断判别式再代入求根，过程中要注意参数的符号不能出错。
【解析】
(1) 所有一元二次方程都可以用公式法求根。求解时首先计算根的判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta ≥ 0$时，方程有两个实数根，可以代入求根公式算出实根；当$\Delta ＜ 0$时，方程没有实数根，不需要再代入求根公式计算。
(2) 用求根公式解一元二次方程的步骤：
① 先把原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；
② 准确确定$a、b、c$的取值，注意要带上系数前面的正负号，避免符号错误；
③ 计算$\Delta = b^2-4ac$的值，判断根的存在性：若$\Delta ≥ 0$，将$a、b、c$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算方程的根；若$\Delta ＜ 0$，则方程无实数根。
【答案】
(1)公式法可解全部的一元二次方程。首先要通过$b^2-4ac$来判断一元二次方程有几个根。当$b^2-4ac≥0$时方程有两个实数根，当$b^2-4ac＜0$时方程没有实数根。
(2)用求根公式解一元二次方程，先将原方程转化成一般式，准确找出$a,b,c$的值，不要漏掉前面的符号，然后计算$b^2-4ac$的值，当其大于等于0时，代入求根公式求根。
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；公式法解方程
【点评】
本题是对一元二次方程公式法的基础概念考查，牢记公式法的适用范围、操作步骤和注意事项，是正确运用公式法求解一元二次方程的前提，有助于夯实解方程的基础。
【难度系数】
0.9