3. 方程 $x^2 - 3x + \dfrac{3}{2} = 0$ 的根是 。

$x_1=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$

【分析】
本题是求解一元二次方程的根，可采用公式法求解：第一步先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$中$a、b、c$的取值，第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，第三步若存在实根，直接代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。
【解析】
对于方程$x^2 - 3x + \frac{3}{2} = 0$，可得$a=1$，$b=-3$，$c=\frac{3}{2}$。
首先计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×\frac{3}{2} = 9 - 6 = 3＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
将$a、b、\Delta$代入求根公式：
$x = \frac{-(-3)\pm\sqrt{3}}{2×1} = \frac{3\pm\sqrt{3}}{2}$
即方程的两个根为$x_1=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$x_1=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2},x_2=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的求解，熟练掌握求根公式的使用步骤是解题核心，计算判别式时要注意符号运算，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8

4. 方程$2y(y - 2)=1$的根是。

$y_1=1+\dfrac{\sqrt{6}}{2},y_2=1-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

【分析】首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$，本题可采用公式法求解：第一步先展开方程左边，移项整理为一般式，确定系数a、b、c的值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况；第三步代入一元二次方程求根公式计算，并化简结果即可得到方程的根。
【解析】
解：先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
展开左边得：$2y^2 - 4y = 1$
移项得：$2y^2 - 4y - 1 = 0$
其中$a=2$，$b=-4$，$c=-1$
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$y = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y = \frac{4\pm\sqrt{24}}{2×2} = \frac{4\pm2\sqrt{6}}{4}$
约分后得：$y = 1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$
即$y_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$y_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】$y_1=1+\dfrac{\sqrt{6}}{2},y_2=1-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】公式法解一元二次方程，二次根式化简
【点评】本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题时需先将方程整理为一般形式再代入公式计算，注意计算过程中符号不要出错，二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】0.7

1. 利用公式法解一元二次方程$6x^2+\frac{1}{2}=5x$时，$a,b,c$的值分别是（$\quad$）。

A.$6,\frac{1}{2},5$
B.$6,5,\frac{1}{2}$
C.$6,-5,\frac{1}{2}$
D.$6,-5,-\frac{1}{2}$

C

【分析】
要确定公式法中一元二次方程的$a、b、c$的值，首先需要把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意各项系数要包含前面的符号。解题步骤为：先对原方程移项，把含$x$的项移到等号左侧，使等号右侧为0，整理为一般形式后再对应提取$a、b、c$即可。
【解析】
首先将原方程$6x^2+\frac{1}{2}=5x$移项，把右边的$5x$移到左边，移项要变号，得到一元二次方程的一般形式：
$6x^2 - 5x + \frac{1}{2}=0$
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得：
二次项系数$a=6$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先将方程化为一般形式，需要特别注意移项时符号的变化，提取系数时不要遗漏各项前面的正负号。
【难度系数】
0.9

2.用公式法解一元二次方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$时，计算$b^2 - 4ac$的结果是（）。

A.17
B.14
C.11
D.8

A

【分析】
要解答本题，首先回忆一元二次方程公式法的相关知识：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，判别式为$b^2-4ac$。解题时首先从给出的方程中准确提取$a、b、c$的取值，尤其注意系数的正负号，再代入判别式公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应题目中的方程$2x^2 - 3x - 1 = 0$，可得：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-1$。
将上述值代入$b^2-4ac$计算：
$\begin{aligned}b^2-4ac&=(-3)^2 - 4×2×(-1)\\&=9 + 8\\&=17\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式计算
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程根的判别式的计算，解题关键是准确识别方程各项的系数，尤其要注意不要忽略系数的正负号，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.9

3.用公式法解一元二次方程$x^2 - 2x -4=0$，正确结果为（）。

A.$x_1=x_2=1+\sqrt{5}$
B.$x_1=x_2=1-\sqrt{5}$
C.$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
D.$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$

C

【分析】
要使用公式法解一元二次方程，首先需明确解题步骤：第一步先确认方程为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定系数$a$、$b$、$c$的值，注意系数的符号；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时有两个不等实根，$\Delta=0$时有两个相等实根，$\Delta＜0$时无实根；第三步若有实根，将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果，最后匹配选项即可。本题方程已经是一般形式，可直接确定系数，计算后对比选项就能得到答案。
【解析】
首先确定一元二次方程$x^2 - 2x -4=0$的各项系数：
$a=1$，$b=-2$，$c=-4$
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-4) = 4 + 16 = 20 ＞ 0$
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{20}}{2×1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$
即$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
公式法解一元二次方程；根的判别式；一元二次方程求根公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公式法解一元二次方程的规范步骤，解题时需特别注意确定系数$b$、$c$时不要弄错符号，代入求根公式时要准确计算，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.8

4.已知m,n是方程$x^2 -x -1=0$的两个根,若$m＞n$,则$m$的值应在()。

A.0和1之间
B.1和1.5之间
C.1.5和2之间
D.2和3之间

C

【分析】
要确定方程较大根m的取值范围，首先需回忆一元二次方程的求根公式，先求出方程的两个根，结合m＞n的条件得到m的表达式，再通过估算无理数√5的大小，代入计算即可得到m所在的区间。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 -x -1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$，
先计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5$，
由求根公式可得方程的根为：$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵$m＞n$，
∴m为较大的根，即$m = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∵$2^2=4＜5$，$3^2=9＞5$，
∴$2＜\sqrt{5}＜3$，
不等式各边加1得：$3＜1+\sqrt{5}＜4$，
不等式各边除以2得：$1.5＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}＜2$，即$1.5＜m＜2$，
∴m的值在1.5和2之间。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式，无理数估算
【点评】
本题综合考查一元二次方程求根公式的应用与无理数大小的估算，解题关键是正确写出较大根的表达式，再通过不等式的性质推导得到根的范围，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7

5.用公式法解一元二次方程，得$x=$$$，则该一元二次方程是。

$3x^2-5x+1=0$

【分析】
我们首先要明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，解题时只需将题目给出的根的表达式和求根公式逐项对比，分别求出系数$a、b、c$的值，再代入一元二次方程的一般形式即可得到所求方程。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的表达式$x=\frac{5\pm\sqrt{25-4×3×1}}{2×3}$与求根公式逐项对比：
1. 对比分母：$2a=2×3$，解得$a=3$；
2. 对比分子的一次项对应部分：$-b=5$，解得$b=-5$；
3. 对比根号内的常数项：$4ac=4×3×1$，代入$a=3$，解得$c=1$；
将$a=3、b=-5、c=1$代入一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得方程。
【答案】
$3x^2-5x+1=0$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是求根公式的逆向运用题，解题核心是熟记求根公式的结构，找准公式各部分和已知表达式的对应关系，尤其要注意符号的准确性，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7

6.用公式法解下列方程：
(1)$2x^2 + x - 6 = 0$；
(2)$x^2 + 4x = 2$；
(3)$5x^2 - 4x - 12 = 0$；
(4)$4x^2 + 4x + 10 = 1 - 8x$。

(1)$x_1=-2,x_2=\dfrac{3}{2}$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$；
(3)$x_1=2,x_2=-\dfrac{6}{5}$；
(4)$x_1=x_2=-\dfrac{3}{2}$。

【分析】
用公式法解一元二次方程的通用解题思路：①先把方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值（注意符号不要出错）；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根；③若$\Delta\ge0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算得到方程的根，每个小题都按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 方程$2x^2 + x - 6 = 0$已是一般形式，
$\therefore a=2$，$b=1$，$c=-6$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-6) = 1 + 48 = 49＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{-1\pm7}{4}$，
$\therefore x_1=\frac{-1+7}{4}=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{-1-7}{4}=-2$。
(2) 先移项将方程整理为一般形式：$x^2 + 4x - 2 = 0$，
$\therefore a=1$，$b=4$，$c=-2$，
判别式$\Delta = 4^2 - 4×1×(-2) = 16 + 8 = 24＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2×1}=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{2}=-2\pm\sqrt{6}$，
$\therefore x_1=-2+\sqrt{6}$，$x_2=-2-\sqrt{6}$。
(3) 方程$5x^2 - 4x - 12 = 0$已是一般形式，
$\therefore a=5$，$b=-4$，$c=-12$，
判别式$\Delta = (-4)^2 - 4×5×(-12) = 16 + 240 = 256＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{256}}{2×5}=\frac{4\pm16}{10}$，
$\therefore x_1=\frac{4+16}{10}=2$，$x_2=\frac{4-16}{10}=-\frac{6}{5}$。
(4) 先移项合并同类项，整理为一般形式：
$4x^2 + 4x + 10 - 1 + 8x = 0$，即$4x^2 + 12x + 9 = 0$，
$\therefore a=4$，$b=12$，$c=9$，
判别式$\Delta = 12^2 - 4×4×9 = 144 - 144 = 0$，
$\therefore$方程有两个相等的实数根，代入求根公式得：
$x=\frac{-12\pm\sqrt{0}}{2×4}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$，
$\therefore x_1=x_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=-2,x_2=\dfrac{3}{2}$；
(2)$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$；
(3)$x_1=2,x_2=-\dfrac{6}{5}$；
(4)$x_1=x_2=-\dfrac{3}{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程、根的判别式、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础练习题，核心是熟练掌握公式法的解题步骤，求解时要注意先将方程化为一般形式，确定$a$、$b$、$c$时不要弄错符号，计算判别式和代入求根公式时要细心运算，避免失误。
【难度系数】
0.8

7.小亮解方程$x^2 -6x=7$的过程如下：
解:因为$a=1,b=-6,c=7$,(第一步)
所以$b^2 -4ac=(-6)^2 -4×1×7=8＞0$,
(第二步)
所以方程有两个不相等的实数根，
$x=\frac{6±\sqrt{8}}{2}=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}=3±\sqrt{2}$,(第三步)
所以$x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}$。(第四步)
(1)小亮的解答过程是否正确?
(2)如果你认为正确,请你用另一种方法来解这个方程,看看得到的结果是否一致;如果你认为不正确,请指出小亮从第几步开始出错,并用小亮的方法重新解方程。

(1)小亮的解答过程不正确。
(2)小亮从第一步开始出错。方程可变形为$x^2-6x-7=0$,因为$a=1,b=-6,c=-7$,所以$b^2-4ac=(-6)^2-4×1×(-7)=64＞0$,所以方程有两个不相等的实数根，$x=\dfrac{6\pm\sqrt{64}}{2×1}=\dfrac{6\pm8}{2}$,所以$x_1=7,x_2=-1$。

【分析】
解决本题需先明确公式法解一元二次方程的正确步骤：首先要将方程化为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），再确定$a$、$b$、$c$的取值，之后计算判别式，最后代入求根公式求解。首先对照小亮的步骤判断：原方程未移项整理为一般形式，小亮直接取$c=7$，不符合公式法的使用要求，据此可判断解法错误，再按正确步骤重新求解即可。
【解析】
(1) 小亮的解答过程不正确。
(2) 小亮从第一步开始出错，错误原因是未将方程化为一元二次方程的一般形式就确定系数$c$的取值。
用公式法重新解方程：
首先将原方程移项，化为一般形式：$x^2 - 6x - 7 = 0$，
此时$a=1$，$b=-6$，$c=-7$，
计算判别式：$b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×(-7) = 36 + 28 = 64 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2×1} = \frac{6 \pm 8}{2}$，
计算得$x_1 = \frac{6+8}{2}=7$，$x_2 = \frac{6-8}{2}=-1$。
【答案】
(1)小亮的解答过程不正确。
(2)小亮从第一步开始出错。方程可变形为$x^2-6x-7=0$,因为$a=1,b=-6,c=-7$,所以$b^2-4ac=(-6)^2-4×1×(-7)=64＞0$,所以方程有两个不相等的实数根，$x=\dfrac{6\pm\sqrt{64}}{2×1}=\dfrac{6\pm8}{2}$,所以$x_1=7,x_2=-1$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程公式法的规范应用，易错点是使用公式求解前未将方程整理为一般形式，导致各项系数尤其是常数项的符号判断错误，解题时需严格按照步骤规范操作，避免低级失误。
【难度系数】
0.7