登录
8.若直角三角形的两边长分别是一元二次方程$x^2 -6x +5=0$的两根，则第三边的长为
$\sqrt{26}$或$2\sqrt{6}$
。答案
$\sqrt{26}$或$2\sqrt{6}$。
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步先求解一元二次方程，得到直角三角形已知两边的长度；第二步结合直角三角形的特点分类讨论，因为题目未明确说明已知两边是直角边还是斜边，且斜边长度一定大于直角边，因此仅需考虑两种情况：①已知两边均为直角边；②长度较大的边为斜边，较短边为直角边；第三步分别用勾股定理计算第三边的长度，同时验证结果是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 -6x +5=0$：
因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=5$，即直角三角形的两边长为1和5。
分两种情况计算第三边：
① 当1和5均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{1^2 + 5^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$；
② 当5为斜边，1为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{5^2 -1^2}=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
两种结果均满足三角形三边关系，均成立。
【答案】
$\sqrt{26}$或$2\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程的解法；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认已知的两边都是直角边导致漏解。解题时要注意：若题目未明确直角三角形的边长是直角边还是斜边，一定要结合边长大小分情况讨论，同时要验证计算结果是否符合三角形的三边关系。
【难度系数】
0.6
解题时可分三步思考：第一步先求解一元二次方程，得到直角三角形已知两边的长度；第二步结合直角三角形的特点分类讨论，因为题目未明确说明已知两边是直角边还是斜边，且斜边长度一定大于直角边，因此仅需考虑两种情况：①已知两边均为直角边；②长度较大的边为斜边，较短边为直角边；第三步分别用勾股定理计算第三边的长度，同时验证结果是否满足三角形三边关系即可。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 -6x +5=0$：
因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=5$，即直角三角形的两边长为1和5。
分两种情况计算第三边：
① 当1和5均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{1^2 + 5^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$；
② 当5为斜边，1为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{5^2 -1^2}=\sqrt{25-1}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
两种结果均满足三角形三边关系，均成立。
【答案】
$\sqrt{26}$或$2\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程的解法；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认已知的两边都是直角边导致漏解。解题时要注意：若题目未明确直角三角形的边长是直角边还是斜边，一定要结合边长大小分情况讨论，同时要验证计算结果是否符合三角形的三边关系。
【难度系数】
0.6
9.若关于x的一元二次方程$kx^2 - x + 1 = 0$有实数根，求k可取的最大整数值。
答案
$k$可取的最大整数值为$-1$。
解析
【分析】
解题时需抓住题干的两个核心限制条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数根，因此根的判别式需大于等于0。先根据两个条件列出关于k的不等式，求解后结合整数要求筛选出最大的符合条件的k即可，要注意不能漏掉“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，避免错解。
【解析】
解：
∵ $kx^2 - x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
将$a=k$、$b=-1$、$c=1$代入判别式得：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × k × 1 = 1 - 4k ≥ 0$
解不等式$1-4k ≥ 0$：
$-4k ≥ -1$，即$k ≤ \frac{1}{4}$
综上可得k的取值范围为$k ≤ \frac{1}{4}$且$k ≠ 0$
满足该范围的最大整数为$-1$
【答案】
$k$可取的最大整数值为$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 根的判别式应用 3. 不等式的整数解
【点评】
本题是典型的易错题，解题的关键是先明确一元二次方程对二次项系数的限制，再结合根的判别式列不等式求解，很多同学容易忽略$k≠0$的前提误选0，审题时要重点关注题干的限定描述。
【难度系数】
0.6
解题时需抓住题干的两个核心限制条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程有实数根，因此根的判别式需大于等于0。先根据两个条件列出关于k的不等式，求解后结合整数要求筛选出最大的符合条件的k即可，要注意不能漏掉“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含前提，避免错解。
【解析】
解：
∵ $kx^2 - x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
∵ 方程有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
将$a=k$、$b=-1$、$c=1$代入判别式得：
$\Delta = (-1)^2 - 4 × k × 1 = 1 - 4k ≥ 0$
解不等式$1-4k ≥ 0$：
$-4k ≥ -1$，即$k ≤ \frac{1}{4}$
综上可得k的取值范围为$k ≤ \frac{1}{4}$且$k ≠ 0$
满足该范围的最大整数为$-1$
【答案】
$k$可取的最大整数值为$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 根的判别式应用 3. 不等式的整数解
【点评】
本题是典型的易错题，解题的关键是先明确一元二次方程对二次项系数的限制，再结合根的判别式列不等式求解，很多同学容易忽略$k≠0$的前提误选0，审题时要重点关注题干的限定描述。
【难度系数】
0.6
10.阅读理解题。
关于一元二次方程的求根公式，还有一种推导方法：
因为 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $，所以方程两边都乘 $ 4a $，得 $ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 $，配方，得 $ (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac $。
当 $ b^2 - 4ac ≥ 0 $ 时，由平方根的意义，得 $ 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} $，
所以 $ 2ax = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} $。
由 $ a ≠ 0 $ 得 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $。
与教材中的方法有什么区别？
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
关于一元二次方程的求根公式，还有一种推导方法：
因为 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $，所以方程两边都乘 $ 4a $，得 $ 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 $，配方，得 $ (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac $。
当 $ b^2 - 4ac ≥ 0 $ 时，由平方根的意义，得 $ 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} $，
所以 $ 2ax = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} $。
由 $ a ≠ 0 $ 得 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $。
与教材中的方法有什么区别？
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
①本质相同，都运用了配方法；②课本方法配方出现分式比较烦琐，本方法运用等式基本性质后配方简单一些。
解析
【分析】
要对比两种求根公式推导方法的区别，我们可以从核心原理和操作步骤两个维度展开思考：首先推导一元二次方程求根公式的核心方法是配方法，两种方法的底层逻辑是一致的；再分别梳理两种方法的操作流程：教材中的推导是先将二次项系数化为1（两边除以a），后续配方会涉及分式运算；题干给出的方法是先给方程两边乘4a，直接凑整式的完全平方式，避免了分式运算。从本质和操作难度两方面总结即可得到结论。
【解析】
我们从本质和操作两个角度对比两种方法：
1. 本质层面：两种推导方法的核心原理完全相同，都使用了配方法求解一元二次方程，最终推导得到的求根公式也完全一致。
2. 操作层面：教材中的推导方法先将方程两边除以a，把二次项系数化为1，配方过程中会出现分式运算，步骤相对烦琐；本题给出的推导方法先利用等式的基本性质，给方程两边同乘4a，可直接将含x的项配成整式完全平方$(2ax+b)^2$，避免了分式运算，配方过程更简单。
【答案】
①本质相同，都运用了配方法；②课本方法配方出现分式比较烦琐，本方法运用等式基本性质后配方简单一些。
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质；求根公式推导
【点评】
本题通过对比一元二次方程求根公式的两种推导方法，帮助我们加深对配方法的理解，体会运算技巧对简化计算的作用，能够让我们更扎实地掌握求根公式的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
要对比两种求根公式推导方法的区别，我们可以从核心原理和操作步骤两个维度展开思考：首先推导一元二次方程求根公式的核心方法是配方法，两种方法的底层逻辑是一致的；再分别梳理两种方法的操作流程：教材中的推导是先将二次项系数化为1（两边除以a），后续配方会涉及分式运算；题干给出的方法是先给方程两边乘4a，直接凑整式的完全平方式，避免了分式运算。从本质和操作难度两方面总结即可得到结论。
【解析】
我们从本质和操作两个角度对比两种方法：
1. 本质层面：两种推导方法的核心原理完全相同，都使用了配方法求解一元二次方程，最终推导得到的求根公式也完全一致。
2. 操作层面：教材中的推导方法先将方程两边除以a，把二次项系数化为1，配方过程中会出现分式运算，步骤相对烦琐；本题给出的推导方法先利用等式的基本性质，给方程两边同乘4a，可直接将含x的项配成整式完全平方$(2ax+b)^2$，避免了分式运算，配方过程更简单。
【答案】
①本质相同，都运用了配方法；②课本方法配方出现分式比较烦琐，本方法运用等式基本性质后配方简单一些。
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质；求根公式推导
【点评】
本题通过对比一元二次方程求根公式的两种推导方法，帮助我们加深对配方法的理解，体会运算技巧对简化计算的作用，能够让我们更扎实地掌握求根公式的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
