课前预习
基础知识
用因式分
解法解一
元 二 次
方程
运用因式分解将一元二次方
程转化为的形式，
由此得到两个，通
过解这两个一元一次方程得到一
元二次方程的根。这种解一元二
次方程的方法叫作因式分解法。
困惑疑问：

两个一次因式的乘积等于0 一元一次方程

【分析】
这道题考查因式分解法解一元二次方程的基本定义，解题时结合因式分解法的核心逻辑思考即可：求解一元二次方程的核心思路是降次，要把二次方程转化为我们熟悉的一次方程求解。因式分解法利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，先把一元二次方程变形为两个一次因式相乘等于0的形式，就能拆分得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原二次方程的根，结合这个逻辑就能填出对应空缺。
【解析】
根据因式分解法的定义：运用因式分解将一元二次方程转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，由此得到两个一元一次方程，通过解这两个一元一次方程得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。因此第一个空填“两个一次因式的乘积等于0”，第二个空填“一元一次方程”。
【答案】
两个一次因式的乘积等于0；一元一次方程
【知识点】
因式分解法；一元二次方程解法
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考察对因式分解法解一元二次方程原理的记忆与理解，牢牢掌握相关定义即可快速得出答案，是学习一元二次方程解法的基础内容。
【难度系数】
0.9

思考(1)利用因式分解法解一元二次方程时,必须将方程一边(右边)化为。
(2)在解方程$x(x-2)=x-2$时,方程两边都除以$(x-2)$可以吗?为什么?

(1)零
(2)不可以,在方程两边不能都除以同一个含有未知数的整式,以防止漏根。

【分析】
（1）回忆因式分解法解一元二次方程的逻辑依据：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，因此必须将方程的一边化为0，才能拆分因式分别求解。
（2）思考等式基本性质的适用条件：等式两边同时除以的数或整式不能为0，而x-2是含未知数的整式，存在值为0的可能，需要判断能否直接除以该式，同时考虑直接除以会产生的后果。
【解析】
（1）因式分解法解一元二次方程的核心是利用“若ab=0，则a=0或b=0”的性质求解，因此必须将方程的右边化为0，再将左边分解为两个一次因式的乘积。
（2）不可以。根据等式的基本性质，等式两边只能同时除以同一个不为0的数或整式，等式才仍然成立。本题中(x-2)是含有未知数的整式，当x=2时，x-2=0，此时若两边除以(x-2)，既不符合等式性质的要求，还会漏掉x=2这个原方程的根，因此不能在方程两边都除以(x-2)。
【答案】
(1)零
(2)不可以,在方程两边不能都除以同一个含有未知数的整式,以防止漏根。
【知识点】
因式分解法解方程；等式的基本性质；一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程解法的基础规则和等式性质的适用前提，属于解方程的常见易错点，熟练掌握相关要求能有效避免解方程时出现漏根、错解的问题。
【难度系数】
0.8

1.一元二次方程$(x-3)(x+7)=0$的根为。

$x_1=3,x_2=-7$

【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：观察方程特征，左侧是两个一次因式的乘积，右侧为0，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，可将二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程即可得到原一元二次方程的根。
【解析】
已知方程$(x-3)(x+7)=0$，根据“两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”，可得：
$x-3=0$ 或 $x+7=0$
分别解这两个一元一次方程：
当$x-3=0$时，解得$x=3$；
当$x+7=0$时，解得$x=-7$。
因此原方程的根为$x_1=3,x_2=-7$。
【答案】
$x_1=3,x_2=-7$
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考察将高次方程降次转化为低次方程的解题思路，熟练掌握因式分解法解方程的规则即可快速作答，属于得分率较高的基础题。
【难度系数】
0.9

2.用因式分解法解方程$(x-2)(2x+1)=1+2x$,可把其化为两个一元一次方程,求解。

$2x+1=0,x-3=0$

【分析】
要用因式分解法解一元二次方程，首先需将方程变形为“几个整式的乘积等于0”的形式。观察方程两边都含有因式$2x+1$，注意不能直接两边同时除以$2x+1$（否则会漏掉$2x+1=0$这个根），正确做法是先把右边的$2x+1$移到方程左边，再提取公因式$2x+1$，最后令每个因式分别等于0，即可得到两个一元一次方程。
【解析】
第一步：移项，将右边的$1+2x$移到左边，使方程右边为0：
$(x-2)(2x+1) - (2x+1) = 0$
第二步：提取公因式$2x+1$：
$(2x+1)[(x-2) - 1] = 0$
第三步：化简括号内的式子：
$(2x+1)(x-3) = 0$
第四步：根据“若两个整式的乘积为0，则至少其中一个整式为0”，可得两个一元一次方程：
$2x+1=0$，$x-3=0$
【答案】
$2x+1=0,x-3=0$
【知识点】
因式分解法解方程；提取公因式分解因式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用，解题时需注意不要直接对等式两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握移项、提取公因式的操作是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3.用因式分解法解方程：$(x-1)^2 -4(x+2)^2=0$。

$x_1=-1,x_2=-5$

【分析】
观察方程左边为两个整式平方的差，符合平方差公式的结构特征，因此可先利用平方差公式对左边进行因式分解，将原方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程左边利用平方差公式因式分解，得：
$[(x-1)-2(x+2)][(x-1)+2(x+2)]=0$
分别化简两个因式：
第一个因式：$(x-1)-2(x+2)=x-1-2x-4=-x-5$
第二个因式：$(x-1)+2(x+2)=x-1+2x+4=3x+3$
因此方程可化为：$(-x-5)(3x+3)=0$
令每个因式分别为0，得：
$-x-5=0$ 或 $3x+3=0$
解第一个方程得$x=-5$，解第二个方程得$x=-1$。
【答案】
$x_1=-1,x_2=-5$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础应用，解题核心是准确识别方程左边的平方差结构，正确套用公式因式分解实现降次，计算时需注意去括号时的符号变化，避免因计算失误出错。
【难度系数】
0.8

1.用因式分解法解下列方程,正确的是()。

A.$x(x+1)=0$,所以 $x+1=0$
B.$(x+1)(x-2)=1$,所以 $x+1=1$ 或 $x-2=1$
C.$(x-1)(x-2)=2×3$,所以 $x-1=2$ 或 $x-2=3$
D.$(x-2)(3x-4)=0$,所以 $x-2=0$ 或 $3x-4=0$

D

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心依据是：若两个实数的乘积为0，则这两个实数中至少有一个为0，即$ab=0 \iff a=0$或$b=0$。使用该方法的前提是方程等号右侧为0，左侧可分解为两个一次因式的乘积。解题时我们只需对照这个规则，逐一判断每个选项是否符合要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：方程$x(x+1)=0$，根据规则应得到$x=0$或$x+1=0$，选项漏了$x=0$的解，因此A错误。
选项B：方程$(x+1)(x-2)=1$的等号右侧是1，不是0，不能直接令两个因式分别等于1，需先将方程整理为右侧为0的标准形式再求解，因此B错误。
选项C：方程$(x-1)(x-2)=2×3$的等号右侧是6，不是0，不能直接令两个因式分别等于2和3，需先展开整理为标准形式再求解，因此C错误。
选项D：方程$(x-2)(3x-4)=0$满足右侧为0，左侧是两个一次因式的乘积，因此可推出$x-2=0$或$3x-4=0$，符合因式分解法的要求，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题重点考查因式分解法解方程的适用条件，解题时要注意只有当方程等号右边为0时，才能直接令左侧的每个因式为0求解，不要误将右侧非0的数拆分后对应因式取值，避免概念性错误。
【难度系数】
0.8

2.已知$(a^2 + b^2)(a^2 + b^2 - 3) - 10 = 0$，则$a^2 + b^2$的值为（）。

A.－5或2
B.5
C.5或－2
D.2

B

【分析】
观察方程结构，发现$a^2+b^2$作为整体重复出现，可采用换元法将原方程转化为一元二次方程求解，同时注意$a^2$、$b^2$都是非负数，因此$a^2+b^2$的取值一定是非负的，求出方程的解后需要结合这个隐含条件进行取舍。
【解析】
设$ x = a^2 + b^2 $，根据平方的非负性可知$ x ≥ 0 $，
将其代入原方程可得：$ x(x - 3) - 10 = 0 $，
展开整理得：$ x^2 - 3x - 10 = 0 $，
因式分解得：$ (x - 5)(x + 2) = 0 $，
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -2 $，
因为$ x ≥ 0 $，所以$ x = -2 $不符合题意，舍去，
因此$ a^2 + b^2 = 5 $。
【答案】
B
【知识点】
换元法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程解法的典型应用，重点考查整体换元的数学思想，解题时需注意挖掘题目中的隐含条件，避免忽略$a^2+b^2$的非负性误选含负数解的选项。
【难度系数】
0.7

3.已知一元二次方程$x^2 -10x +24=0$的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为()。

A.6
B.10
C.12
D.24

C

【分析】要解决这道题，我们可以按两个步骤思考：第一步，先求解给定的一元二次方程，得到的两个根就是菱形两条对角线的长度；第二步，回忆菱形的面积计算公式，菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，将求得的对角线长度代入公式计算即可。也可以利用一元二次方程根与系数的关系直接求两根的乘积，再计算面积，更加简便。
【解析】首先解方程$x^2 -10x +24=0$，
对等式左边因式分解可得：$(x-4)(x-6)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=6$，即菱形的两条对角线长分别为4和6。
根据菱形面积公式：$S=\frac{1}{2} × 对角线长\_\_\_\_\_\_1 × 对角线长\_\_\_\_\_\_2$，
代入数值计算得：$S=\frac{1}{2} × 4 × 6=12$。
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解法；菱形面积公式；根与系数的关系
【点评】本题属于基础综合题，同时考查了一元二次方程的求解和菱形面积的计算，解题的核心是熟练掌握方程的解法和菱形面积的特殊计算公式，计算量小，容易得分。
【难度系数】0.8