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4. 关于$x$的方程$x^2 + px + q = 0$的两根为$x_1=3, x_2=-4$，则二次三项式$x^2 + px + q$可分解为
$(x-3)(x+4)$
。答案
$(x-3)(x+4)$
解析
【分析】
解题时可利用因式分解法解一元二次方程的逆向思路：若一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根为$x_1$、$x_2$，说明二次三项式$x^2+px+q$可以分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。本题已直接给出方程的两个根，只需将两根代入该分解形式，注意根的符号不要写错即可得到结果。
【解析】
根据一元二次方程的根与对应二次三项式因式分解的关系：
若方程$x^2+px+q=0$的两根为$x_1$、$x_2$，则$x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$。
将$x_1=3$，$x_2=-4$代入上式得：
$x^2+px+q=(x-3)[x-(-4)]=(x-3)(x+4)$
【答案】
$(x-3)(x+4)$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 二次三项式的因式分解
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查因式分解法解方程的逆用，解题的易错点是代入根时正负号处理错误，只要牢记分解形式中是减根，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时可利用因式分解法解一元二次方程的逆向思路：若一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根为$x_1$、$x_2$，说明二次三项式$x^2+px+q$可以分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。本题已直接给出方程的两个根，只需将两根代入该分解形式，注意根的符号不要写错即可得到结果。
【解析】
根据一元二次方程的根与对应二次三项式因式分解的关系：
若方程$x^2+px+q=0$的两根为$x_1$、$x_2$，则$x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2)$。
将$x_1=3$，$x_2=-4$代入上式得：
$x^2+px+q=(x-3)[x-(-4)]=(x-3)(x+4)$
【答案】
$(x-3)(x+4)$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 二次三项式的因式分解
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查因式分解法解方程的逆用，解题的易错点是代入根时正负号处理错误，只要牢记分解形式中是减根，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5.一个三角形的两边长是3和8,第三边的长是$x(x-7)-12(x-7)=0$的根,则这个三角形的周长是
18
。答案
18
解析
【分析】
解决这道题可按三步思考：第一步，先解给定的一元二次方程，得到第三边长度的所有可能值；第二步，结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），排除无法构成三角形的根；第三步，用符合条件的三边长度求和，得到三角形周长。
【解析】
首先解方程$x(x - 7) - 12(x - 7) = 0$：
用因式分解法提取公因式$(x-7)$，可得：
$(x - 7)(x - 12) = 0$
即$x - 7 = 0$或$x - 12 = 0$，
解得$x_1=7$，$x_2=12$。
再验证三边是否满足构成三角形的条件：
已知三角形两边长为3和8，
若第三边为12，$3+8=11＜12$，不满足两边之和大于第三边，故舍去；
若第三边为7，$3+7=10＞8$，$8-3=5＜7$，满足三边关系，可构成三角形。
因此三角形周长为$3+8+7=18$。
【答案】
18
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程和三角形性质的综合应用题，易错点是解出方程的根后，容易忽略验证根是否符合三角形三边条件，直接代入计算导致出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题可按三步思考：第一步，先解给定的一元二次方程，得到第三边长度的所有可能值；第二步，结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），排除无法构成三角形的根；第三步，用符合条件的三边长度求和，得到三角形周长。
【解析】
首先解方程$x(x - 7) - 12(x - 7) = 0$：
用因式分解法提取公因式$(x-7)$，可得：
$(x - 7)(x - 12) = 0$
即$x - 7 = 0$或$x - 12 = 0$，
解得$x_1=7$，$x_2=12$。
再验证三边是否满足构成三角形的条件：
已知三角形两边长为3和8，
若第三边为12，$3+8=11＜12$，不满足两边之和大于第三边，故舍去；
若第三边为7，$3+7=10＞8$，$8-3=5＜7$，满足三边关系，可构成三角形。
因此三角形周长为$3+8+7=18$。
【答案】
18
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程和三角形性质的综合应用题，易错点是解出方程的根后，容易忽略验证根是否符合三角形三边条件，直接代入计算导致出错。
【难度系数】
0.7
6. 当 $m =$
3
时，方程 $(m - 2)x^{m^2 - 5m + 8} + (m - 3)x + 5 = 0$ 是一元二次方程。答案
3
解析
【分析】
要判断给定方程是一元二次方程，需结合一元二次方程的定义思考：首先要满足未知数的最高次数为2，其次二次项的系数不能为0，两个条件需同时成立。我们先根据最高次数为2列关于m的方程，再结合二次项系数不为0的要求排除不符合的解，即可得到正确的m值。
【解析】
根据一元二次方程的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 未知数$x$的最高次数为2，即：
$\quad m^2 - 5m + 8 = 2$
移项整理得：$m^2 - 5m + 6 = 0$
因式分解得：$(m - 2)(m - 3) = 0$
解得：$m = 2$ 或 $m = 3$
2. 二次项系数不为0，即：
$\quad m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$
综上，排除不符合条件的$m=2$，可得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致出现多解错误，学习中要注意牢记概念的限制条件。
【难度系数】
0.7
要判断给定方程是一元二次方程，需结合一元二次方程的定义思考：首先要满足未知数的最高次数为2，其次二次项的系数不能为0，两个条件需同时成立。我们先根据最高次数为2列关于m的方程，再结合二次项系数不为0的要求排除不符合的解，即可得到正确的m值。
【解析】
根据一元二次方程的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 未知数$x$的最高次数为2，即：
$\quad m^2 - 5m + 8 = 2$
移项整理得：$m^2 - 5m + 6 = 0$
因式分解得：$(m - 2)(m - 3) = 0$
解得：$m = 2$ 或 $m = 3$
2. 二次项系数不为0，即：
$\quad m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$
综上，排除不符合条件的$m=2$，可得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的定义；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致出现多解错误，学习中要注意牢记概念的限制条件。
【难度系数】
0.7
7.用因式分解法解下列方程：
(1)$\frac{1}{9}(x - 2)^2 = \frac{1}{4}(x + 1)^2$；
(2)$x^2 - 16 = x - 4$。
(1)$\frac{1}{9}(x - 2)^2 = \frac{1}{4}(x + 1)^2$；
(2)$x^2 - 16 = x - 4$。
答案
(1)$x_1=\frac{1}{5},x_2=-7$；
(2)$x_1=4,x_2=-3$。
(2)$x_1=4,x_2=-3$。
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“几个一次因式乘积等于0”的形式，再令每个因式为0求解。
(1) 观察方程两边都是平方的形式，先移项使方程右边为0，左边可整理为平方差的结构，用平方差公式因式分解后求解即可。
(2) 先将右边的(x-4)移到左边，左边x²-16可先利用平方差公式分解为(x-4)(x+4)，再提取公因式(x-4)即可将方程左边因式分解，注意不要直接两边除以(x-4)，否则会丢失x=4的根。
【解析】
(1) 移项，得：
$\frac{1}{9}(x - 2)^2 - \frac{1}{4}(x + 1)^2 = 0$
将左边变形为平方差形式：
$[\frac{1}{3}(x-2)]^2 - [\frac{1}{2}(x+1)]^2 = 0$
由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解，得：
$[\frac{1}{3}(x-2) + \frac{1}{2}(x+1)][\frac{1}{3}(x-2) - \frac{1}{2}(x+1)] = 0$
分别化简两个因式：
第一个因式：$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}x - \frac{1}{6}$
第二个因式：$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}x - \frac{7}{6}$
因此可得：
$\frac{5}{6}x - \frac{1}{6} = 0$ 或 $-\frac{1}{6}x - \frac{7}{6} = 0$
解得：$x_1=\frac{1}{5}$，$x_2=-7$。
(2) 移项，得：
$x^2 - 16 - (x - 4) = 0$
将$x^2-16$用平方差公式分解，得：
$(x-4)(x+4) - (x-4) = 0$
提取公因式$(x-4)$，得：
$(x-4)(x+4 - 1) = 0$
化简得：
$(x-4)(x+3) = 0$
因此可得：
$x-4=0$ 或 $x+3=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-3$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{5},x_2=-7$；
(2)$x_1=4,x_2=-3$。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式，提取公因式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时需注意不要随意约去含未知数的公因式，避免漏根，熟练掌握常见的因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“几个一次因式乘积等于0”的形式，再令每个因式为0求解。
(1) 观察方程两边都是平方的形式，先移项使方程右边为0，左边可整理为平方差的结构，用平方差公式因式分解后求解即可。
(2) 先将右边的(x-4)移到左边，左边x²-16可先利用平方差公式分解为(x-4)(x+4)，再提取公因式(x-4)即可将方程左边因式分解，注意不要直接两边除以(x-4)，否则会丢失x=4的根。
【解析】
(1) 移项，得：
$\frac{1}{9}(x - 2)^2 - \frac{1}{4}(x + 1)^2 = 0$
将左边变形为平方差形式：
$[\frac{1}{3}(x-2)]^2 - [\frac{1}{2}(x+1)]^2 = 0$
由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解，得：
$[\frac{1}{3}(x-2) + \frac{1}{2}(x+1)][\frac{1}{3}(x-2) - \frac{1}{2}(x+1)] = 0$
分别化简两个因式：
第一个因式：$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}x - \frac{1}{6}$
第二个因式：$\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}x - \frac{7}{6}$
因此可得：
$\frac{5}{6}x - \frac{1}{6} = 0$ 或 $-\frac{1}{6}x - \frac{7}{6} = 0$
解得：$x_1=\frac{1}{5}$，$x_2=-7$。
(2) 移项，得：
$x^2 - 16 - (x - 4) = 0$
将$x^2-16$用平方差公式分解，得：
$(x-4)(x+4) - (x-4) = 0$
提取公因式$(x-4)$，得：
$(x-4)(x+4 - 1) = 0$
化简得：
$(x-4)(x+3) = 0$
因此可得：
$x-4=0$ 或 $x+3=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-3$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{1}{5},x_2=-7$；
(2)$x_1=4,x_2=-3$。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，平方差公式，提取公因式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程的应用，解题时需注意不要随意约去含未知数的公因式，避免漏根，熟练掌握常见的因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.利用因式分解法解一元二次方程的思想
回答下列问题：
(1)写出一个一元二次方程,使这个方程的一个根为1,另一个根是2:
(2)写出一个根为-2,另一个根x满足0＜x＜2的一元二次方程:
(3)写出一个一元二次方程,使这个方程的二次项系数为2,一个根为-3,另一根x满足1＜x＜3:
回答下列问题：
(1)写出一个一元二次方程,使这个方程的一个根为1,另一个根是2:
$(x-1)(x-2)=0$
;(2)写出一个根为-2,另一个根x满足0＜x＜2的一元二次方程:
$x^2+x-2=0$(答案不唯一)
;(3)写出一个一元二次方程,使这个方程的二次项系数为2,一个根为-3,另一根x满足1＜x＜3:
$2x^2+x-15=0$(答案不唯一)
。答案
(1)$(x-1)(x-2)=0$
(2)$x^2+x-2=0$(答案不唯一)
(3)$2x^2+x-15=0$(答案不唯一)
(2)$x^2+x-2=0$(答案不唯一)
(3)$2x^2+x-15=0$(答案不唯一)
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的逆向运用，解题核心原理是：若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则该方程可以写成$a(x-x_1)(x-x_2)=0$（$a≠0$，$a$为二次项系数）。
解题思路如下：
1. 先根据题目要求确定两个根的取值，若有范围限制则在范围内任选一个符合要求的根即可；
2. 再根据二次项系数的要求确定$a$的取值，无特殊要求时可取$a=1$简化计算；
3. 代入公式后整理成标准形式或者保留因式形式都可，符合要求即可。
【解析】
(1) 已知方程两根分别为$x_1=1$，$x_2=2$，无二次项系数要求，取$a=1$，代入公式得：$(x-1)(x-2)=0$，符合要求。
(2) 已知一个根为$x_1=-2$，另一个根在$0＜x＜2$范围内，可选$x_2=1$，取$a=1$，代入公式得$(x+2)(x-1)=0$，展开整理得：$x^2+x-2=0$，符合要求（答案不唯一，选其他符合范围的根也可）。
(3) 已知二次项系数$a=2$，一个根为$x_1=-3$，另一个根在$1＜x＜3$范围内，可选$x_2=\frac{5}{2}$，代入公式得$2(x+3)(x-\frac{5}{2})=0$，化简整理得：$2x^2+x-15=0$，符合要求（答案不唯一，选其他符合范围的根也可）。
【答案】
(1)$(x-1)(x-2)=0$
(2)$x^2+x-2=0$（答案不唯一）
(3)$2x^2+x-15=0$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程根的概念
2. 因式分解法逆用
3. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心是对因式分解法解方程的逆向推导能力的考查，只要掌握一元二次方程的根与因式分解形式的对应关系，就能快速构造出符合要求的方程，开放性较强，只要满足题目给定的限制条件均为正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解法解一元二次方程的逆向运用，解题核心原理是：若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，则该方程可以写成$a(x-x_1)(x-x_2)=0$（$a≠0$，$a$为二次项系数）。
解题思路如下：
1. 先根据题目要求确定两个根的取值，若有范围限制则在范围内任选一个符合要求的根即可；
2. 再根据二次项系数的要求确定$a$的取值，无特殊要求时可取$a=1$简化计算；
3. 代入公式后整理成标准形式或者保留因式形式都可，符合要求即可。
【解析】
(1) 已知方程两根分别为$x_1=1$，$x_2=2$，无二次项系数要求，取$a=1$，代入公式得：$(x-1)(x-2)=0$，符合要求。
(2) 已知一个根为$x_1=-2$，另一个根在$0＜x＜2$范围内，可选$x_2=1$，取$a=1$，代入公式得$(x+2)(x-1)=0$，展开整理得：$x^2+x-2=0$，符合要求（答案不唯一，选其他符合范围的根也可）。
(3) 已知二次项系数$a=2$，一个根为$x_1=-3$，另一个根在$1＜x＜3$范围内，可选$x_2=\frac{5}{2}$，代入公式得$2(x+3)(x-\frac{5}{2})=0$，化简整理得：$2x^2+x-15=0$，符合要求（答案不唯一，选其他符合范围的根也可）。
【答案】
(1)$(x-1)(x-2)=0$
(2)$x^2+x-2=0$（答案不唯一）
(3)$2x^2+x-15=0$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程根的概念
2. 因式分解法逆用
3. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础应用型题目，核心是对因式分解法解方程的逆向推导能力的考查，只要掌握一元二次方程的根与因式分解形式的对应关系，就能快速构造出符合要求的方程，开放性较强，只要满足题目给定的限制条件均为正确答案。
【难度系数】
0.8
9.已知△ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程$x^2 -9x +20=0$的一个根，试判断该三角形的形状并说明理由。
答案
$BC=5$或$4$，$△ ABC$为等腰三角形或直角三角形。
解析
【分析】
解决本题需按三步思考：第一步，先求解给定的一元二次方程，得到BC边长的两个可能取值；第二步，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），验证两个根是否都能构成三角形，排除不符合条件的根；第三步，对符合条件的BC边长，分别结合已知的AB、AC长度，通过边长关系判断三角形的形状：若有两边相等则为等腰三角形，若满足两边的平方和等于第三边的平方则为直角三角形。
【解析】
解：首先解一元二次方程$x^2 -9x +20=0$，
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$，
解得：$x_1=4$，$x_2=5$，即BC的长可能为4或5。
结合三角形三边关系验证，已知AB=3，AC=5：
①当BC=4时：
$3+4＞5$，$5-3＜4$，满足三边关系，可构成三角形；
此时$AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
②当BC=5时：
$3+5＞5$，$5-3＜5$，满足三边关系，可构成三角形；
此时BC=AC=5，三角形有两边相等，$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$BC=5$或$4$，$△ ABC$为等腰三角形或直角三角形。
【知识点】
一元二次方程求解，三角形三边关系，勾股定理逆定理
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时要注意先对一元二次方程的根结合三角形三边关系进行有效性筛选，再分情况讨论判断三角形形状，需要掌握分类讨论的解题思路。
【难度系数】
0.7
解决本题需按三步思考：第一步，先求解给定的一元二次方程，得到BC边长的两个可能取值；第二步，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），验证两个根是否都能构成三角形，排除不符合条件的根；第三步，对符合条件的BC边长，分别结合已知的AB、AC长度，通过边长关系判断三角形的形状：若有两边相等则为等腰三角形，若满足两边的平方和等于第三边的平方则为直角三角形。
【解析】
解：首先解一元二次方程$x^2 -9x +20=0$，
因式分解得：$(x-4)(x-5)=0$，
解得：$x_1=4$，$x_2=5$，即BC的长可能为4或5。
结合三角形三边关系验证，已知AB=3，AC=5：
①当BC=4时：
$3+4＞5$，$5-3＜4$，满足三边关系，可构成三角形；
此时$AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形。
②当BC=5时：
$3+5＞5$，$5-3＜5$，满足三边关系，可构成三角形；
此时BC=AC=5，三角形有两边相等，$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$BC=5$或$4$，$△ ABC$为等腰三角形或直角三角形。
【知识点】
一元二次方程求解，三角形三边关系，勾股定理逆定理
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时要注意先对一元二次方程的根结合三角形三边关系进行有效性筛选，再分情况讨论判断三角形形状，需要掌握分类讨论的解题思路。
【难度系数】
0.7
10.阅读下面的材料,回答问题:
解方程$x^4 -5x^2 +4=0$,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设$x^2 = y$,那么$x^4 = y^2$,于是原方程可变为$y^2 -5y +4=0$①,解得$y_1=1,y_2=4$。
当$y=1$时,$x^2=1$,所以$x=\pm1$;
当$y=4$时,$x^2=4$,所以$x=\pm2$。
所以原方程有四个根:$x_1=1,x_2=-1,x_3=2,x_4=-2$。
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用
(2)解方程:$(x^2 +x)^2 -4(x^2 +x)-12=0$;
(3)已知非零实数$a,b$满足$a^2 -ab -12b^2=0$,求$\frac{a}{b}$的值。
解方程$x^4 -5x^2 +4=0$,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设$x^2 = y$,那么$x^4 = y^2$,于是原方程可变为$y^2 -5y +4=0$①,解得$y_1=1,y_2=4$。
当$y=1$时,$x^2=1$,所以$x=\pm1$;
当$y=4$时,$x^2=4$,所以$x=\pm2$。
所以原方程有四个根:$x_1=1,x_2=-1,x_3=2,x_4=-2$。
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用
换元
法达到降次
的目的,体现了数学的转化思想;(2)解方程:$(x^2 +x)^2 -4(x^2 +x)-12=0$;
(3)已知非零实数$a,b$满足$a^2 -ab -12b^2=0$,求$\frac{a}{b}$的值。
答案
(1)换元 降次
(2)$x_1=-3,x_2=2$；
(3)$\frac{a}{b}$的值为4或$-3$。
(2)$x_1=-3,x_2=2$；
(3)$\frac{a}{b}$的值为4或$-3$。
解析
【分析】
(1) 观察题干给出的解题过程，把高次的$x^4$替换为$y^2$，将四次方程转化为二次方程，用到的是换元法，核心目的是降低方程的次数，简化求解过程。
(2) 仿照题干的换元思路，把重复出现的整体$x^2+x$设为$y$，将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程，先求解$y$的值，再回代得到关于$x$的一元二次方程，求解后要检验方程是否有实根，舍去无实根的情况。
(3) 已知$a、b$均为非零实数，可将等式两边同时除以$b^2$，把原式转化为关于$\frac{a}{b}$的一元二次方程，设$t=\frac{a}{b}$求解即可，也可直接对左边的二次齐次式因式分解得到$a$和$b$的关系，进而求出比值。
【解析】
(1) 原方程为一元四次方程，通过设$x^2=y$，将方程转化为关于$y$的一元二次方程，该方法为换元法，达到了降次的目的。
(2) 设$y=x^2+x$，则原方程可变形为：
$y^2 -4y -12=0$
因式分解得$(y-6)(y+2)=0$，解得$y_1=6$，$y_2=-2$。
①当$y=6$时，$x^2+x=6$，整理得$x^2+x-6=0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=2$；
②当$y=-2$时，$x^2+x=-2$，整理得$x^2+x+2=0$，
判别式$\Delta=1^2-4×1×2=-7＜0$，该方程无实数根，故舍去。
综上，原方程的根为$x_1=-3,x_2=2$。
(3) 因为$b$为非零实数，故$b≠0$，将等式$a^2 -ab -12b^2=0$两边同时除以$b^2$，得：
$(\frac{a}{b})^2 - \frac{a}{b} -12=0$
设$t=\frac{a}{b}$，则方程变为$t^2 -t -12=0$，
因式分解得$(t-4)(t+3)=0$，解得$t_1=4$，$t_2=-3$。
故$\frac{a}{b}$的值为4或-3。
【答案】
(1)换元，降次
(2)$x_1=-3,x_2=2$
(3)$\frac{a}{b}$的值为4或$-3$
【知识点】
换元法、一元二次方程解法、代数式变形
【点评】
本题围绕转化的数学思想展开，重点考查换元法的应用，通过换元可将陌生的高次方程、齐次代数式转化为熟悉的一元二次方程求解，解题时需注意解的合理性，如第二问要舍去无实根的情况，第三问要利用非零条件合理变形。
【难度系数】
0.7
(1) 观察题干给出的解题过程，把高次的$x^4$替换为$y^2$，将四次方程转化为二次方程，用到的是换元法，核心目的是降低方程的次数，简化求解过程。
(2) 仿照题干的换元思路，把重复出现的整体$x^2+x$设为$y$，将原四次方程转化为关于$y$的一元二次方程，先求解$y$的值，再回代得到关于$x$的一元二次方程，求解后要检验方程是否有实根，舍去无实根的情况。
(3) 已知$a、b$均为非零实数，可将等式两边同时除以$b^2$，把原式转化为关于$\frac{a}{b}$的一元二次方程，设$t=\frac{a}{b}$求解即可，也可直接对左边的二次齐次式因式分解得到$a$和$b$的关系，进而求出比值。
【解析】
(1) 原方程为一元四次方程，通过设$x^2=y$，将方程转化为关于$y$的一元二次方程，该方法为换元法，达到了降次的目的。
(2) 设$y=x^2+x$，则原方程可变形为：
$y^2 -4y -12=0$
因式分解得$(y-6)(y+2)=0$，解得$y_1=6$，$y_2=-2$。
①当$y=6$时，$x^2+x=6$，整理得$x^2+x-6=0$，
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=2$；
②当$y=-2$时，$x^2+x=-2$，整理得$x^2+x+2=0$，
判别式$\Delta=1^2-4×1×2=-7＜0$，该方程无实数根，故舍去。
综上，原方程的根为$x_1=-3,x_2=2$。
(3) 因为$b$为非零实数，故$b≠0$，将等式$a^2 -ab -12b^2=0$两边同时除以$b^2$，得：
$(\frac{a}{b})^2 - \frac{a}{b} -12=0$
设$t=\frac{a}{b}$，则方程变为$t^2 -t -12=0$，
因式分解得$(t-4)(t+3)=0$，解得$t_1=4$，$t_2=-3$。
故$\frac{a}{b}$的值为4或-3。
【答案】
(1)换元，降次
(2)$x_1=-3,x_2=2$
(3)$\frac{a}{b}$的值为4或$-3$
【知识点】
换元法、一元二次方程解法、代数式变形
【点评】
本题围绕转化的数学思想展开，重点考查换元法的应用，通过换元可将陌生的高次方程、齐次代数式转化为熟悉的一元二次方程求解，解题时需注意解的合理性，如第二问要舍去无实根的情况，第三问要利用非零条件合理变形。
【难度系数】
0.7
