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课前预习
序号 基础知识
1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
(1)当一元二次方程的二次项系数为1时，可先把
(2)通过配方，
，当方程左边是一个完全平方式，右边是一个负数时，此方程
2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
如果一元二次方程的二次项系数不是1，为了便于配方，可以利用等式的基本性质，先把方程的二次项系数化为1。
困惑疑问：
序号 基础知识
1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
(1)当一元二次方程的二次项系数为1时，可先把
常数项移到方程的右边
，然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方
，把方程的左边配成一个完全平方式
，再由平方根的意义
求解方程。这种解一元二次方程的方法叫作配方法；(2)通过配方，
，当方程左边是一个完全平方式，右边是一个负数时，此方程无解
。2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
如果一元二次方程的二次项系数不是1，为了便于配方，可以利用等式的基本性质，先把方程的二次项系数化为1。
困惑疑问：
答案
(1)常数项移到方程的右边，一次项系数一半的平方，完全平方式，平方根的意义；(2)无解
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的基础概念，解题时可结合配方法的操作步骤和原理逐一对应填空：首先回忆二次项系数为1时配方法的第一步操作，明确常数项的处理方式；再回忆配方的核心操作，明确添加的项的特征；接着回忆配方后解方程的依据；最后结合平方的非负性，判断配方后右边为负数时方程的根的情况。
【解析】
(1) 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，第一步先把常数项移到方程的右边，让方程左边仅保留二次项和一次项；结合完全平方公式的结构，要把左边凑成完全平方式，需要在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，此时方程左边就变为完全平方式；接下来可根据平方根的意义，对两边同时开平方求解方程，这就是配方法的完整流程。
(2) 实数范围内任意实数的平方都是非负数，如果配方后方程右边是负数，不存在实数能让左边的完全平方式等于负数，因此该方程无解。
【答案】
(1)常数项移到方程的右边，一次项系数一半的平方，完全平方式，平方根的意义；(2)无解
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是配方法相关的基础概念题，重点考查配方法的操作步骤和原理，熟练掌握相关基础概念是后续求解一元二次方程、学习二次函数相关内容的重要前提。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的基础概念，解题时可结合配方法的操作步骤和原理逐一对应填空：首先回忆二次项系数为1时配方法的第一步操作，明确常数项的处理方式；再回忆配方的核心操作，明确添加的项的特征；接着回忆配方后解方程的依据；最后结合平方的非负性，判断配方后右边为负数时方程的根的情况。
【解析】
(1) 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，第一步先把常数项移到方程的右边，让方程左边仅保留二次项和一次项；结合完全平方公式的结构，要把左边凑成完全平方式，需要在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，此时方程左边就变为完全平方式；接下来可根据平方根的意义，对两边同时开平方求解方程，这就是配方法的完整流程。
(2) 实数范围内任意实数的平方都是非负数，如果配方后方程右边是负数，不存在实数能让左边的完全平方式等于负数，因此该方程无解。
【答案】
(1)常数项移到方程的右边，一次项系数一半的平方，完全平方式，平方根的意义；(2)无解
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是配方法相关的基础概念题，重点考查配方法的操作步骤和原理，熟练掌握相关基础概念是后续求解一元二次方程、学习二次函数相关内容的重要前提。
【难度系数】
0.8
思考1.用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
答案
①移项；②配方；③直接开平方；④写解。
解析
【分析】
要梳理配方法解一元二次方程的步骤，首先明确配方法的核心目标是将方程转化为完全平方式等于常数的$(x+m)^2=n$的形式，进而通过开平方降次求解。思考时从转化逻辑出发：首先要把常数项和含未知数的项分离，再构造完全平方式，之后利用平方根的性质降次，最后求解得到结果，顺着这个逻辑就能整理出对应的步骤。
【解析】
配方法解一元二次方程的一般步骤按先后顺序为：
①移项：将方程中的常数项移到等号右侧，若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1，使等号左侧仅留二次项和一次项；
②配方：在等号左右两侧同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧配成完全平方式，得到$(x+m)^2=n$的形式；
③直接开平方：当右侧常数$n≥0$时，根据平方根的性质对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；
④写解：分别求解得到的两个一元一次方程，最终写出原一元二次方程的解。
【答案】
①移项；②配方；③直接开平方；④写解。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作步骤，是一元二次方程解法的核心基础内容，也是后续推导求根公式、解决二次相关问题的重要前提，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
要梳理配方法解一元二次方程的步骤，首先明确配方法的核心目标是将方程转化为完全平方式等于常数的$(x+m)^2=n$的形式，进而通过开平方降次求解。思考时从转化逻辑出发：首先要把常数项和含未知数的项分离，再构造完全平方式，之后利用平方根的性质降次，最后求解得到结果，顺着这个逻辑就能整理出对应的步骤。
【解析】
配方法解一元二次方程的一般步骤按先后顺序为：
①移项：将方程中的常数项移到等号右侧，若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1，使等号左侧仅留二次项和一次项；
②配方：在等号左右两侧同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧配成完全平方式，得到$(x+m)^2=n$的形式；
③直接开平方：当右侧常数$n≥0$时，根据平方根的性质对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；
④写解：分别求解得到的两个一元一次方程，最终写出原一元二次方程的解。
【答案】
①移项；②配方；③直接开平方；④写解。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作步骤，是一元二次方程解法的核心基础内容，也是后续推导求根公式、解决二次相关问题的重要前提，需要熟练记忆并灵活运用。
【难度系数】
0.9
1. (1)$x^2 + 10x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2;$
(2)$x^2 - \frac{2}{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2。$
(2)$x^2 - \frac{2}{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2。$
答案
(1)25，5；(2)$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，是配方法的基础操作。解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对于形如$x^2+mx$的式子，要配成完全平方式，需要添加的常数项是一次项系数$m$一半的平方，括号内的常数就是一次项系数$m$的一半，我们只需分别提取两小题的一次项系数，按规律计算即可。
【解析】
根据完全平方公式的配方法规则分步计算：
(1) 式子$x^2+10x$的一次项系数为10，它的一半为$10÷2=5$，一半的平方为$5^2=25$，因此$x^2+10x+25=(x+5)^2$；
(2) 式子$x^2-\frac{2}{3}x$的一次项系数为$-\frac{2}{3}$，它的一半为$-\frac{2}{3}÷2=-\frac{1}{3}$，一半的平方为$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，因此$x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=(x-\frac{1}{3})^2$。
【答案】
(1)25，5；(2)$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是明确完全平方式中常数项与一次项系数的关系，掌握该规律是后续用配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的应用，是配方法的基础操作。解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对于形如$x^2+mx$的式子，要配成完全平方式，需要添加的常数项是一次项系数$m$一半的平方，括号内的常数就是一次项系数$m$的一半，我们只需分别提取两小题的一次项系数，按规律计算即可。
【解析】
根据完全平方公式的配方法规则分步计算：
(1) 式子$x^2+10x$的一次项系数为10，它的一半为$10÷2=5$，一半的平方为$5^2=25$，因此$x^2+10x+25=(x+5)^2$；
(2) 式子$x^2-\frac{2}{3}x$的一次项系数为$-\frac{2}{3}$，它的一半为$-\frac{2}{3}÷2=-\frac{1}{3}$，一半的平方为$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，因此$x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=(x-\frac{1}{3})^2$。
【答案】
(1)25，5；(2)$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，重点考查对完全平方公式结构的掌握，解题关键是明确完全平方式中常数项与一次项系数的关系，掌握该规律是后续用配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.85
2.把方程$x^2 +6x -16=0$的左边配成完全平方式，得$(x+\_\_\_\_\_\_)^2=\_\_\_\_\_\_$，利用平方根的意义求得方程的两个根为$x_1=\_\_\_\_\_\_,x_2=\_\_\_\_\_\_$。
答案
3，25，2，-8
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的基本步骤：第一步先把常数项移到方程右侧，第二步给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式，第三步利用平方根的意义开平方，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：①移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 6x = 16$
②配方，给等号两边同时加上一次项系数6一半的平方，即$(\frac{6}{2})^2=9$：
$x^2 +6x +9 = 16+9$
左侧根据完全平方公式可得$(x+3)^2$，右侧计算得25，即：
$(x+3)^2=25$
③根据平方根的意义，开平方得：
$x+3=±5$
分别解两个一元一次方程：
当$x+3=5$时，$x=5-3=2$；
当$x+3=-5$时，$x=-5-3=-8$。
【答案】
3，25，2，-8
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根的意义
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的核心步骤，只要熟练掌握完全平方公式的结构特征，牢记配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的基本步骤：第一步先把常数项移到方程右侧，第二步给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧转化为完全平方式，第三步利用平方根的意义开平方，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：①移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + 6x = 16$
②配方，给等号两边同时加上一次项系数6一半的平方，即$(\frac{6}{2})^2=9$：
$x^2 +6x +9 = 16+9$
左侧根据完全平方公式可得$(x+3)^2$，右侧计算得25，即：
$(x+3)^2=25$
③根据平方根的意义，开平方得：
$x+3=±5$
分别解两个一元一次方程：
当$x+3=5$时，$x=5-3=2$；
当$x+3=-5$时，$x=-5-3=-8$。
【答案】
3，25，2，-8
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；平方根的意义
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的核心步骤，只要熟练掌握完全平方公式的结构特征，牢记配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方，即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
思考 2.(1)将一元二次方程二次项系数化为1的方法是什么？
(2)将二次三项式$2x^2 -4x +6$配成完全平方式时，二次项系数怎样化为1？
(2)将二次三项式$2x^2 -4x +6$配成完全平方式时，二次项系数怎样化为1？
答案
(1)方程两边同时除以二次项系数。
(2)把二次项系数提出变成$2(x^2 -2x +3)$。
(2)把二次项系数提出变成$2(x^2 -2x +3)$。
解析
【分析】
本题需区分等式变形和代数式变形的不同规则分别解题：
(1) 一元二次方程属于等式，结合等式的基本性质思考：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，而一元二次方程的二次项系数不为0，因此可通过除以二次项系数将二次项系数化为1。
(2) 二次三项式属于代数式，变形必须保证代数式的值不变，不能直接除以二次项系数，因此要采用提取公因式的方法，把二次项系数提出来，让括号内的二次项系数变为1，同时保证原式值不变。
【解析】
(1) 一元二次方程是等式，根据等式的基本性质，在二次项系数不为0的前提下，方程两边同时除以二次项系数，即可将二次项系数化为1，且等式仍然成立。
(2) 二次三项式的变形属于代数式恒等变形，变形前后式子的值不能改变，因此不能直接除以二次项系数2，只需将二次项系数2作为公因式提取，可得$2x^2 -4x +6=2(x^2 -2x +3)$，此时括号内的二次项系数为1，且原式值不变。
【答案】
(1)方程两边同时除以二次项系数。
(2)把二次项系数提出变成$2(x^2 -2x +3)$。
【知识点】
等式的基本性质、提取公因式、代数式恒等变形
【点评】
本题重点考查等式变形和代数式变形的规则差异，是后续学习配方法解一元二次方程、二次三项式配方变形的基础，解题时要注意两类变形的不同要求，避免混淆规则导致错误。
【难度系数】
0.8
本题需区分等式变形和代数式变形的不同规则分别解题：
(1) 一元二次方程属于等式，结合等式的基本性质思考：等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立，而一元二次方程的二次项系数不为0，因此可通过除以二次项系数将二次项系数化为1。
(2) 二次三项式属于代数式，变形必须保证代数式的值不变，不能直接除以二次项系数，因此要采用提取公因式的方法，把二次项系数提出来，让括号内的二次项系数变为1，同时保证原式值不变。
【解析】
(1) 一元二次方程是等式，根据等式的基本性质，在二次项系数不为0的前提下，方程两边同时除以二次项系数，即可将二次项系数化为1，且等式仍然成立。
(2) 二次三项式的变形属于代数式恒等变形，变形前后式子的值不能改变，因此不能直接除以二次项系数2，只需将二次项系数2作为公因式提取，可得$2x^2 -4x +6=2(x^2 -2x +3)$，此时括号内的二次项系数为1，且原式值不变。
【答案】
(1)方程两边同时除以二次项系数。
(2)把二次项系数提出变成$2(x^2 -2x +3)$。
【知识点】
等式的基本性质、提取公因式、代数式恒等变形
【点评】
本题重点考查等式变形和代数式变形的规则差异，是后续学习配方法解一元二次方程、二次三项式配方变形的基础，解题时要注意两类变形的不同要求，避免混淆规则导致错误。
【难度系数】
0.8
3.用配方法解下列方程时，配方有错误的是(
A.$x^2 - 2x - 99 = 0$ 化为 $(x - 1)^2 = 100$
B.$x^2 + 8x + 9 = 0$ 化为 $(x + 4)^2 = 25$
C.$2t^2 - 7t - 4 = 0$ 化为 $(t - \frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$
D.$3x^2 - 4x - 2 = 0$ 化为 $(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$
B
)。A.$x^2 - 2x - 99 = 0$ 化为 $(x - 1)^2 = 100$
B.$x^2 + 8x + 9 = 0$ 化为 $(x + 4)^2 = 25$
C.$2t^2 - 7t - 4 = 0$ 化为 $(t - \frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$
D.$3x^2 - 4x - 2 = 0$ 化为 $(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$
答案
B
解析
【分析】
要判断各选项配方是否正确，需按照配方法解一元二次方程的步骤逐一验证：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，对比各选项配方结果即可找到错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一用配方法验算：
A选项：$x^2 - 2x - 99 = 0$
移项得：$x^2 - 2x = 99$
两边加一次项系数$-2$一半的平方$1$，得：$x^2 -2x +1 = 99 +1$
即$(x-1)^2=100$，A配方正确，不符合题意。
B选项：$x^2 +8x +9=0$
移项得：$x^2 +8x = -9$
两边加一次项系数$8$一半的平方$16$，得：$x^2 +8x +16 = -9 +16$
即$(x+4)^2=7$，而非$(x+4)^2=25$，B配方错误，符合题意。
C选项：$2t^2 -7t -4=0$
先将二次项系数化为1：$t^2 - \frac{7}{2}t - 2 =0$
移项得：$t^2 - \frac{7}{2}t =2$
两边加一次项系数$-\frac{7}{2}$一半的平方$\frac{49}{16}$，得：$t^2 - \frac{7}{2}t +\frac{49}{16}=2 +\frac{49}{16}$
即$(t-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，C配方正确，不符合题意。
D选项：$3x^2 -4x -2=0$
先将二次项系数化为1：$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}=0$
移项得：$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$
两边加一次项系数$-\frac{4}{3}$一半的平方$\frac{4}{9}$，得：$x^2 - \frac{4}{3}x +\frac{4}{9}=\frac{2}{3} +\frac{4}{9}$
即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，D配方正确，不符合题意。
综上，配方错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题核心考查配方法的操作步骤，解题时要特别注意：二次项系数不为1时要先化为1，移项要注意符号变化，配方时等式两边必须同时加一次项系数一半的平方，避免只给左侧加常数导致等式不成立的错误，属于配方法应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断各选项配方是否正确，需按照配方法解一元二次方程的步骤逐一验证：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②移项，将常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，对比各选项配方结果即可找到错误选项。
【解析】
我们对每个选项逐一用配方法验算：
A选项：$x^2 - 2x - 99 = 0$
移项得：$x^2 - 2x = 99$
两边加一次项系数$-2$一半的平方$1$，得：$x^2 -2x +1 = 99 +1$
即$(x-1)^2=100$，A配方正确，不符合题意。
B选项：$x^2 +8x +9=0$
移项得：$x^2 +8x = -9$
两边加一次项系数$8$一半的平方$16$，得：$x^2 +8x +16 = -9 +16$
即$(x+4)^2=7$，而非$(x+4)^2=25$，B配方错误，符合题意。
C选项：$2t^2 -7t -4=0$
先将二次项系数化为1：$t^2 - \frac{7}{2}t - 2 =0$
移项得：$t^2 - \frac{7}{2}t =2$
两边加一次项系数$-\frac{7}{2}$一半的平方$\frac{49}{16}$，得：$t^2 - \frac{7}{2}t +\frac{49}{16}=2 +\frac{49}{16}$
即$(t-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，C配方正确，不符合题意。
D选项：$3x^2 -4x -2=0$
先将二次项系数化为1：$x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{2}{3}=0$
移项得：$x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$
两边加一次项系数$-\frac{4}{3}$一半的平方$\frac{4}{9}$，得：$x^2 - \frac{4}{3}x +\frac{4}{9}=\frac{2}{3} +\frac{4}{9}$
即$(x-\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，D配方正确，不符合题意。
综上，配方错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题核心考查配方法的操作步骤，解题时要特别注意：二次项系数不为1时要先化为1，移项要注意符号变化，配方时等式两边必须同时加一次项系数一半的平方，避免只给左侧加常数导致等式不成立的错误，属于配方法应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
4.不论x，y为何实数，代数式$x^2 + y^2 + 2x -4y +7$的值（
A.总不小于2
B.总不小于7
C.可为任何实数
D.可能为负数
A
）。A.总不小于2
B.总不小于7
C.可为任何实数
D.可能为负数
答案
A
解析
【分析】
要判断这个含两个未知数的二次代数式的取值范围，可优先选用配方法：先把含x的项、含y的项分别分组，将每组配成完全平方的形式，再结合偶次方的非负性（任意实数的平方都大于等于0），就能求出代数式的最小值，对应判断选项即可。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + 2x -4y +7&=(x^2+2x+1)+(y^2-4y+4)+7-1-4\\&=(x+1)^2+(y-2)^2+2\end{aligned}$
∵ 不论x、y取何实数，都满足$(x+1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$
∴ $(x+1)^2+(y-2)^2+2≥0+0+2=2$
即该代数式的值总不小于2，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性
【点评】
本题是代数式取值判断的基础题型，核心考查配方法的使用，解题关键是将原式转化为几个非负数加常数的形式，结合平方的非负性就能快速求出最值，是配方法应用的典型考题。
【难度系数】
0.7
要判断这个含两个未知数的二次代数式的取值范围，可优先选用配方法：先把含x的项、含y的项分别分组，将每组配成完全平方的形式，再结合偶次方的非负性（任意实数的平方都大于等于0），就能求出代数式的最小值，对应判断选项即可。
【解析】
对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + 2x -4y +7&=(x^2+2x+1)+(y^2-4y+4)+7-1-4\\&=(x+1)^2+(y-2)^2+2\end{aligned}$
∵ 不论x、y取何实数，都满足$(x+1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$
∴ $(x+1)^2+(y-2)^2+2≥0+0+2=2$
即该代数式的值总不小于2，故选A。
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性
【点评】
本题是代数式取值判断的基础题型，核心考查配方法的使用，解题关键是将原式转化为几个非负数加常数的形式，结合平方的非负性就能快速求出最值，是配方法应用的典型考题。
【难度系数】
0.7
