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4.下列方程一定有实数根的是(
A.$(x+5)^2=a^2+1$
B.$(x-3)^2+1=0$
C.$(x+a)^2=b$
D.$(ax+3)^2+a^2=0$
A
)。A.$(x+5)^2=a^2+1$
B.$(x-3)^2+1=0$
C.$(x+a)^2=b$
D.$(ax+3)^2+a^2=0$
答案
4.A
解析
【分析】
本题要判断方程是否一定有实数根，核心依据是平方的非负性：任意实数的平方都大于等于0。对于形如(整式)² = 常数的方程，只有当右侧常数≥0时，方程才有实数根，我们只需逐个分析各选项方程右侧的取值范围即可得出结论。
【解析】
根据平方的非负性：对任意实数$m$，都有$m^2≥0$。
选项A：方程为$(x+5)^2=a^2+1$，$\because a^2≥0$，$\therefore a^2+1≥1＞0$，右侧恒为正数，因此方程一定有两个不相等的实数根，符合要求。
选项B：方程整理得$(x-3)^2=-1$，左侧$(x-3)^2≥0$，右侧为$-1＜0$，等式不可能成立，无实数根，排除。
选项C：方程为$(x+a)^2=b$，当$b＜0$时，左侧平方≥0，右侧为负数，等式不成立，无实数根，因此不是一定有实根，排除。
选项D：方程整理得$(ax+3)^2=-a^2$，左侧$(ax+3)^2≥0$，右侧$-a^2≤0$，仅当两边同时为0时可能成立：即$a=0$且$ax+3=0$，代入$a=0$得$3=0$，显然不成立，因此该方程无实数根，排除。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方的非负性 2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程实根判断的基础题型，解题关键是熟练掌握平方数恒非负的性质，结合直接开平方法的适用条件分析即可，注意“一定有实根”要求无论参数取何值都满足实根存在的条件。
【难度系数】
0.8
本题要判断方程是否一定有实数根，核心依据是平方的非负性：任意实数的平方都大于等于0。对于形如(整式)² = 常数的方程，只有当右侧常数≥0时，方程才有实数根，我们只需逐个分析各选项方程右侧的取值范围即可得出结论。
【解析】
根据平方的非负性：对任意实数$m$，都有$m^2≥0$。
选项A：方程为$(x+5)^2=a^2+1$，$\because a^2≥0$，$\therefore a^2+1≥1＞0$，右侧恒为正数，因此方程一定有两个不相等的实数根，符合要求。
选项B：方程整理得$(x-3)^2=-1$，左侧$(x-3)^2≥0$，右侧为$-1＜0$，等式不可能成立，无实数根，排除。
选项C：方程为$(x+a)^2=b$，当$b＜0$时，左侧平方≥0，右侧为负数，等式不成立，无实数根，因此不是一定有实根，排除。
选项D：方程整理得$(ax+3)^2=-a^2$，左侧$(ax+3)^2≥0$，右侧$-a^2≤0$，仅当两边同时为0时可能成立：即$a=0$且$ax+3=0$，代入$a=0$得$3=0$，显然不成立，因此该方程无实数根，排除。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方的非负性 2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程实根判断的基础题型，解题关键是熟练掌握平方数恒非负的性质，结合直接开平方法的适用条件分析即可，注意“一定有实根”要求无论参数取何值都满足实根存在的条件。
【难度系数】
0.8
5.一元二次方程$\frac{1}{2}x^2=3$的根是
$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$
。答案
5.$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$
解析
【分析】
这是一道不含一次项的一元二次方程求解问题，优先选用直接开平方法解题。解题思路为：首先将方程的二次项系数化为1，得到$x^2$等于常数的形式，再根据平方根的定义对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要遗漏负根，即可求出方程的全部根。
【解析】
解：原方程为$\frac{1}{2}x^2=3$
1. 化二次项系数为1：方程两边同时乘2，可得
$x^2=6$
2. 对等式两边同时开平方，可得
$x=\pm\sqrt{6}$
因此方程的根为$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$
【答案】
$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程的基础解法，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏写负根。
【难度系数】
0.9
这是一道不含一次项的一元二次方程求解问题，优先选用直接开平方法解题。解题思路为：首先将方程的二次项系数化为1，得到$x^2$等于常数的形式，再根据平方根的定义对等式两边同时开平方，注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要遗漏负根，即可求出方程的全部根。
【解析】
解：原方程为$\frac{1}{2}x^2=3$
1. 化二次项系数为1：方程两边同时乘2，可得
$x^2=6$
2. 对等式两边同时开平方，可得
$x=\pm\sqrt{6}$
因此方程的根为$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$
【答案】
$x_1=\sqrt{6},x_2=-\sqrt{6}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程的基础解法，解题时需注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏写负根。
【难度系数】
0.9
6.用直接开平方法解下列方程：
(1)$2(x-1)^2=9$；
(2)$(2x+5)^2=(1-x)^2$。
(1)$2(x-1)^2=9$；
(2)$(2x+5)^2=(1-x)^2$。
答案
6. (1)$x_1=1+\frac{3\sqrt{2}}{2},x_2=1-\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
(2)$x_1=-\frac{4}{3},x_2=-6$。
(2)$x_1=-\frac{4}{3},x_2=-6$。
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程转化为“含未知数的完全平方式等于非负常数”或“两边都是完全平方式”的形式，再利用平方根的性质开平方，转化为一元一次方程求解。（1）先将$(x-1)^2$的系数化为1，得到完全平方式等于常数的形式，再开平方求解；（2）方程两边均为完全平方式，可直接开平方得到两个一次方程，分别求解即可，注意开平方时要取正负两个值，避免漏根。
【解析】
(1) 方程两边同时除以2，得：
$\displaystyle (x-1)^2=\frac{9}{2}$
两边开平方，得：
$\displaystyle x-1=\pm\sqrt{\frac{9}{2}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$
移项得：
$\displaystyle x=1\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(2) 方程两边直接开平方，得：
$2x+5=\pm(1-x)$
分两种情况求解：
① 当$2x+5=1-x$时，移项合并同类项得：
$3x=-4$
解得$\displaystyle x=-\frac{4}{3}$
② 当$2x+5=-(1-x)$时，去括号得：
$2x+5=-1+x$
移项合并同类项得：
$x=-6$
【答案】
(1)$x_1=1+\frac{3\sqrt{2}}{2},x_2=1-\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
(2)$x_1=-\frac{4}{3},x_2=-6$。
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础应用，解题时需先将方程整理为符合直接开平方的形式，开平方时不要遗漏负根，熟练掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.75
用直接开平方法解一元二次方程的核心是将方程转化为“含未知数的完全平方式等于非负常数”或“两边都是完全平方式”的形式，再利用平方根的性质开平方，转化为一元一次方程求解。（1）先将$(x-1)^2$的系数化为1，得到完全平方式等于常数的形式，再开平方求解；（2）方程两边均为完全平方式，可直接开平方得到两个一次方程，分别求解即可，注意开平方时要取正负两个值，避免漏根。
【解析】
(1) 方程两边同时除以2，得：
$\displaystyle (x-1)^2=\frac{9}{2}$
两边开平方，得：
$\displaystyle x-1=\pm\sqrt{\frac{9}{2}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$
移项得：
$\displaystyle x=1\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(2) 方程两边直接开平方，得：
$2x+5=\pm(1-x)$
分两种情况求解：
① 当$2x+5=1-x$时，移项合并同类项得：
$3x=-4$
解得$\displaystyle x=-\frac{4}{3}$
② 当$2x+5=-(1-x)$时，去括号得：
$2x+5=-1+x$
移项合并同类项得：
$x=-6$
【答案】
(1)$x_1=1+\frac{3\sqrt{2}}{2},x_2=1-\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
(2)$x_1=-\frac{4}{3},x_2=-6$。
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础应用，解题时需先将方程整理为符合直接开平方的形式，开平方时不要遗漏负根，熟练掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.75
7.用直接开平方法解一元二次方程$4(2x - 1)^2 - 25(x + 1)^2 = 0$。
解:移项,得$4(2x - 1)^2 = 25(x + 1)^2$。①
直接开平方,得$2(2x - 1) = 5(x + 1)$。②
所以$x = -7$。③
上述解题过程有无错误?若有,错在第
解:移项,得$4(2x - 1)^2 = 25(x + 1)^2$。①
直接开平方,得$2(2x - 1) = 5(x + 1)$。②
所以$x = -7$。③
上述解题过程有无错误?若有,错在第
②
步,原因是直接开平方求的是平方根,而不是算术平方根
,请写出正确的解答过程。答案
7. ② 直接开平方求的是平方根,而不是算术平方根
$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-7$。
$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-7$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确直接开平方法的运算规则：若两个式子的平方相等，则这两个式子相等或互为相反数。首先判断给出的解题步骤：移项步骤是正确的，将含平方的项分别移到等号两侧；接下来直接开平方时，原解法只考虑了算术平方根的情况，漏掉了互为相反数的情况，因此出现漏解。正确的解题思路是：移项后开平方得到两种等量关系，分别解两个一元一次方程，即可得到方程的两个解。
【解析】
上述解题过程有错误，错在第②步，原因是直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根，正数的平方根有两个，互为相反数，因此开平方后应得到两种情况。
正确解答过程如下：
移项，得$4(2x - 1)^2 = 25(x + 1)^2$，
直接开平方，得$2(2x - 1) = \pm 5(x + 1)$，
分两种情况求解：
① 当$2(2x - 1) = 5(x + 1)$时，
展开得：$4x - 2 = 5x + 5$，
移项合并同类项得：$-x = 7$，
解得：$x = -7$；
② 当$2(2x - 1) = -5(x + 1)$时，
展开得：$4x - 2 = -5x - 5$，
移项合并同类项得：$9x = -3$，
解得：$x = -\frac{1}{3}$。
【答案】
②；直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根；$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-7$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型易错题，解题的关键是牢记正数开平方有正负两个结果，避免因漏考虑负根导致漏解，是一元二次方程解法部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确直接开平方法的运算规则：若两个式子的平方相等，则这两个式子相等或互为相反数。首先判断给出的解题步骤：移项步骤是正确的，将含平方的项分别移到等号两侧；接下来直接开平方时，原解法只考虑了算术平方根的情况，漏掉了互为相反数的情况，因此出现漏解。正确的解题思路是：移项后开平方得到两种等量关系，分别解两个一元一次方程，即可得到方程的两个解。
【解析】
上述解题过程有错误，错在第②步，原因是直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根，正数的平方根有两个，互为相反数，因此开平方后应得到两种情况。
正确解答过程如下：
移项，得$4(2x - 1)^2 = 25(x + 1)^2$，
直接开平方，得$2(2x - 1) = \pm 5(x + 1)$，
分两种情况求解：
① 当$2(2x - 1) = 5(x + 1)$时，
展开得：$4x - 2 = 5x + 5$，
移项合并同类项得：$-x = 7$，
解得：$x = -7$；
② 当$2(2x - 1) = -5(x + 1)$时，
展开得：$4x - 2 = -5x - 5$，
移项合并同类项得：$9x = -3$，
解得：$x = -\frac{1}{3}$。
【答案】
②；直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根；$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-7$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型易错题，解题的关键是牢记正数开平方有正负两个结果，避免因漏考虑负根导致漏解，是一元二次方程解法部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.6
8.若$(3x + 3y + 1)(3x + 3y - 1) = 26$，则$(x + y)^2$的值
3
。答案
8.3
解析
【分析】
观察等式左边的乘积式，两个括号中相同的项为$3x+3y$，相反的项为$+1$和$-1$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此可先利用平方差公式化简等式左边，再将$3x+3y$变形为$3(x+y)$，通过等式变形即可求出$(x+y)^2$的值。
【解析】
首先利用平方差公式化简等式左边：
$\begin{aligned}(3x + 3y + 1)(3x + 3y - 1)&=(3x+3y)^2 - 1^2\\\end{aligned}$
代入原等式得：
$(3x+3y)^2 - 1 = 26$
移项整理得：
$(3x+3y)^2 = 27$
将$3x+3y$提公因式变形为$3(x+y)$，代入上式：
$[3(x+y)]^2 = 27$
计算得：
$9(x+y)^2 = 27$
两边同时除以9，得：
$(x+y)^2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
平方差公式、提公因式法、等式的性质
【点评】
本题解题的核心是整体思想的运用，通过观察式子结构识别平方差公式的适用形式，将$3x+3y$看作整体进行运算，可大幅简化计算过程，属于整式运算与等式变形的基础综合题。
【难度系数】
0.8
观察等式左边的乘积式，两个括号中相同的项为$3x+3y$，相反的项为$+1$和$-1$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此可先利用平方差公式化简等式左边，再将$3x+3y$变形为$3(x+y)$，通过等式变形即可求出$(x+y)^2$的值。
【解析】
首先利用平方差公式化简等式左边：
$\begin{aligned}(3x + 3y + 1)(3x + 3y - 1)&=(3x+3y)^2 - 1^2\\\end{aligned}$
代入原等式得：
$(3x+3y)^2 - 1 = 26$
移项整理得：
$(3x+3y)^2 = 27$
将$3x+3y$提公因式变形为$3(x+y)$，代入上式：
$[3(x+y)]^2 = 27$
计算得：
$9(x+y)^2 = 27$
两边同时除以9，得：
$(x+y)^2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
平方差公式、提公因式法、等式的性质
【点评】
本题解题的核心是整体思想的运用，通过观察式子结构识别平方差公式的适用形式，将$3x+3y$看作整体进行运算，可大幅简化计算过程，属于整式运算与等式变形的基础综合题。
【难度系数】
0.8
9.已知等腰三角形(非等边三角形)的两边长分别是$(x-3)^2=1$的解，则这个三角形的周长是多少？
答案
9.10
解析
【分析】
要解决本题，可按三步思考：①先求解一元二次方程$(x-3)^2=1$，得到三角形两边的可能长度；②结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论第三边的长度，同时要满足题目“非等边三角形”的要求；③利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证每种情况是否能构成三角形，最终计算符合条件的三角形周长。
【解析】
步骤1：求解方程$(x-3)^2=1$
开平方得：$x-3=\pm1$
解得：$x_1=4$，$x_2=2$
即等腰三角形的两边长分别为2和4。
步骤2：结合等腰三角形性质分类讨论
情况1：若腰长为2，底边长为4
此时三边长为2、2、4
$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，$\therefore$ 该情况无法构成三角形，舍去。
情况2：若腰长为4，底边长为2
此时三边长为4、4、2
$\because 4+2＞4$，$4+4＞2$，满足三边关系，且三边长不全相等，符合非等边三角形的要求。
步骤3：计算周长
周长为$4+4+2=10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时要注意分类讨论腰长和底边长的情况，不能忽略用三角形三边关系验证构造的合理性，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可按三步思考：①先求解一元二次方程$(x-3)^2=1$，得到三角形两边的可能长度；②结合等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论第三边的长度，同时要满足题目“非等边三角形”的要求；③利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证每种情况是否能构成三角形，最终计算符合条件的三角形周长。
【解析】
步骤1：求解方程$(x-3)^2=1$
开平方得：$x-3=\pm1$
解得：$x_1=4$，$x_2=2$
即等腰三角形的两边长分别为2和4。
步骤2：结合等腰三角形性质分类讨论
情况1：若腰长为2，底边长为4
此时三边长为2、2、4
$\because 2+2=4$，不满足三角形两边之和大于第三边，$\therefore$ 该情况无法构成三角形，舍去。
情况2：若腰长为4，底边长为2
此时三边长为4、4、2
$\because 4+2＞4$，$4+4＞2$，满足三边关系，且三边长不全相等，符合非等边三角形的要求。
步骤3：计算周长
周长为$4+4+2=10$
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题时要注意分类讨论腰长和底边长的情况，不能忽略用三角形三边关系验证构造的合理性，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
10.阅读与思考
下面是小亮同学数学笔记中的部分内容,请认真阅读并回答下面的问题。
(1)直接写出笔记中“▲”处空缺的内容:;
(2)将小亮解答过程中的横线处的内容补充完整;
(3)请用“平均数法”解方程:$(x+5)(x+9)=5$。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
下面是小亮同学数学笔记中的部分内容,请认真阅读并回答下面的问题。
(1)直接写出笔记中“▲”处空缺的内容:;
(2)将小亮解答过程中的横线处的内容补充完整;
(3)请用“平均数法”解方程:$(x+5)(x+9)=5$。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
10.(1)平方差
(2)$-2+\sqrt{10}$ $-2-\sqrt{10}$。
(3)$x_1=-4,x_2=-10$。
(2)$-2+\sqrt{10}$ $-2-\sqrt{10}$。
(3)$x_1=-4,x_2=-10$。
解析
【分析】
(1) 第(1)问观察算式变形结构：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，符合平方差公式的形式，直接对应填写即可。
(2) 第(2)问对$(x+2)^2=10$直接开平方，再移项就能求出两个根。
(3) 第(3)问使用“平均数法”的核心是先找到两个一次因式的中间项（平均数）：先计算$(x+5)$和$(x+9)$的平均数为$x+7$，将两个一次式分别写成中间项加、减同一个数的形式，再套用平方差公式变形，最后用直接开平方法求解即可。课后反思可结合自身解题的实际问题填写，合理即可。
【解析】
(1) 式子$[(x+2)-2][(x+2)+2]=(x+2)^2-2^2$符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，因此▲处为平方差。
(2) 对$(x+2)^2=10$开平方，得$x+2=\pm\sqrt{10}$，移项得$x=-2\pm\sqrt{10}$，因此两个根分别为$x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$。
(3) 解方程$(x+5)(x+9)=5$：
① 先求两个一次式的平均数：$\frac{(x+5)+(x+9)}{2}=x+7$，因此原方程可变形为$[(x+7)-2][(x+7)+2]=5$；
② 由平方差公式得：$(x+7)^2 - 2^2=5$；
③ 整理得：$(x+7)^2=9$；
④ 开平方得：$x+7=\pm3$；
⑤ 求解得：当$x+7=3$时，$x=-4$；当$x+7=-3$时，$x=-10$，即$x_1=-4,x_2=-10$。
课后反思示例：
存在的问题：刚开始使用“平均数法”时，找两个一次式的中间项容易出错；
改进的措施：多练习同类题型，总结中间项的计算方法，熟练掌握变形技巧。
【答案】
(1)平方差
(2)$-2+\sqrt{10}$；$-2-\sqrt{10}$
(3)$x_1=-4,x_2=-10$
课后反思示例：存在的问题：对“平均数法”的变形思路不熟练，找中间项易出错；改进的措施：多加练习，总结中间项的计算规律。
【知识点】
平方差公式；直接开平方法解一元二次方程；新定义理解应用
【点评】
本题通过引入新解法“平均数法”，既考查了平方差公式的基础应用，也考查了对新方法的迁移运用能力，有助于拓展一元二次方程的解题思路，提升灵活解题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第(1)问观察算式变形结构：$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，符合平方差公式的形式，直接对应填写即可。
(2) 第(2)问对$(x+2)^2=10$直接开平方，再移项就能求出两个根。
(3) 第(3)问使用“平均数法”的核心是先找到两个一次因式的中间项（平均数）：先计算$(x+5)$和$(x+9)$的平均数为$x+7$，将两个一次式分别写成中间项加、减同一个数的形式，再套用平方差公式变形，最后用直接开平方法求解即可。课后反思可结合自身解题的实际问题填写，合理即可。
【解析】
(1) 式子$[(x+2)-2][(x+2)+2]=(x+2)^2-2^2$符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，因此▲处为平方差。
(2) 对$(x+2)^2=10$开平方，得$x+2=\pm\sqrt{10}$，移项得$x=-2\pm\sqrt{10}$，因此两个根分别为$x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$。
(3) 解方程$(x+5)(x+9)=5$：
① 先求两个一次式的平均数：$\frac{(x+5)+(x+9)}{2}=x+7$，因此原方程可变形为$[(x+7)-2][(x+7)+2]=5$；
② 由平方差公式得：$(x+7)^2 - 2^2=5$；
③ 整理得：$(x+7)^2=9$；
④ 开平方得：$x+7=\pm3$；
⑤ 求解得：当$x+7=3$时，$x=-4$；当$x+7=-3$时，$x=-10$，即$x_1=-4,x_2=-10$。
课后反思示例：
存在的问题：刚开始使用“平均数法”时，找两个一次式的中间项容易出错；
改进的措施：多练习同类题型，总结中间项的计算方法，熟练掌握变形技巧。
【答案】
(1)平方差
(2)$-2+\sqrt{10}$；$-2-\sqrt{10}$
(3)$x_1=-4,x_2=-10$
课后反思示例：存在的问题：对“平均数法”的变形思路不熟练，找中间项易出错；改进的措施：多加练习，总结中间项的计算规律。
【知识点】
平方差公式；直接开平方法解一元二次方程；新定义理解应用
【点评】
本题通过引入新解法“平均数法”，既考查了平方差公式的基础应用，也考查了对新方法的迁移运用能力，有助于拓展一元二次方程的解题思路，提升灵活解题的能力。
【难度系数】
0.7
