课前预习
基础知识
直接开平方法解一元二次方程
1. 一般地，方程$x^2 = k$，
（1）当 $k ＞ 0$ 时，方程有的实数根，$x_1 =$，$x_2 =$；
（2）当 $k = 0$ 时，方程有的实数根，$x_1 = x_2 =$；
（3）当 $k ＜ 0$ 时，方程实数根。
2. 形如$(x+m)^2 = n (n≥0)$的一元二次方程，通过可以转化为两个一元一次方程。
困惑疑问：

1. (1) 两个不相等 $\sqrt{k}$ $-\sqrt{k}$ (2) 两个相等 0 (3) 无
2. 开平方降次

【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的基础概念，解题核心是结合平方根的性质分析方程根的情况：①首先回忆实数范围内平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根，方程$x^2=k$中x就是k的平方根，据此可对应k的三种不同取值填出根的情况；②对于形如$(x+m)^2=n(n≥0)$的方程，把$x+m$看作整体，对等式两边开平方就能将二次方程转化为两个一元一次方程，这个过程的本质是开平方降次。
【解析】
1. 对于方程$x^2=k$，根据平方根的定义，x是k的平方根：
（1）当$k＞0$时，正数有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根，两根分别为$\sqrt{k}$和$-\sqrt{k}$，即$x_1=\sqrt{k}$，$x_2=-\sqrt{k}$；
（2）当$k=0$时，0的平方根只有0一个，因此方程有两个相等的实数根，两根都为0，即$x_1=x_2=0$；
（3）当$k＜0$时，负数在实数范围内没有平方根，因此方程没有实数根。
2. 对于$(x+m)^2=n(n≥0)$，将$x+m$看作整体，对等式两边开平方，可得到两个一元一次方程$x+m=\sqrt{n}$和$x+m=-\sqrt{n}$，这个转化过程是开平方降次。
【答案】
1. (1) 两个不相等 $\sqrt{k}$ $-\sqrt{k}$ (2) 两个相等 0 (3) 无
2. 开平方降次
【知识点】
平方根的性质；直接开平方法；降次转化思想
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础概念题，重点考查对平方根性质的理解和直接开平方法原理的掌握，是后续学习一元二次方程其他解法的基础，需要熟练掌握相关结论。
【难度系数】
0.9

思考什么形式的一元二次方程可以用直接开平方法求解？

$x^2=m(m≥0);(x+m)^2=n(n≥0);a(x+m)^2=b(a≠0,\frac{b}{a}≥0)$。

【分析】
我们可以从直接开平方法的理论依据出发推导适用的方程形式：直接开平方法的依据是平方根的定义，即如果一个数的平方等于非负数a，那么这个数是a的平方根，可表示为±√a。因此能用直接开平方法求解的一元二次方程，必须能转化为「含未知数的式子的平方等于非负常数」的形式，我们从最简形式逐步拓展：首先考虑仅含未知数平方项的简单形式，再拓展到左边是含未知数的一次完全平方式的形式，最后拓展到完全平方式前带系数的形式，同时要注意保证开平方时被开方数非负，且方程为一元二次方程。
【解析】
直接开平方法的求解依据是平方根的性质：若$p^2=q$（$q≥0$），则$p=±\sqrt{q}$，据此推导适用的一元二次方程形式如下：
1. 最简形式：方程左边仅为未知数的平方，右边为常数，即$x^2=m$，要求$m≥0$，否则方程无实数根；
2. 一次完全平方形式：左边为含未知数的一次完全平方式，右边为常数，即$(x+m)^2=n$，要求$n≥0$；
3. 带系数的完全平方形式：完全平方式前带有非零系数，即$a(x+m)^2=b$，首先要求$a≠0$保证方程是一元二次方程，其次变形可得$(x+m)^2=\frac{b}{a}$，因此要求$\frac{b}{a}≥0$满足开平方的被开方数非负要求。
【答案】
$x^2=m(m≥0);(x+m)^2=n(n≥0);a(x+m)^2=b(a≠0,\frac{b}{a}≥0)$
【知识点】
直接开平方法；平方根的性质；完全平方式
【点评】
本题是对直接开平方法适用方程形式的基础考查，核心要抓住“含未知数的部分可化为完全平方式、等号右侧为非负常数”的特征，是一元二次方程解法的入门知识点，熟练掌握后可快速判断对应方程的解法。
【难度系数】
0.8

1.与一元一次方程不同，由于正数开平方时，有平方根，所以一元二次方程有实数根。通常用$x_1,x_2$来表示一元二次方程的
两个根。

1. 两个互为相反数的 两个

【分析】
解题时可先回忆平方根的相关性质，再联系一元二次方程根的特点推导答案：①首先思考正数开平方的规律：根据平方根的定义，正数的平方根除0外都有两个，且这两个根互为相反数；②再联系一元二次方程的求解，当用直接开平方法解形如$x^2=a(a＞0)$的一元二次方程时，开平方后就会得到两个互为相反数的结果，对应一元二次方程的两个实数根，据此就能填出对应空缺。
【解析】
根据平方根的性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数；
对于可化为$x^2=p(p＞0)$形式的一元二次方程，开平方后可得$x=\pm\sqrt{p}$，即存在两个不同的实数根，因此一元二次方程有两个实数根。
因此第一空填“两个互为相反数的”，第二空填“两个”。
【答案】
两个互为相反数的；两个
【知识点】
平方根的性质；一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础概念考查题，将平方根的性质和一元二次方程根的特点结合，是学习直接开平方法解一元二次方程的必备基础，需牢固掌握相关概念。
【难度系数】
0.9

2. 根据平方根的意义，一元二次方程$(x+6)^2=16$可转化为两个一元一次方程，这两个一元一次方程分别是
。

2. $x+6=4,x+6=-4$

【分析】
解题核心是利用平方根的意义对一元二次方程降次。首先明确：若$p^2=q$（$q≥0$），则$p$是$q$的平方根，即$p=\sqrt{q}$或$p=-\sqrt{q}$。本题可把$x+6$看作整体$p$，方程右边的16是正数，满足$q≥0$的要求，因此可将原二次方程转化为两个关于x的一元一次方程。
【解析】
根据平方根的意义，正数有两个互为相反数的平方根。
对于方程$(x+6)^2=16$，将$x+6$视为整体，可知$x+6$是16的平方根，
因为16的平方根为$\pm4$，
因此可转化得到两个一元一次方程：$x+6=4$，$x+6=-4$。
【答案】
$x+6=4$，$x+6=-4$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是树立整体思想，将含未知数的括号部分看作整体，结合平方根的性质实现二次方程到一次方程的降次，是一元二次方程解法的基础性内容。
【难度系数】
0.9

3.(1)方程$x^2=2$的根是；
(2)方程$(x-3)^2=4$的根是。

3.(1)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$;(2)$x_1=5,x_2=1$

【分析】
这两道题均采用直接开平方法求解一元二次方程。解题思路如下：对于形如$x^2=p(p≥0)$或$(ax+b)^2=p(p≥0)$的一元二次方程，可先将平方项看作整体，根据平方根的定义对等式两边同时开平方，将二次方程降次为两个一元一次方程，再分别求解一次方程即可得到原方程的根。第(1)题是基础的$x^2=p$形式，直接开平方即可；第(2)题把$x-3$看作整体，开平方后再解一次方程。
【解析】
(1) 对等式$x^2=2$两边同时开平方，根据平方根的定义可得：
$x=\pm\sqrt{2}$
因此方程的根为$x_1=\sqrt{2}，x_2=-\sqrt{2}$。
(2) 对等式$(x-3)^2=4$两边同时开平方可得：
$x-3=\pm2$
拆分为两个一元一次方程：$x-3=2$或$x-3=-2$
解$x-3=2$，得$x=5$；
解$x-3=-2$，得$x=1$。
因此方程的根为$x_1=5，x_2=1$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；(2)$x_1=5,x_2=1$
【知识点】
直接开平方法解方程、平方根的定义、一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题型，考查直接开平方法解一元二次方程的应用，核心是通过开平方实现二次方程的降次，掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.9

1. 一元二次方程 $x^2 -4=0$ 的根是（）。

A.$x_1=2, x_2=-2$
B.$x_1=x_2=2$
C.$x_1=x_2=-2$
D.$x_1=2, x_2=0$

1.A

【分析】
这道题考查一元二次方程的求解，适合用直接开平方法解题。思考步骤如下：第一步先把常数项移到等号右侧，得到$x^2$等于常数的形式；第二步根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，对右侧的常数开平方就能得到方程的两个根，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 4 = 0$进行移项，可得：
$x^2 = 4$
对等式两边同时开平方，得：
$x = \pm\sqrt{4} = \pm2$
即方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=-2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考察一元二次方程的基础解法，解题时注意正数开平方会得到两个互为相反数的根，避免漏解。
【难度系数】
0.9

2. 用直接开平方法解一元二次方程$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$，步骤如下:①$(x-1)^2=36$，②$x-1=\pm6$，③$x=\pm7$，④$x_1=7$，$x_2=-7$，其中开始出错的步骤是()。

A.①
B.②
C.③
D.④

2.C

【分析】
要判断哪一步开始出错，我们只需按照直接开平方法解一元二次方程的正确步骤，依次核对题干给出的四个步骤即可。首先利用等式的性质将平方项的系数化为1，再根据平方根的性质开平方，最后移项求出x的表达式，对比每步的正误就能找到出错的步骤。
【解析】
我们逐步骤验证：
1. 原方程为$\frac{1}{4}(x-1)^2=9$，步骤①两边同时乘4，得$(x-1)^2=36$，该步运算正确；
2. 步骤②对$(x-1)^2=36$开平方，根据平方根的性质，得$x-1=\pm6$，该步运算正确；
3. 步骤③需要移项求解x，正确应为$x=1\pm6$，但题干中步骤③写为$x=\pm7$，遗漏了移项时的常数项1，运算错误，因此从步骤③开始出错。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；等式的基本性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，易错点是开平方后移项运算时漏加常数项，解题时要严格遵循运算规则，每步计算后注意核对，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8

3.若一元二次方程$x^2=16$的两根为$x_1,x_2$（$x_1＜x_2$），则点$P(x_1,x_2)$位于平面直角坐标系中的（）。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

3.B

【分析】
解题时首先需要求解一元二次方程$x^2=16$得到两个根，再根据$x_1＜x_2$的条件确定$x_1$和$x_2$的具体值，得到点P的坐标，最后结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征判断点P所在的象限即可。
【解析】
1. 求解一元二次方程：对$x^2=16$使用直接开平方法，可得$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$，即方程的两根为4和-4。
2. 确定点P坐标：已知$x_1＜x_2$，因此$x_1=-4$，$x_2=4$，点P的坐标为$(-4,4)$。
3. 判断所在象限：根据象限坐标特征，第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，因此点$(-4,4)$位于第二象限。
综上本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，将一元二次方程的求解与坐标系象限判定两个知识点结合考查，侧重对核心基础知识的掌握情况的检验，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9