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6. 写出下列各个方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) $3x(x - 2) = 4x - 1$；
(2) $(y - 3)(2y + 5) = 2 - y$；
(3) $5x^2 - 2 = 2(x - 1)$；
(4) $5a(a - 2) = 10a$。
(1) $3x(x - 2) = 4x - 1$；
(2) $(y - 3)(2y + 5) = 2 - y$；
(3) $5x^2 - 2 = 2(x - 1)$；
(4) $5a(a - 2) = 10a$。
答案
6.(1)3,-10,1；(2)2,0,-17；
(3)5,-2,0；(4)5,-20,0。
(3)5,-2,0；(4)5,-20,0。
解析
【分析】
要确定一元二次方程的各项系数，首先需明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题时先对每个方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式后，即可对应提取各项系数，注意系数要包含前面的正负号，若某一项不存在，对应系数为0。
【解析】
(1) 对$3x(x - 2) = 4x - 1$整理：
去括号得：$3x^2-6x=4x-1$
移项、合并同类项得：$3x^2-10x+1=0$
因此二次项系数为3，一次项系数为-10，常数项为1。
(2) 对$(y - 3)(2y + 5) = 2 - y$整理：
去括号得：$2y^2+5y-6y-15=2-y$
移项、合并同类项得：$2y^2-17=0$
因此二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-17。
(3) 对$5x^2 - 2 = 2(x - 1)$整理：
去括号得：$5x^2-2=2x-2$
移项、合并同类项得：$5x^2-2x=0$
因此二次项系数为5，一次项系数为-2，常数项为0。
(4) 对$5a(a - 2) = 10a$整理：
去括号得：$5a^2-10a=10a$
移项、合并同类项得：$5a^2-20a=0$
因此二次项系数为5，一次项系数为-20，常数项为0。
【答案】
(1)3,-10,1；(2)2,0,-17；(3)5,-2,0；(4)5,-20,0
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式运算；移项合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查对一元二次方程标准形式的掌握，解题时要注意各项系数需携带正负号，不要漏写系数为0的情况。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程的各项系数，首先需明确一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题时先对每个方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式后，即可对应提取各项系数，注意系数要包含前面的正负号，若某一项不存在，对应系数为0。
【解析】
(1) 对$3x(x - 2) = 4x - 1$整理：
去括号得：$3x^2-6x=4x-1$
移项、合并同类项得：$3x^2-10x+1=0$
因此二次项系数为3，一次项系数为-10，常数项为1。
(2) 对$(y - 3)(2y + 5) = 2 - y$整理：
去括号得：$2y^2+5y-6y-15=2-y$
移项、合并同类项得：$2y^2-17=0$
因此二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-17。
(3) 对$5x^2 - 2 = 2(x - 1)$整理：
去括号得：$5x^2-2=2x-2$
移项、合并同类项得：$5x^2-2x=0$
因此二次项系数为5，一次项系数为-2，常数项为0。
(4) 对$5a(a - 2) = 10a$整理：
去括号得：$5a^2-10a=10a$
移项、合并同类项得：$5a^2-20a=0$
因此二次项系数为5，一次项系数为-20，常数项为0。
【答案】
(1)3,-10,1；(2)2,0,-17；(3)5,-2,0；(4)5,-20,0
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式运算；移项合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查对一元二次方程标准形式的掌握，解题时要注意各项系数需携带正负号，不要漏写系数为0的情况。
【难度系数】
0.8
7.若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$9a+3b+c=0,9a-3b+c=0$,则该一元二次方程的根是(
A.6,3
B.6,-3
C.3,-3
D.6,-6
C
)。A.6,3
B.6,-3
C.3,-3
D.6,-6
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：如果将某个数代入一元二次方程，能使方程左右两边相等，那么这个数就是该方程的根。接下来观察题目给出的两个等式，将等式变形为$ax^2+bx+c$的形式，找到对应$x$的取值，即可得到方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：若$x=m$代入方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$后，等式$am^2+bm+c=0$成立，则$x=m$是该方程的根。
1. 对等式$9a+3b+c=0$变形可得：$a·3^2 + b·3 + c = 0$，符合$x=3$时代入方程左边的计算结果，因此$x_1=3$是方程的根；
2. 对等式$9a-3b+c=0$变形可得：$a·(-3)^2 + b·(-3) + c = 0$，符合$x=-3$时代入方程左边的计算结果，因此$x_2=-3$是方程的根。
综上，该一元二次方程的根是3和-3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义的运用，解题的关键是掌握根的定义的逆向应用，即由$am^2+bm+c=0$反推$x=m$是方程的根，无需复杂计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：如果将某个数代入一元二次方程，能使方程左右两边相等，那么这个数就是该方程的根。接下来观察题目给出的两个等式，将等式变形为$ax^2+bx+c$的形式，找到对应$x$的取值，即可得到方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义：若$x=m$代入方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$后，等式$am^2+bm+c=0$成立，则$x=m$是该方程的根。
1. 对等式$9a+3b+c=0$变形可得：$a·3^2 + b·3 + c = 0$，符合$x=3$时代入方程左边的计算结果，因此$x_1=3$是方程的根；
2. 对等式$9a-3b+c=0$变形可得：$a·(-3)^2 + b·(-3) + c = 0$，符合$x=-3$时代入方程左边的计算结果，因此$x_2=-3$是方程的根。
综上，该一元二次方程的根是3和-3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义的运用，解题的关键是掌握根的定义的逆向应用，即由$am^2+bm+c=0$反推$x=m$是方程的根，无需复杂计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
8.已知$(m-1)x^{|m+1|}+2mx+4=0$是关于x的一元二次方程，求m的值。
答案
m的值为－3。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确一元二次方程的核心判定要求：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。解题时我们分两步推进：第一步根据最高次数为2的要求列出关于m的绝对值方程，求出m的所有可能取值；第二步根据二次项系数不为0的限制条件，排除不符合要求的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{|m+1|}+2mx+4=0$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$|m+1|=2$
解绝对值方程：
当$m+1=2$时，解得$m=1$；
当$m+1=-2$时，解得$m=-3$。
2. 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综上，舍去不符合条件的$m=1$，可得$m=-3$。
【答案】
m的值为－3。
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致错解出m=1，求解此类问题时要全面覆盖定义中的所有要求，避免漏判条件出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确一元二次方程的核心判定要求：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。解题时我们分两步推进：第一步根据最高次数为2的要求列出关于m的绝对值方程，求出m的所有可能取值；第二步根据二次项系数不为0的限制条件，排除不符合要求的m值，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{|m+1|}+2mx+4=0$是关于x的一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即$|m+1|=2$
解绝对值方程：
当$m+1=2$时，解得$m=1$；
当$m+1=-2$时，解得$m=-3$。
2. 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$。
综上，舍去不符合条件的$m=1$，可得$m=-3$。
【答案】
m的值为－3。
【知识点】
一元二次方程的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础应用题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致错解出m=1，求解此类问题时要全面覆盖定义中的所有要求，避免漏判条件出错。
【难度系数】
0.7
9.将4个数$a,b,c,d$排成2行2列，两边各加一条竖线，记成$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$。上述记法就叫作二阶行列式。
那么$\begin{vmatrix}x+1&x+2\\x-2&2x\end{vmatrix}=22$表示的方程是一元二次方程吗？如果是，请写出它的一般形式。
那么$\begin{vmatrix}x+1&x+2\\x-2&2x\end{vmatrix}=22$表示的方程是一元二次方程吗？如果是，请写出它的一般形式。
答案
整理，得$x^2 +2x -18=0$，它符合一元二次方程的定义。
解析
【分析】
解题首先要准确理解二阶行列式的新运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，第一步先对应找到所求行列式中$a=x+1$、$b=x+2$、$c=x-2$、$d=2x$，代入规则列出等式；第二步按照整式运算法则展开、合并同类项整理为方程标准形式；最后对照一元二次方程的定义（只含1个未知数、未知数最高次数为2、整式方程）判断即可。
【解析】
根据二阶行列式的定义可得：
$(x+1)· 2x - (x+2)(x-2) = 22$
展开计算：
左边第一项：$2x(x+1)=2x^2 + 2x$
左边第二项利用平方差公式得：$(x+2)(x-2)=x^2 - 4$，代入原式：
$2x^2 + 2x - (x^2 - 4) = 22$
去括号：
$2x^2 + 2x - x^2 + 4 = 22$
移项、合并同类项得：
$x^2 + 2x - 18 = 0$
该方程只含一个未知数$x$，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义。
【答案】
该方程是一元二次方程，它的一般形式为$x^2 + 2x - 18 = 0$。
【知识点】
新定义运算、整式化简、一元二次方程的定义
【点评】
本题主要考察新定义运算的运用和一元二次方程的判定，解题关键是严格按照新定义规则展开行列式，计算时注意去括号的符号变化，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要准确理解二阶行列式的新运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，第一步先对应找到所求行列式中$a=x+1$、$b=x+2$、$c=x-2$、$d=2x$，代入规则列出等式；第二步按照整式运算法则展开、合并同类项整理为方程标准形式；最后对照一元二次方程的定义（只含1个未知数、未知数最高次数为2、整式方程）判断即可。
【解析】
根据二阶行列式的定义可得：
$(x+1)· 2x - (x+2)(x-2) = 22$
展开计算：
左边第一项：$2x(x+1)=2x^2 + 2x$
左边第二项利用平方差公式得：$(x+2)(x-2)=x^2 - 4$，代入原式：
$2x^2 + 2x - (x^2 - 4) = 22$
去括号：
$2x^2 + 2x - x^2 + 4 = 22$
移项、合并同类项得：
$x^2 + 2x - 18 = 0$
该方程只含一个未知数$x$，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义。
【答案】
该方程是一元二次方程，它的一般形式为$x^2 + 2x - 18 = 0$。
【知识点】
新定义运算、整式化简、一元二次方程的定义
【点评】
本题主要考察新定义运算的运用和一元二次方程的判定，解题关键是严格按照新定义规则展开行列式，计算时注意去括号的符号变化，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.8
