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思考 2.一元二次方程的一般形式中，二次项的系数可以为0吗？一次项的系数和常数项可以为0吗？为什么？
答案
2.二次项的系数不可以为0，若等于0，就不是一元二次方程了。一次项系数和常数项可以为0。
解析
【分析】
解这道题需要从一元二次方程的核心定义出发推导：一元二次方程的本质是只含1个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程。思考时先明确一般形式中各部分的作用：二次项是保证方程最高次数为2的核心，因此二次项系数不能为0，否则就失去了二次项，方程最高次数会低于2，不再属于一元二次方程；而一次项、常数项仅影响方程的具体形式，只要二次项保留，即使没有一次项或常数项，依然满足一元二次方程的定义，因此这两项的系数可以为0。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数）：
1. 二次项系数的要求：若$a=0$，则二次项$ax^2$消失，方程变为$bx+c=0$，此时若$b≠0$，方程为一元一次方程，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程“最高次数为2”的定义，因此二次项系数不能为0。
2. 一次项系数和常数项的要求：只要保证$a≠0$，哪怕$b=0$（方程变为$ax^2+c=0$）、$c=0$（方程变为$ax^2+bx=0$），甚至$b$和$c$同时为0（方程变为$ax^2=0$），以上形式的方程仍然只含1个未知数，且最高次数为2，都属于一元二次方程，因此一次项系数和常数项可以为0。
【答案】
二次项的系数不可以为0，若等于0，就不是一元二次方程了。一次项系数和常数项可以为0。
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，重点考查对一元二次方程核心判定条件的理解，解题关键是抓住“未知数最高次数为2”的本质要求，能帮助学生理清一元二次方程各项系数的边界要求，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解这道题需要从一元二次方程的核心定义出发推导：一元二次方程的本质是只含1个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程。思考时先明确一般形式中各部分的作用：二次项是保证方程最高次数为2的核心，因此二次项系数不能为0，否则就失去了二次项，方程最高次数会低于2，不再属于一元二次方程；而一次项、常数项仅影响方程的具体形式，只要二次项保留，即使没有一次项或常数项，依然满足一元二次方程的定义，因此这两项的系数可以为0。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数）：
1. 二次项系数的要求：若$a=0$，则二次项$ax^2$消失，方程变为$bx+c=0$，此时若$b≠0$，方程为一元一次方程，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程“最高次数为2”的定义，因此二次项系数不能为0。
2. 一次项系数和常数项的要求：只要保证$a≠0$，哪怕$b=0$（方程变为$ax^2+c=0$）、$c=0$（方程变为$ax^2+bx=0$），甚至$b$和$c$同时为0（方程变为$ax^2=0$），以上形式的方程仍然只含1个未知数，且最高次数为2，都属于一元二次方程，因此一次项系数和常数项可以为0。
【答案】
二次项的系数不可以为0，若等于0，就不是一元二次方程了。一次项系数和常数项可以为0。
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，重点考查对一元二次方程核心判定条件的理解，解题关键是抓住“未知数最高次数为2”的本质要求，能帮助学生理清一元二次方程各项系数的边界要求，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
3. 若方程$(m-2)x^{m^2 -2} +3x -6=0$是关于x的一元二次方程，则m的值为（
A.0
B.$\pm2$
C.2
D.$-2$
D
）。A.0
B.$\pm2$
C.2
D.$-2$
答案
D
解析
【分析】
要确定方程是一元二次方程时m的取值，需紧扣一元二次方程的两个核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。解题时先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^{m^2 -2} +3x -6=0$是关于x的一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即：
$m^2 - 2 = 2$
解得$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
2. 二次项系数不为0，即：
$m-2 ≠ 0$
解得$m ≠ 2$
综上，舍去不符合要求的$m=2$，得$m=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 二次项系数的限制
【点评】
本题是一元二次方程定义的典型基础题，易错点是解题时容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选B选项，求解这类含参数的方程定义类问题时，一定要注意验证最高次项系数不为0的要求。
【难度系数】
0.7
要确定方程是一元二次方程时m的取值，需紧扣一元二次方程的两个核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。解题时先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^{m^2 -2} +3x -6=0$是关于x的一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即：
$m^2 - 2 = 2$
解得$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
2. 二次项系数不为0，即：
$m-2 ≠ 0$
解得$m ≠ 2$
综上，舍去不符合要求的$m=2$，得$m=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 二次项系数的限制
【点评】
本题是一元二次方程定义的典型基础题，易错点是解题时容易忽略二次项系数不能为0的限制条件，误选B选项，求解这类含参数的方程定义类问题时，一定要注意验证最高次项系数不为0的要求。
【难度系数】
0.7
思考 3.(1)－1 和 2 是一元二次方程 $x^2 - 3x = 4$ 的根吗？
(2)你能说出方程 $x^2 - 4 = 0$ 的根吗？
(2)你能说出方程 $x^2 - 4 = 0$ 的根吗？
答案
3.(1)－1是，代入方程能使方程两边相等；2不是，代入方程，左右两边不相等。
(2)$\pm2$。
(2)$\pm2$。
解析
【分析】
判断一个数是否为一元二次方程的根，核心依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此第(1)问采用代入检验法，分别将-1和2代入方程左右两边计算比较即可。第(2)问求解简单的一元二次方程，可通过移项后直接开平方，或因式分解的方法求出未知数的值，即为方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 3x = 4$：
① 将$x=-1$代入方程：
左边$=(-1)^2 - 3×(-1)=1+3=4$，右边$=4$，左边=右边，因此-1是该方程的根；
② 将$x=2$代入方程：
左边$=2^2 - 3×2=4-6=-2$，右边$=4$，左边≠右边，因此2不是该方程的根。
(2) 求解方程$x^2 - 4 = 0$：
移项得$x^2=4$，两边同时开平方得$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，因此方程的根为$\pm2$。
【答案】
(1)－1是，代入方程能使方程两边相等；2不是，代入方程，左右两边不相等。
(2)$\pm2$
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入检验法；直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考察对根的定义的理解和简单一元二次方程的求解能力，熟练掌握相关基础方法是学习一元二次方程后续内容的前提。
【难度系数】
0.9
判断一个数是否为一元二次方程的根，核心依据是方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此第(1)问采用代入检验法，分别将-1和2代入方程左右两边计算比较即可。第(2)问求解简单的一元二次方程，可通过移项后直接开平方，或因式分解的方法求出未知数的值，即为方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2 - 3x = 4$：
① 将$x=-1$代入方程：
左边$=(-1)^2 - 3×(-1)=1+3=4$，右边$=4$，左边=右边，因此-1是该方程的根；
② 将$x=2$代入方程：
左边$=2^2 - 3×2=4-6=-2$，右边$=4$，左边≠右边，因此2不是该方程的根。
(2) 求解方程$x^2 - 4 = 0$：
移项得$x^2=4$，两边同时开平方得$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，因此方程的根为$\pm2$。
【答案】
(1)－1是，代入方程能使方程两边相等；2不是，代入方程，左右两边不相等。
(2)$\pm2$
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入检验法；直接开平方法解方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考察对根的定义的理解和简单一元二次方程的求解能力，熟练掌握相关基础方法是学习一元二次方程后续内容的前提。
【难度系数】
0.9
4.若$m$是一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$的一个根，则$2m^2 - 6m$的值为(
A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
B
)。A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义思考：方程的根代入方程可使等式成立。观察所求代数式$2m^2 - 6m$，可变形为$2(m^2 - 3m)$，与原方程中含m的项结构一致。因此第一步先将x=m代入原方程，求出$m^2 - 3m$的值，再整体代入变形后的所求代数式即可算出结果，无需直接求解m的值，可简化计算。
【解析】
∵$m$是一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$的一个根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 - 3m - 1 = 0$，
移项可得：$m^2 - 3m = 1$。
对所求代数式变形：$2m^2 - 6m = 2(m^2 - 3m)$，
将$m^2 - 3m = 1$代入得：$2×1=2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值与一元二次方程根的结合题型，核心技巧是利用整体代入思想简化运算，无需计算出根的具体数值，是这类题型的常用解题思路，熟练掌握后可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义思考：方程的根代入方程可使等式成立。观察所求代数式$2m^2 - 6m$，可变形为$2(m^2 - 3m)$，与原方程中含m的项结构一致。因此第一步先将x=m代入原方程，求出$m^2 - 3m$的值，再整体代入变形后的所求代数式即可算出结果，无需直接求解m的值，可简化计算。
【解析】
∵$m$是一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$的一个根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 - 3m - 1 = 0$，
移项可得：$m^2 - 3m = 1$。
对所求代数式变形：$2m^2 - 6m = 2(m^2 - 3m)$，
将$m^2 - 3m = 1$代入得：$2×1=2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值与一元二次方程根的结合题型，核心技巧是利用整体代入思想简化运算，无需计算出根的具体数值，是这类题型的常用解题思路，熟练掌握后可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
5.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax - 6 = 0$的一个根是3，则$a=$
$-1$
。答案
$-1$
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，已知3是方程的根，因此可将x=3代入原方程，得到只含参数a的一元一次方程，解该方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵x=3是一元二次方程$x^2 + ax - 6 = 0$的根
∴将x=3代入方程，等式成立，可得：
$3^2 + 3a - 6 = 0$
计算化简得：$9+3a-6=0$，即$3+3a=0$
移项得：$3a=-3$
系数化为1得：$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，考查利用方程根的定义求参数的方法，将已知根代入方程转化为关于参数的方程求解是这类题的通用解法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，已知3是方程的根，因此可将x=3代入原方程，得到只含参数a的一元一次方程，解该方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵x=3是一元二次方程$x^2 + ax - 6 = 0$的根
∴将x=3代入方程，等式成立，可得：
$3^2 + 3a - 6 = 0$
计算化简得：$9+3a-6=0$，即$3+3a=0$
移项得：$3a=-3$
系数化为1得：$a=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，考查利用方程根的定义求参数的方法，将已知根代入方程转化为关于参数的方程求解是这类题的通用解法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. 下列关于$x$的方程:①$ax^2 + bx + c = 0$；②$x^2 + \frac{3}{x} = 6$；③$x^2 = 0$；④$x = 3x^2$；⑤$(x+1)(x-1)=x^2 +4x$，其中一元二次方程的个数是(
A.2
B.3
C.4
D.5
A
)。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的个数，首先明确一元二次方程的三个判定条件：1.是整式方程；2.只含有一个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们只需逐个验证每个方程是否同时满足这三个条件，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，且二次项系数不为0），逐个判断：
①$ax^2 + bx + c = 0$：未说明$a≠0$，当$a=0$时方程不是二次方程，不符合要求；
②$x^2 + \frac{3}{x} = 6$：含分式$\frac{3}{x}$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
③$x^2 = 0$：只含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程且二次项系数不为0，属于一元二次方程；
④$x = 3x^2$：整理得$3x^2 -x=0$，只含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程且二次项系数不为0，属于一元二次方程；
⑤$(x+1)(x-1)=x^2 +4x$：展开左边并整理得$x^2-1=x^2+4x$，消去$x^2$后得$-4x-1=0$，最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
综上，符合要求的一元二次方程是③和④，共2个。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程识别、方程化简
【点评】
本题核心考查一元二次方程定义的应用，解题时需注意两个易错点：一是不能仅看表面形式，要先将方程化简为最简形式再判断次数；二是要注意二次项系数不能为0、方程必须是整式方程这两个隐含要求。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程的个数，首先明确一元二次方程的三个判定条件：1.是整式方程；2.只含有一个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们只需逐个验证每个方程是否同时满足这三个条件，统计符合条件的数量即可得到答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义（只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，且二次项系数不为0），逐个判断：
①$ax^2 + bx + c = 0$：未说明$a≠0$，当$a=0$时方程不是二次方程，不符合要求；
②$x^2 + \frac{3}{x} = 6$：含分式$\frac{3}{x}$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
③$x^2 = 0$：只含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程且二次项系数不为0，属于一元二次方程；
④$x = 3x^2$：整理得$3x^2 -x=0$，只含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程且二次项系数不为0，属于一元二次方程；
⑤$(x+1)(x-1)=x^2 +4x$：展开左边并整理得$x^2-1=x^2+4x$，消去$x^2$后得$-4x-1=0$，最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求。
综上，符合要求的一元二次方程是③和④，共2个。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程识别、方程化简
【点评】
本题核心考查一元二次方程定义的应用，解题时需注意两个易错点：一是不能仅看表面形式，要先将方程化简为最简形式再判断次数；二是要注意二次项系数不能为0、方程必须是整式方程这两个隐含要求。
【难度系数】
0.7
2. 如果关于 $ x $ 的方程 $(m - 3)x^{m^2 - 7} - x + 3 = 0$ 是一元二次方程，那么 $ m $ 的值为（
A.$\pm 3$
B.$3$
C.$-3$
D.以上都不对
C
）。A.$\pm 3$
B.$3$
C.$-3$
D.以上都不对
答案
C
解析
【分析】
要确定m的取值，需紧扣一元二次方程的两个核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件需同时满足，缺一不可。我们先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(m - 3)x^{m^2 - 7} - x + 3 = 0$是一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：
$\begin{aligned}m^2 - 7 &= 2 \\m^2 &= 9 \\m &= \pm 3\end{aligned}$
2. 二次项系数不为0，即：
$\begin{aligned}m - 3 &≠ 0 \\m &≠ 3\end{aligned}$
结合两个条件，排除$m=3$，最终得$m=-3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程系数要求
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础常考题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选A选项，解题时需注意逐一验证定义的所有限制条件，不可缺漏。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需紧扣一元二次方程的两个核心判定条件：一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件需同时满足，缺一不可。我们先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$(m - 3)x^{m^2 - 7} - x + 3 = 0$是一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：
$\begin{aligned}m^2 - 7 &= 2 \\m^2 &= 9 \\m &= \pm 3\end{aligned}$
2. 二次项系数不为0，即：
$\begin{aligned}m - 3 &≠ 0 \\m &≠ 3\end{aligned}$
结合两个条件，排除$m=3$，最终得$m=-3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程系数要求
【点评】
本题是一元二次方程定义的基础常考题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选A选项，解题时需注意逐一验证定义的所有限制条件，不可缺漏。
【难度系数】
0.7
3.已知一元二次方程$-5x^2 +16x +3=0$，把二次项系数变为正数，且使得方程根不变的是（
A.$5x^2 +16x +3=0$
B.$5x^2 -16x -3=0$
C.$5x^2 +16x -3=0$
D.$5x^2 -16x +3=0$
B
）。A.$5x^2 +16x +3=0$
B.$5x^2 -16x -3=0$
C.$5x^2 +16x -3=0$
D.$5x^2 -16x +3=0$
答案
B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的恒等变形，解题核心是利用等式的基本性质保证方程根不变。首先明确：要使方程根不变，需对等式进行恒等变形，即等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。原方程二次项系数为-5，要将其变为正数，只需给等式两边同时乘-1即可，注意乘负数时每一项都要改变符号，再对应选项判断即可。
【解析】
已知原方程为$-5x^2 +16x +3=0$，根据等式的基本性质，给等式两边同时乘以$-1$（保证二次项系数变为正，且等式仍然成立，方程根不变）：
左边$= (-5x^2)×(-1) + 16x×(-1) + 3×(-1) = 5x^2 -16x -3$
右边$= 0×(-1) = 0$
变形后方程为$5x^2 -16x -3=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；一元二次方程的恒等变形
【点评】
本题属于基础题型，重点考察等式性质在一元二次方程变形中的应用，解题时需注意给等式两边乘负数时，每一项都要变号，避免漏变常数项或一次项符号导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的恒等变形，解题核心是利用等式的基本性质保证方程根不变。首先明确：要使方程根不变，需对等式进行恒等变形，即等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。原方程二次项系数为-5，要将其变为正数，只需给等式两边同时乘-1即可，注意乘负数时每一项都要改变符号，再对应选项判断即可。
【解析】
已知原方程为$-5x^2 +16x +3=0$，根据等式的基本性质，给等式两边同时乘以$-1$（保证二次项系数变为正，且等式仍然成立，方程根不变）：
左边$= (-5x^2)×(-1) + 16x×(-1) + 3×(-1) = 5x^2 -16x -3$
右边$= 0×(-1) = 0$
变形后方程为$5x^2 -16x -3=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；一元二次方程的恒等变形
【点评】
本题属于基础题型，重点考察等式性质在一元二次方程变形中的应用，解题时需注意给等式两边乘负数时，每一项都要变号，避免漏变常数项或一次项符号导致错误。
【难度系数】
0.8
4.已知$m$是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的根，则代数式$1 + 6m - 2m^2$的值为
$-3$
。答案
$-3$
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式，整理得到m²-3m的值；再观察待求代数式的结构，对代数式进行变形，将m²-3m作为整体代入变形后的代数式计算即可，无需直接求解m的值，能简化计算过程。
【解析】
∵ m是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的根
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 - 3m - 2 = 0$
整理得：$m^2 - 3m = 2$
对代数式$1 + 6m - 2m^2$变形：
$1 + 6m - 2m^2 = 1 - 2(m^2 - 3m)$
将$m^2 - 3m = 2$代入上式得：
原式$= 1 - 2×2 = 1 - 4 = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程的根的定义，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题解题关键是利用一元二次方程根的定义得到m的关系式，再通过整体代入的方法计算代数式的值，避免了求解一元二次方程的繁琐运算，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式，整理得到m²-3m的值；再观察待求代数式的结构，对代数式进行变形，将m²-3m作为整体代入变形后的代数式计算即可，无需直接求解m的值，能简化计算过程。
【解析】
∵ m是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的根
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 - 3m - 2 = 0$
整理得：$m^2 - 3m = 2$
对代数式$1 + 6m - 2m^2$变形：
$1 + 6m - 2m^2 = 1 - 2(m^2 - 3m)$
将$m^2 - 3m = 2$代入上式得：
原式$= 1 - 2×2 = 1 - 4 = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程的根的定义，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题解题关键是利用一元二次方程根的定义得到m的关系式，再通过整体代入的方法计算代数式的值，避免了求解一元二次方程的繁琐运算，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
5.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽。”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱。试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是
$3x(x-1)=6\ 210$
。答案
$3x(x-1)=6\ 210$
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的两个核心等量关系：一是少拿一株椽后，剩余椽的总运费等于1株椽的单价；二是买椽的总费用=椽的总数量×单株椽的单价。我们可以先根据第一个等量关系表示出单株椽的价格，再代入第二个等量关系即可列出方程。
【解析】
设这批椽的数量为$x$株。
1. 少拿一株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，已知每株椽的运费是3文，因此剩余椽的总运费为$3(x-1)$文。
2. 根据题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得1株椽的单价为$3(x-1)$文。
3. 已知这批椽的总价钱为6210文，结合“总费用=数量×单价”的关系，列方程得：
$x·3(x-1)=6210$
整理后即为：$3x(x-1)=6210$
【答案】
$3x(x-1)=6\ 210$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 列方程的等量关系寻找
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查阅读理解能力和数学建模能力，解题的关键是读懂古文含义，准确梳理出运费和单株椽价格的关系，再结合总费用的等量关系列式即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题目中的两个核心等量关系：一是少拿一株椽后，剩余椽的总运费等于1株椽的单价；二是买椽的总费用=椽的总数量×单株椽的单价。我们可以先根据第一个等量关系表示出单株椽的价格，再代入第二个等量关系即可列出方程。
【解析】
设这批椽的数量为$x$株。
1. 少拿一株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，已知每株椽的运费是3文，因此剩余椽的总运费为$3(x-1)$文。
2. 根据题意“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得1株椽的单价为$3(x-1)$文。
3. 已知这批椽的总价钱为6210文，结合“总费用=数量×单价”的关系，列方程得：
$x·3(x-1)=6210$
整理后即为：$3x(x-1)=6210$
【答案】
$3x(x-1)=6\ 210$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 列方程的等量关系寻找
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查阅读理解能力和数学建模能力，解题的关键是读懂古文含义，准确梳理出运费和单株椽价格的关系，再结合总费用的等量关系列式即可。
【难度系数】
0.7
