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跟踪训练2-2 解方程$3(x-1)-x=2(x+\dfrac{1}{2})$的步骤如下：①去括号，得$3x-3-x=2x+1$。②移项，得$3x-x+2x=1-3$。③合并同类项，得$4x=-2$。④系数化为1，得$x=-\dfrac{1}{2}$。经检验，$x=-\dfrac{1}{2}$不是原方程的解，说明解题的步骤有错，那么做错的一步是（
A.①
B.②
C.③
D.④
B
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
B
解析
【分析】
这道题需要我们找出解一元一次方程过程中的错误步骤，解题时可以按照解一元一次方程的标准规则，依次核对给出的每一步：先检查去括号是否符合法则，再判断移项是否遵守“移项要变号”的要求，后续合并同类项、系数化为1的步骤也可逐一验证，就能定位错误步骤。
【解析】
我们逐步骤核对正误：
1. 验证步骤①：去括号时，根据去括号法则，左边$3(x-1)-x$去括号得$3x-3-x$，右边$2(x+\dfrac{1}{2})$去括号得$2x+1$，步骤①正确，排除A选项。
2. 验证步骤②：去括号后等式为$3x-3-x=2x+1$，移项要求移动的项要改变符号：把右边的$2x$移到左边要变为$-2x$，左边的$-3$移到右边要变为$+3$，正确移项结果应为$3x-x-2x=1+3$，但题中步骤②移项时$2x$和$-3$均未变号，所以步骤②错误。
后续步骤③④是基于错误的移项结果计算的，做错的第一步是②。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解法；移项法则；去括号法则
【点评】
本题重点考查解一元一次方程的易错点，移项忘变号是该类题的高频出错原因，解方程后将结果代入原方程检验，可快速发现计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题需要我们找出解一元一次方程过程中的错误步骤，解题时可以按照解一元一次方程的标准规则，依次核对给出的每一步：先检查去括号是否符合法则，再判断移项是否遵守“移项要变号”的要求，后续合并同类项、系数化为1的步骤也可逐一验证，就能定位错误步骤。
【解析】
我们逐步骤核对正误：
1. 验证步骤①：去括号时，根据去括号法则，左边$3(x-1)-x$去括号得$3x-3-x$，右边$2(x+\dfrac{1}{2})$去括号得$2x+1$，步骤①正确，排除A选项。
2. 验证步骤②：去括号后等式为$3x-3-x=2x+1$，移项要求移动的项要改变符号：把右边的$2x$移到左边要变为$-2x$，左边的$-3$移到右边要变为$+3$，正确移项结果应为$3x-x-2x=1+3$，但题中步骤②移项时$2x$和$-3$均未变号，所以步骤②错误。
后续步骤③④是基于错误的移项结果计算的，做错的第一步是②。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解法；移项法则；去括号法则
【点评】
本题重点考查解一元一次方程的易错点，移项忘变号是该类题的高频出错原因，解方程后将结果代入原方程检验，可快速发现计算错误。
【难度系数】
0.7
跟踪训练2-3 已知a，b为定值，若关于x的方程$\frac{kx - a}{3}=1-\frac{2x + bk}{2}$，无论k为何值，它的解总是$x=2$，则ab的值为
-4
。答案
-4
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据方程解的定义，把恒成立的解x=2代入原方程，得到一个包含k、a、b的等式；第二步，整理这个等式，将含k的项合并在一起；第三步，理解“无论k为何值等式都成立”的含义：只有当k的系数为0，且等式右边的常数项也为0时，k取任意值等式都恒成立，由此得到关于a、b的方程，分别求出a、b的值后计算ab即可。
【解析】
把x=2代入原方程，得：
$\frac{2k - a}{3}=1-\frac{4 + bk}{2}$
两边同时乘6消去分母：
$2(2k - a)=6 - 3(4 + bk)$
去括号：
$4k - 2a=6 - 12 - 3bk$
移项、合并同类项：
$(4 + 3b)k=2a - 6$
∵无论k取何值，上述等式都成立
∴k的系数和常数项均为0，即：
$\begin{cases}4 + 3b=0 \\2a - 6=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=3 \\b=-\frac{4}{3}\end{cases}$
∴$ab=3×(-\frac{4}{3})=-4$
【答案】
-4
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 等式的性质
3. 恒成立条件
【点评】
本题解题核心是理解“方程解与k无关”的含义，通过代入固定解将问题转化为参数等式恒成立问题，再根据恒成立的特征列方程求解参数，是方程类典型的参数求解题型。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，根据方程解的定义，把恒成立的解x=2代入原方程，得到一个包含k、a、b的等式；第二步，整理这个等式，将含k的项合并在一起；第三步，理解“无论k为何值等式都成立”的含义：只有当k的系数为0，且等式右边的常数项也为0时，k取任意值等式都恒成立，由此得到关于a、b的方程，分别求出a、b的值后计算ab即可。
【解析】
把x=2代入原方程，得：
$\frac{2k - a}{3}=1-\frac{4 + bk}{2}$
两边同时乘6消去分母：
$2(2k - a)=6 - 3(4 + bk)$
去括号：
$4k - 2a=6 - 12 - 3bk$
移项、合并同类项：
$(4 + 3b)k=2a - 6$
∵无论k取何值，上述等式都成立
∴k的系数和常数项均为0，即：
$\begin{cases}4 + 3b=0 \\2a - 6=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=3 \\b=-\frac{4}{3}\end{cases}$
∴$ab=3×(-\frac{4}{3})=-4$
【答案】
-4
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 等式的性质
3. 恒成立条件
【点评】
本题解题核心是理解“方程解与k无关”的含义，通过代入固定解将问题转化为参数等式恒成立问题，再根据恒成立的特征列方程求解参数，是方程类典型的参数求解题型。
【难度系数】
0.6
跟踪训练2-4 小亮在解方程$3a + x = 7$时，由于粗心，错把$+x$看成了$-x$，结果解得$x=2$，试求$a$的值及方程正确的解。
答案
$a=3$，$x=-2$。
解析
【分析】
本题属于错解类问题，解题可分为两步思考：第一步，小亮错把$+x$看成$-x$，他实际求解的方程是$3a - x =7$，他解得的$x=2$是这个错误方程的正确解，因此可先把$x=2$代入错误方程，求出固定不变的参数$a$的值；第二步，将求出的$a$代入原正确方程$3a + x =7$，求解得到的$x$就是原方程的正确解。
【解析】
1. 求$a$的值
小亮看错符号后得到的方程为$3a - x = 7$，已知$x=2$是该方程的解，将$x=2$代入方程可得：
$\begin{aligned}3a - 2 &= 7 \\3a &= 7 + 2 \\3a &= 9 \\a &= 3\end{aligned}$
2. 求原方程的正确解
把$a=3$代入原方程$3a + x =7$得：
$\begin{aligned}3× 3 + x &= 7 \\9 + x &=7 \\x &= 7 -9 \\x &= -2\end{aligned}$
【答案】
$a=3$，方程正确的解为$x=-2$
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是典型的“错中求解”类题型，解题核心是明确错解是对应错误方程的正确解，先求出方程中固定的参数值，再代入原方程求解即可，重点考查对一元一次方程解的概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
本题属于错解类问题，解题可分为两步思考：第一步，小亮错把$+x$看成$-x$，他实际求解的方程是$3a - x =7$，他解得的$x=2$是这个错误方程的正确解，因此可先把$x=2$代入错误方程，求出固定不变的参数$a$的值；第二步，将求出的$a$代入原正确方程$3a + x =7$，求解得到的$x$就是原方程的正确解。
【解析】
1. 求$a$的值
小亮看错符号后得到的方程为$3a - x = 7$，已知$x=2$是该方程的解，将$x=2$代入方程可得：
$\begin{aligned}3a - 2 &= 7 \\3a &= 7 + 2 \\3a &= 9 \\a &= 3\end{aligned}$
2. 求原方程的正确解
把$a=3$代入原方程$3a + x =7$得：
$\begin{aligned}3× 3 + x &= 7 \\9 + x &=7 \\x &= 7 -9 \\x &= -2\end{aligned}$
【答案】
$a=3$，方程正确的解为$x=-2$
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是典型的“错中求解”类题型，解题核心是明确错解是对应错误方程的正确解，先求出方程中固定的参数值，再代入原方程求解即可，重点考查对一元一次方程解的概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
跟踪训练2-5 解下列方程：
(1)$2(4-x)=10-4x$。
(2)$\dfrac{3x-1}{3}=\dfrac{4x-1}{6}-1$。
(3)$\dfrac{2x-1}{0.7}=\dfrac{x}{0.3}-\dfrac{1}{7}$。
(1)$2(4-x)=10-4x$。
(2)$\dfrac{3x-1}{3}=\dfrac{4x-1}{6}-1$。
(3)$\dfrac{2x-1}{0.7}=\dfrac{x}{0.3}-\dfrac{1}{7}$。
答案
(1)$x=1$。
(2)$x=-\dfrac{5}{2}$。
(3)$x=-2.7$。
(2)$x=-\dfrac{5}{2}$。
(3)$x=-2.7$。
解析
【分析】
这三道题均为一元一次方程求解，遵循一元一次方程的通用解题思路即可：①有括号先去括号，注意括号前系数和符号，避免漏乘、变号错误；②有分母先去分母，两边同乘各分母的最小公倍数时不要漏乘不含分母的常数项；③移项时要变号，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧；④合并同类项后将未知数系数化为1即可得解。若分母为小数，可先利用分数的基本性质将小数分母转化为整数，再按常规步骤计算。
【解析】
(1) 解：$2(4-x)=10-4x$
去括号，得：$8 - 2x = 10 - 4x$
移项，得：$-2x + 4x = 10 - 8$
合并同类项，得：$2x = 2$
系数化为1，得：$x = 1$
(2) 解：$\dfrac{3x-1}{3}=\dfrac{4x-1}{6}-1$
两边同乘6去分母，得：$2(3x - 1) = 4x - 1 - 6$
去括号，得：$6x - 2 = 4x - 7$
移项，得：$6x - 4x = -7 + 2$
合并同类项，得：$2x = -5$
系数化为1，得：$x = -\dfrac{5}{2}$
(3) 解：$\dfrac{2x-1}{0.7}=\dfrac{x}{0.3}-\dfrac{1}{7}$
利用分数基本性质将小数分母化为整数，得：$\dfrac{20x - 10}{7} = \dfrac{10x}{3} - \dfrac{1}{7}$
两边同乘21去分母，得：$3(20x - 10) = 70x - 3$
去括号，得：$60x - 30 = 70x - 3$
移项，得：$60x - 70x = -3 + 30$
合并同类项，得：$-10x = 27$
系数化为1，得：$x = -2.7$
【答案】
(1)$x=1$；(2)$x=-\dfrac{5}{2}$；(3)$x=-2.7$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、分数的基本性质
【点评】
本题覆盖了一元一次方程的三类常见考法，分别侧重去括号、去分母、小数分母的特殊处理，解题时要注意规避去分母漏乘常数项、移项未变号等易错点，熟练掌握常规解题步骤即可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
这三道题均为一元一次方程求解，遵循一元一次方程的通用解题思路即可：①有括号先去括号，注意括号前系数和符号，避免漏乘、变号错误；②有分母先去分母，两边同乘各分母的最小公倍数时不要漏乘不含分母的常数项；③移项时要变号，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧；④合并同类项后将未知数系数化为1即可得解。若分母为小数，可先利用分数的基本性质将小数分母转化为整数，再按常规步骤计算。
【解析】
(1) 解：$2(4-x)=10-4x$
去括号，得：$8 - 2x = 10 - 4x$
移项，得：$-2x + 4x = 10 - 8$
合并同类项，得：$2x = 2$
系数化为1，得：$x = 1$
(2) 解：$\dfrac{3x-1}{3}=\dfrac{4x-1}{6}-1$
两边同乘6去分母，得：$2(3x - 1) = 4x - 1 - 6$
去括号，得：$6x - 2 = 4x - 7$
移项，得：$6x - 4x = -7 + 2$
合并同类项，得：$2x = -5$
系数化为1，得：$x = -\dfrac{5}{2}$
(3) 解：$\dfrac{2x-1}{0.7}=\dfrac{x}{0.3}-\dfrac{1}{7}$
利用分数基本性质将小数分母化为整数，得：$\dfrac{20x - 10}{7} = \dfrac{10x}{3} - \dfrac{1}{7}$
两边同乘21去分母，得：$3(20x - 10) = 70x - 3$
去括号，得：$60x - 30 = 70x - 3$
移项，得：$60x - 70x = -3 + 30$
合并同类项，得：$-10x = 27$
系数化为1，得：$x = -2.7$
【答案】
(1)$x=1$；(2)$x=-\dfrac{5}{2}$；(3)$x=-2.7$
【知识点】
一元一次方程的解法、去括号法则、分数的基本性质
【点评】
本题覆盖了一元一次方程的三类常见考法，分别侧重去括号、去分母、小数分母的特殊处理，解题时要注意规避去分母漏乘常数项、移项未变号等易错点，熟练掌握常规解题步骤即可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
★例3 一个底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱形大杯中装满了水，把水倒入一个底面直径为10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（
A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
C
）A.6 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
C
解析
【分析】
这是一道等积变换类的应用题，解题核心是抓住水的总体积不变，即大杯中水的体积等于12个小杯的容积之和。首先我们需要回忆圆柱体积的计算公式，先求出大杯的总容积，再设小杯的高为未知数，根据体积相等的关系列方程求解，注意题干给出的是小杯的底面直径，要先换算为半径再代入公式计算。
【解析】
解：圆柱体积公式为$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为高）
1. 计算大杯中水的总体积
大杯底面半径$r_大=10\mathrm{cm}$，高$h_大=30\mathrm{cm}$，则总体积：
$V_总=π×10^2×30=3000π\ \mathrm{cm}^3$
2. 设小杯的高为$h\mathrm{cm}$，计算单个小杯的容积
小杯底面直径为10cm，所以底面半径$r_小=10÷2=5\mathrm{cm}$，单个小杯容积：
$V_小=π×5^2× h=25π h\ \mathrm{cm}^3$
3. 根据体积相等列方程求解
水刚好倒满12杯，因此$12V_小=V_总$，代入得：
$12×25π h=3000π$
两边同时消去$π$，化简得$300h=3000$，解得$h=10$
即小杯的高为10cm。
【答案】
C
【知识点】
圆柱体积计算，等积变换，一元一次方程应用
【点评】
本题解题的关键是抓住水的总体积不变建立等量关系，解题时要注意区分半径和直径，不要误将小杯的直径直接当作半径代入公式，避免出现不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8
这是一道等积变换类的应用题，解题核心是抓住水的总体积不变，即大杯中水的体积等于12个小杯的容积之和。首先我们需要回忆圆柱体积的计算公式，先求出大杯的总容积，再设小杯的高为未知数，根据体积相等的关系列方程求解，注意题干给出的是小杯的底面直径，要先换算为半径再代入公式计算。
【解析】
解：圆柱体积公式为$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为高）
1. 计算大杯中水的总体积
大杯底面半径$r_大=10\mathrm{cm}$，高$h_大=30\mathrm{cm}$，则总体积：
$V_总=π×10^2×30=3000π\ \mathrm{cm}^3$
2. 设小杯的高为$h\mathrm{cm}$，计算单个小杯的容积
小杯底面直径为10cm，所以底面半径$r_小=10÷2=5\mathrm{cm}$，单个小杯容积：
$V_小=π×5^2× h=25π h\ \mathrm{cm}^3$
3. 根据体积相等列方程求解
水刚好倒满12杯，因此$12V_小=V_总$，代入得：
$12×25π h=3000π$
两边同时消去$π$，化简得$300h=3000$，解得$h=10$
即小杯的高为10cm。
【答案】
C
【知识点】
圆柱体积计算，等积变换，一元一次方程应用
【点评】
本题解题的关键是抓住水的总体积不变建立等量关系，解题时要注意区分半径和直径，不要误将小杯的直径直接当作半径代入公式，避免出现不必要的计算错误。
【难度系数】
0.8
跟踪训练3-1 某书店同时卖出了进价不同的A和B两本课外书，售价均为20元，按成本计算，书店工作人员发现书A盈利了60%，而书B却亏损了50%，则这笔交易书店
赔了
（填“赚了”“赔了”或“不赚不赔”）。答案
赔了
解析
【分析】
要判断这笔交易书店是赚还是赔，核心是比较两本书的总进价和总售价。已知两本书的售价均为20元，很容易算出总售价为40元，接下来需要分别求出A、B两本书的进价：盈利和亏损的比例都是以各自的进价为单位“1”的，可根据“售价=进价×(1±利润率)”的关系，分别计算出两本书的进价，求和得到总进价后和总售价对比即可得出结论。
【解析】
1. 计算A书的进价
A书盈利60%，说明售价是进价的$1+60\%$，设A书进价为$x$元，列方程得：
$x×(1+60\%)=20$
解得$x=20÷1.6=12.5$元。
2. 计算B书的进价
B书亏损50%，说明售价是进价的$1-50\%$，设B书进价为$y$元，列方程得：
$y×(1-50\%)=20$
解得$y=20÷0.5=40$元。
3. 对比总进价和总售价
两本书总进价：$12.5+40=52.5$元
两本书总售价：$20+20=40$元
因为$52.5＞40$，总进价高于总售价，所以这笔交易书店赔了。
【答案】
赔了
【知识点】
销售利润问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题易错点是直接对比盈利和亏损的比例，忽略二者的单位“1”（即各自的进价）不同，解题关键是先根据售价和利润率求出两本书的进价，再通过总进价、总售价的大小关系判断盈亏。
【难度系数】
0.6
要判断这笔交易书店是赚还是赔，核心是比较两本书的总进价和总售价。已知两本书的售价均为20元，很容易算出总售价为40元，接下来需要分别求出A、B两本书的进价：盈利和亏损的比例都是以各自的进价为单位“1”的，可根据“售价=进价×(1±利润率)”的关系，分别计算出两本书的进价，求和得到总进价后和总售价对比即可得出结论。
【解析】
1. 计算A书的进价
A书盈利60%，说明售价是进价的$1+60\%$，设A书进价为$x$元，列方程得：
$x×(1+60\%)=20$
解得$x=20÷1.6=12.5$元。
2. 计算B书的进价
B书亏损50%，说明售价是进价的$1-50\%$，设B书进价为$y$元，列方程得：
$y×(1-50\%)=20$
解得$y=20÷0.5=40$元。
3. 对比总进价和总售价
两本书总进价：$12.5+40=52.5$元
两本书总售价：$20+20=40$元
因为$52.5＞40$，总进价高于总售价，所以这笔交易书店赔了。
【答案】
赔了
【知识点】
销售利润问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题易错点是直接对比盈利和亏损的比例，忽略二者的单位“1”（即各自的进价）不同，解题关键是先根据售价和利润率求出两本书的进价，再通过总进价、总售价的大小关系判断盈亏。
【难度系数】
0.6
