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★例1 下列方程中,属于一元一次方程的是（
A.$4-\dfrac{x}{y}=3x$
B.$2x-3y=5$
C.$2x-3=3x$
D.$x^2 -x -1=0$
C
）A.$4-\dfrac{x}{y}=3x$
B.$2x-3y=5$
C.$2x-3=3x$
D.$x^2 -x -1=0$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个选项是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式（即分母中不含未知数）。解题时我们只需对照这三个标准，对每个选项逐一排查，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
对各选项逐一分析：
选项A：分母中含有未知数y，属于分式方程，不满足“整式方程”的要求，排除；
选项B：含有x、y两个未知数，不满足“只含一个未知数”的要求，排除；
选项C：仅含未知数x，x的最高次数为1，且两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
选项D：未知数x的最高次数为2，不满足“最高次数为1”的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.整式方程的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握一元一次方程的三个判定要点，逐个排查选项即可快速解题，注意不要忽略“整式方程”这一隐含要求。
【难度系数】
0.85
要判断哪个选项是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个核心判定标准：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是1；③等号两边都是整式（即分母中不含未知数）。解题时我们只需对照这三个标准，对每个选项逐一排查，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
对各选项逐一分析：
选项A：分母中含有未知数y，属于分式方程，不满足“整式方程”的要求，排除；
选项B：含有x、y两个未知数，不满足“只含一个未知数”的要求，排除；
选项C：仅含未知数x，x的最高次数为1，且两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
选项D：未知数x的最高次数为2，不满足“最高次数为1”的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1.一元一次方程的定义
2.整式方程的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握一元一次方程的三个判定要点，逐个排查选项即可快速解题，注意不要忽略“整式方程”这一隐含要求。
【难度系数】
0.85
跟踪训练1-1 方程$3x + 2(1 - x) = 4$的解是（
A.$x=\frac{2}{5}$
B.$x=\frac{6}{5}$
C.$x=2$
D.$x=1$
C
）A.$x=\frac{2}{5}$
B.$x=\frac{6}{5}$
C.$x=2$
D.$x=1$
答案
C
解析
【分析】
本题是一元一次方程求解的基础题型，解题可遵循一元一次方程的标准求解步骤：先去括号，再合并同类项，最后将未知数的系数化为1得到解；也可采用代入验证法，将选项逐一代入方程，判断左右两边是否相等来选出正确答案。
【解析】
解原方程步骤如下：
1. 去括号：$3x + 2 - 2x = 4$
2. 合并同类项：$x + 2 = 4$
3. 移项计算：$x = 4 - 2$，得$x=2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程求解
2. 去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程的基础考察题，重点检验解方程基础步骤的掌握情况，解题时注意去括号的运算规则，避免计算失误即可得分。
【难度系数】
0.9
本题是一元一次方程求解的基础题型，解题可遵循一元一次方程的标准求解步骤：先去括号，再合并同类项，最后将未知数的系数化为1得到解；也可采用代入验证法，将选项逐一代入方程，判断左右两边是否相等来选出正确答案。
【解析】
解原方程步骤如下：
1. 去括号：$3x + 2 - 2x = 4$
2. 合并同类项：$x + 2 = 4$
3. 移项计算：$x = 4 - 2$，得$x=2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程求解
2. 去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程的基础考察题，重点检验解方程基础步骤的掌握情况，解题时注意去括号的运算规则，避免计算失误即可得分。
【难度系数】
0.9
跟踪训练 1-2 小丽同学在做作业时，不小心将方程$2(x-3)-\blacksquare=x+1$中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是$x=9$，这个被污染的常数“$\blacksquare$”是（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
C
解析
【分析】
方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，要计算被污染的常数，我们可以先将这个常数设为未知数，再把已知的方程解x=9代入原方程，就能得到一个关于这个未知常数的一元一次方程，求解该方程即可得到被污染的数值。
【解析】
设被污染的常数■为a。
因为x=9是方程$2(x-3)-\blacksquare=x+1$的解，将x=9代入原方程，可得：
$2×(9-3)-a=9+1$
先计算括号内的运算：$2×6 -a=10$
化简得：$12 -a=10$
移项计算得：$a=12-10=2$
因此被污染的常数是2。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于方程解的应用类基础题，解题关键是明确方程的解一定满足原方程，代入未知参数后转化为常规一元一次方程求解即可，计算时注意运算顺序不要出错。
【难度系数】
0.8
方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，要计算被污染的常数，我们可以先将这个常数设为未知数，再把已知的方程解x=9代入原方程，就能得到一个关于这个未知常数的一元一次方程，求解该方程即可得到被污染的数值。
【解析】
设被污染的常数■为a。
因为x=9是方程$2(x-3)-\blacksquare=x+1$的解，将x=9代入原方程，可得：
$2×(9-3)-a=9+1$
先计算括号内的运算：$2×6 -a=10$
化简得：$12 -a=10$
移项计算得：$a=12-10=2$
因此被污染的常数是2。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于方程解的应用类基础题，解题关键是明确方程的解一定满足原方程，代入未知参数后转化为常规一元一次方程求解即可，计算时注意运算顺序不要出错。
【难度系数】
0.8
跟踪训练1-3 若$\frac{6-2a}{3}x^2 -4x +5=0$是关于x的一元一次方程，则a的值为
3
。答案
3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。题目给出的方程中含有$x^2$项，要让方程变为一元一次方程，必须让二次项的系数等于0，消去二次项，同时要保证剩下的一次项系数不为0（否则就不含未知数，不属于方程）。本题中一次项系数是-4，本身不为0，因此只需要列等式求解二次项系数为0时$a$的值即可。
【解析】
解：
∵$\frac{6-2a}{3}x^2 -4x +5=0$是关于$x$的一元一次方程
∴二次项的系数必须为0，即：
$\frac{6-2a}{3}=0$
等式两边同时乘3，得：
$6-2a=0$
移项，得：
$2a=6$
系数化为1，得：
$a=3$
验证：当$a=3$时，原方程变为$-4x+5=0$，符合一元一次方程的定义，成立。
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的定义、解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程定义的应用，解题的核心是抓住一元一次方程中未知数最高次数为1的特点，令高次项的系数为0即可求解，解题时要注意验证一次项系数不为0，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。题目给出的方程中含有$x^2$项，要让方程变为一元一次方程，必须让二次项的系数等于0，消去二次项，同时要保证剩下的一次项系数不为0（否则就不含未知数，不属于方程）。本题中一次项系数是-4，本身不为0，因此只需要列等式求解二次项系数为0时$a$的值即可。
【解析】
解：
∵$\frac{6-2a}{3}x^2 -4x +5=0$是关于$x$的一元一次方程
∴二次项的系数必须为0，即：
$\frac{6-2a}{3}=0$
等式两边同时乘3，得：
$6-2a=0$
移项，得：
$2a=6$
系数化为1，得：
$a=3$
验证：当$a=3$时，原方程变为$-4x+5=0$，符合一元一次方程的定义，成立。
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的定义、解一元一次方程
【点评】
本题考查一元一次方程定义的应用，解题的核心是抓住一元一次方程中未知数最高次数为1的特点，令高次项的系数为0即可求解，解题时要注意验证一次项系数不为0，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
跟踪训练1-4 若$x=2$是方程$2x+m=1$的解，则$m$的值为
-3
。答案
-3
解析
【分析】
首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是方程的解，因此把x=2代入原方程，原方程就会转化为只含未知数m的一元一次方程，再解这个一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
解：
∵x=2是方程$2x+m=1$的解
∴将$x=2$代入方程$2x+m=1$，可得：
$2×2 + m = 1$
化简得：$4 + m = 1$
移项计算得：$m = 1 - 4$
解得：$m = -3$
【答案】
-3
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的概念的应用，将已知的解代入原方程转化为关于参数的方程求解是此类题的通用解法，计算量小，易掌握。
【难度系数】
0.9
首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=2是方程的解，因此把x=2代入原方程，原方程就会转化为只含未知数m的一元一次方程，再解这个一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
解：
∵x=2是方程$2x+m=1$的解
∴将$x=2$代入方程$2x+m=1$，可得：
$2×2 + m = 1$
化简得：$4 + m = 1$
移项计算得：$m = 1 - 4$
解得：$m = -3$
【答案】
-3
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的概念的应用，将已知的解代入原方程转化为关于参数的方程求解是此类题的通用解法，计算量小，易掌握。
【难度系数】
0.9
★例2 学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题:解方程$\frac{0.1}{0.2}x - \frac{0.1}{0.3}x = 1$。某同学的解答过程如下：
解:$\frac{0.1}{0.2}x - \frac{0.1}{0.3}x = 1$
两边同时乘10,得$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 10$…第①步
合并同类项,得$\frac{1}{6}x = 10$…第②步
系数化为1,得$x=60$…第③步
该同学的解答过程中,最早出现错误的是第
解:$\frac{0.1}{0.2}x - \frac{0.1}{0.3}x = 1$
两边同时乘10,得$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 10$…第①步
合并同类项,得$\frac{1}{6}x = 10$…第②步
系数化为1,得$x=60$…第③步
该同学的解答过程中,最早出现错误的是第
①
步,请写出正确的解答过程。答案
① 正确的解答过程略，$x=6$。
解析
【分析】
本题考查含小数系数的一元一次方程的解法辨析及正确求解，解题思路如下：首先要明确分数的基本性质和等式的性质的区别：将分数的分子、分母同时扩大相同倍数是单个分数的内部变形，仅改变分数的书写形式，不改变分数大小，不需要调整等式其他项的数值；而等式两边同时乘同一个非零数是等式的整体变形，需要给所有项都乘这个数。该同学混淆了两种性质，在第①步将分数分子分母乘10的同时，错误给等式右侧的1也乘了10，因此最早出错的是第①步。正确求解时，先利用分数的基本性质化简系数，再按合并同类项、系数化为1的常规步骤计算即可。
【解析】
最早出现错误的是第①步，正确解答过程如下：
解：原方程化简得 $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 1$
合并同类项，得 $\frac{1}{6}x = 1$
系数化为1，得 $x=6$
【答案】
①；$x=6$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 分数的基本性质
3. 等式的基本性质
【点评】
本题易错点是混淆分数基本性质和等式的基本性质，处理小数系数时要注意：仅对单个分数的分子分母扩大倍数时，等式其余项不需要变化；如果是利用等式性质去分母，才需要给等式所有项同时乘公分母。
【难度系数】
0.6
本题考查含小数系数的一元一次方程的解法辨析及正确求解，解题思路如下：首先要明确分数的基本性质和等式的性质的区别：将分数的分子、分母同时扩大相同倍数是单个分数的内部变形，仅改变分数的书写形式，不改变分数大小，不需要调整等式其他项的数值；而等式两边同时乘同一个非零数是等式的整体变形，需要给所有项都乘这个数。该同学混淆了两种性质，在第①步将分数分子分母乘10的同时，错误给等式右侧的1也乘了10，因此最早出错的是第①步。正确求解时，先利用分数的基本性质化简系数，再按合并同类项、系数化为1的常规步骤计算即可。
【解析】
最早出现错误的是第①步，正确解答过程如下：
解：原方程化简得 $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 1$
合并同类项，得 $\frac{1}{6}x = 1$
系数化为1，得 $x=6$
【答案】
①；$x=6$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 分数的基本性质
3. 等式的基本性质
【点评】
本题易错点是混淆分数基本性质和等式的基本性质，处理小数系数时要注意：仅对单个分数的分子分母扩大倍数时，等式其余项不需要变化；如果是利用等式性质去分母，才需要给等式所有项同时乘公分母。
【难度系数】
0.6
跟踪训练2-1 下列选项中，方程变形正确的是（
A.方程$\frac{2}{3}t=\frac{3}{2}$，系数化为1，得$t=1$
B.方程$3-x=2-5(x-1)$，去括号，得$3-x=2-5x+1$
C.方程$3x-2=2x+1$，移项，得$3x-2x=-1+2$
D.方程$\frac{x-1}{2}-\frac{x}{5}=1$，去分母，得$5(x-1)-2x=10$
D
）A.方程$\frac{2}{3}t=\frac{3}{2}$，系数化为1，得$t=1$
B.方程$3-x=2-5(x-1)$，去括号，得$3-x=2-5x+1$
C.方程$3x-2=2x+1$，移项，得$3x-2x=-1+2$
D.方程$\frac{x-1}{2}-\frac{x}{5}=1$，去分母，得$5(x-1)-2x=10$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元一次方程的各类变形规则，解题时需逐个核对每个选项的变形是否符合对应操作的要求：系数化为1时要两边同时乘未知数系数的倒数；去括号时要注意符号和漏乘；移项要变号；去分母时要给每一项都乘分母的最小公倍数，通过逐一排除错误选项得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程$\frac{2}{3}t=\frac{3}{2}$，系数化为1需两边同时乘$\frac{3}{2}$，得$t=\frac{3}{2} × \frac{3}{2}=\frac{9}{4}$，不是$t=1$，故A错误。
B选项：方程$3-x=2-5(x-1)$，去括号时$-5$与括号内每一项相乘，得$3-x=2-5x+5$，选项中漏乘了$-5 × (-1)$的结果，故B错误。
C选项：方程$3x-2=2x+1$，移项要变号，将$2x$移到左边变为$-2x$，$-2$移到右边变为$+2$，得$3x-2x=1+2$，选项中右边符号错误，故C错误。
D选项：方程$\frac{x-1}{2}-\frac{x}{5}=1$，去分母时两边同时乘分母的最小公倍数10，得$5(x-1)-2x=10$，变形正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；去括号法则；一元一次方程变形规则
【点评】
本题主要考查一元一次方程变形过程中的常见易错点，熟练掌握每一步变形的要求，注意避免符号错误、漏乘等问题即可正确解答。
【难度系数】
0.7
本题考查一元一次方程的各类变形规则，解题时需逐个核对每个选项的变形是否符合对应操作的要求：系数化为1时要两边同时乘未知数系数的倒数；去括号时要注意符号和漏乘；移项要变号；去分母时要给每一项都乘分母的最小公倍数，通过逐一排除错误选项得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程$\frac{2}{3}t=\frac{3}{2}$，系数化为1需两边同时乘$\frac{3}{2}$，得$t=\frac{3}{2} × \frac{3}{2}=\frac{9}{4}$，不是$t=1$，故A错误。
B选项：方程$3-x=2-5(x-1)$，去括号时$-5$与括号内每一项相乘，得$3-x=2-5x+5$，选项中漏乘了$-5 × (-1)$的结果，故B错误。
C选项：方程$3x-2=2x+1$，移项要变号，将$2x$移到左边变为$-2x$，$-2$移到右边变为$+2$，得$3x-2x=1+2$，选项中右边符号错误，故C错误。
D选项：方程$\frac{x-1}{2}-\frac{x}{5}=1$，去分母时两边同时乘分母的最小公倍数10，得$5(x-1)-2x=10$，变形正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；去括号法则；一元一次方程变形规则
【点评】
本题主要考查一元一次方程变形过程中的常见易错点，熟练掌握每一步变形的要求，注意避免符号错误、漏乘等问题即可正确解答。
【难度系数】
0.7
