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跟踪训练3-2 一项工程，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需30天完成。
(1)甲、乙两队合作几天可以完成任务？
(2)最初甲、乙两队合作，但中途甲队因事离开几天。若开工后15天完成了这项工程的$\frac{3}{4}$，则甲队中途离开了几天？
(1)甲、乙两队合作几天可以完成任务？
(2)最初甲、乙两队合作，但中途甲队因事离开几天。若开工后15天完成了这项工程的$\frac{3}{4}$，则甲队中途离开了几天？
答案
(1)12天。
(2)10天。
(2)10天。
解析
【分析】
工程问题通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷单独完成工作的时间，据此先求出甲、乙两队各自的工作效率。（1）求合作完成时间，用总工作量除以两队合作的工作效率即可，也可通过列一元一次方程求解；（2）已知总施工时长15天完成工程的$\frac{3}{4}$，乙队全程参与施工，先算出乙队15天的工作量，用总完成量减去乙的工作量得到甲队实际完成的工作量，再除以甲的工作效率得到甲的实际工作时长，用总时长减去甲的工作时长即可得到甲离开的天数，也可设甲离开的天数为未知数列方程求解。
【解析】
把这项工程的总工作量看作单位“1”，则甲队的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{30}$。
（1）设甲、乙两队合作$x$天可以完成任务。
根据“工作总量=工作效率×工作时间”，列方程：
$(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})x=1$
通分计算得：$\frac{1}{12}x=1$
解得：$x=12$
（2）设甲队中途离开了$y$天，则甲队实际工作的天数为$(15-y)$天。
乙队全程工作15天，完成的工作量为$15×\frac{1}{30}=\frac{1}{2}$，甲队完成的工作量为$\frac{1}{20}(15-y)$，两队总完成量为$\frac{3}{4}$，列方程：
$\frac{1}{20}(15-y) + 15×\frac{1}{30} = \frac{3}{4}$
化简得：$\frac{15-y}{20}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$
两边同时乘20消去分母得：$15-y + 10 = 15$
解得：$y=10$
【答案】
(1)12天；(2)10天
【知识点】
工程问题计算，一元一次方程的应用，工作效率公式
【点评】
本题是工程问题的典型考法，核心是掌握将总工作量设为单位“1”的技巧，熟练运用工作总量、工作效率、工作时间三者的等量关系列方程求解，第二问需注意乙队全程参与施工，理清甲队的实际工作时长是解题的关键。
【难度系数】
0.7
工程问题通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷单独完成工作的时间，据此先求出甲、乙两队各自的工作效率。（1）求合作完成时间，用总工作量除以两队合作的工作效率即可，也可通过列一元一次方程求解；（2）已知总施工时长15天完成工程的$\frac{3}{4}$，乙队全程参与施工，先算出乙队15天的工作量，用总完成量减去乙的工作量得到甲队实际完成的工作量，再除以甲的工作效率得到甲的实际工作时长，用总时长减去甲的工作时长即可得到甲离开的天数，也可设甲离开的天数为未知数列方程求解。
【解析】
把这项工程的总工作量看作单位“1”，则甲队的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{30}$。
（1）设甲、乙两队合作$x$天可以完成任务。
根据“工作总量=工作效率×工作时间”，列方程：
$(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})x=1$
通分计算得：$\frac{1}{12}x=1$
解得：$x=12$
（2）设甲队中途离开了$y$天，则甲队实际工作的天数为$(15-y)$天。
乙队全程工作15天，完成的工作量为$15×\frac{1}{30}=\frac{1}{2}$，甲队完成的工作量为$\frac{1}{20}(15-y)$，两队总完成量为$\frac{3}{4}$，列方程：
$\frac{1}{20}(15-y) + 15×\frac{1}{30} = \frac{3}{4}$
化简得：$\frac{15-y}{20}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$
两边同时乘20消去分母得：$15-y + 10 = 15$
解得：$y=10$
【答案】
(1)12天；(2)10天
【知识点】
工程问题计算，一元一次方程的应用，工作效率公式
【点评】
本题是工程问题的典型考法，核心是掌握将总工作量设为单位“1”的技巧，熟练运用工作总量、工作效率、工作时间三者的等量关系列方程求解，第二问需注意乙队全程参与施工，理清甲队的实际工作时长是解题的关键。
【难度系数】
0.7
跟踪训练3-3 某机械设备车间的工人正在紧张地按订单进度进行生产。若每人每天平均可以生产轴承12个或者轴杆16个，1个轴承与2个轴杆组成一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？
答案
调配36人生产轴承，54人生产轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套。
解析
【分析】
这是典型的生产配套类应用题，解题核心是先明确两种零件的配套比例：本题中1个轴承需搭配2个轴杆，说明生产出的轴杆总数量应为轴承总数量的2倍，这是列方程的核心等量关系。我们可以设生产轴承的人数为未知数，用总人数减去该未知数得到生产轴杆的人数，再用人数乘每人每天的产量分别表示出轴承和轴杆的总产量，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设安排$x$名工人生产轴承，则安排$(90-x)$名工人生产轴杆。
每天生产的轴承总数为$12x$个，每天生产的轴杆总数为$16(90-x)$个。
根据“轴杆总数量=2×轴承总数量”的配套关系，列方程：
$2×12x=16(90-x)$
化简得：$24x=1440-16x$
移项合并同类项：$40x=1440$
解得：$x=36$
则生产轴杆的人数为$90-36=54$（人）
检验：36人每天生产轴承$36×12=432$个，54人每天生产轴杆$54×16=864$个，$864=2×432$，正好配套。
【答案】
调配36人生产轴承，54人生产轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 配套问题求解
【点评】
本题是方程实际应用的常见题型，解题关键是准确把握两种部件的配套比例，将其转化为对应的等量关系列方程即可，掌握配套问题的分析逻辑就能快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
这是典型的生产配套类应用题，解题核心是先明确两种零件的配套比例：本题中1个轴承需搭配2个轴杆，说明生产出的轴杆总数量应为轴承总数量的2倍，这是列方程的核心等量关系。我们可以设生产轴承的人数为未知数，用总人数减去该未知数得到生产轴杆的人数，再用人数乘每人每天的产量分别表示出轴承和轴杆的总产量，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设安排$x$名工人生产轴承，则安排$(90-x)$名工人生产轴杆。
每天生产的轴承总数为$12x$个，每天生产的轴杆总数为$16(90-x)$个。
根据“轴杆总数量=2×轴承总数量”的配套关系，列方程：
$2×12x=16(90-x)$
化简得：$24x=1440-16x$
移项合并同类项：$40x=1440$
解得：$x=36$
则生产轴杆的人数为$90-36=54$（人）
检验：36人每天生产轴承$36×12=432$个，54人每天生产轴杆$54×16=864$个，$864=2×432$，正好配套。
【答案】
调配36人生产轴承，54人生产轴杆，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 配套问题求解
【点评】
本题是方程实际应用的常见题型，解题关键是准确把握两种部件的配套比例，将其转化为对应的等量关系列方程即可，掌握配套问题的分析逻辑就能快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
