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跟踪训练3-4 如图，某公司门口有一个长为900 cm的长方形电子显示屏，公司的有关活动都会在电子显示屏上出示。由于各次活动的名称不同，字数也不等，为了制作及显示时方便美观，负责的员工对有关数据作出了如下规定：边空宽：字宽：字距=3：4：1。请用列方程的方法解决下列问题：
(1)某次活动的字数为17，字距是多少？
(2)如果某次活动的字宽为45 cm，问：字数总共是多少？
(1)某次活动的字数为17，字距是多少？
(2)如果某次活动的字宽为45 cm，问：字数总共是多少？
答案
(1)10 cm。
(2)15。
(2)15。
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的一元一次方程应用题，解题思路如下：
1. 首先根据边空宽:字宽:字距=3:4:1的比例关系，设1份的长度为x cm，即可将三个量分别用3x、4x、x表示，简化计算。
2. 明确显示屏总长度的构成：总长度=2个边空宽+所有字的总字宽+所有字距的总长，注意n个字的字距数量为(n-1)个（类似间隔问题的规律）。
3. 第一问已知字数，代入总长度公式列方程求出x，字距即为x的值；第二问已知字宽先求出1份的长度，再设字数为未知数，代入总长度公式列方程求解即可。
【解析】
(1) 设比例中1份的长度为x cm，则边空宽为3x cm，字宽为4x cm，字距为x cm。
已知字数为17，可得边空共2个，字宽共17个，字距共17-1=16个。
根据总长度为900 cm列方程：
$2× 3x + 17× 4x + 16x = 900$
化简得：$6x+68x+16x=900$，即$90x=900$
解得$x=10$，即字距为10 cm。
(2) 已知字宽为45 cm，对应比例中的4份，因此1份的长度$x=45÷4=\frac{45}{4}$ cm。
设本次活动的字数为y个，则字距共y-1个，根据总长度列方程：
$2× 3x + 4x· y + x(y-1) = 900$
提取公因式x化简得：$x(5+5y)=900$
将$x=\frac{45}{4}$代入得：$\frac{45}{4}×5(y+1)=900$
解得：$y+1=16$，即$y=15$
所以字数总共是15个。
【答案】
(1)10 cm；(2)15
【知识点】
一元一次方程应用，比例的应用，间隔问题
【点评】
本题结合生活实际设计问题，解题的关键是理清显示屏总长度的构成，尤其要注意字距的数量比字数少1，合理利用比例关系设未知数可以有效简化计算，考查了学生利用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合实际场景的一元一次方程应用题，解题思路如下：
1. 首先根据边空宽:字宽:字距=3:4:1的比例关系，设1份的长度为x cm，即可将三个量分别用3x、4x、x表示，简化计算。
2. 明确显示屏总长度的构成：总长度=2个边空宽+所有字的总字宽+所有字距的总长，注意n个字的字距数量为(n-1)个（类似间隔问题的规律）。
3. 第一问已知字数，代入总长度公式列方程求出x，字距即为x的值；第二问已知字宽先求出1份的长度，再设字数为未知数，代入总长度公式列方程求解即可。
【解析】
(1) 设比例中1份的长度为x cm，则边空宽为3x cm，字宽为4x cm，字距为x cm。
已知字数为17，可得边空共2个，字宽共17个，字距共17-1=16个。
根据总长度为900 cm列方程：
$2× 3x + 17× 4x + 16x = 900$
化简得：$6x+68x+16x=900$，即$90x=900$
解得$x=10$，即字距为10 cm。
(2) 已知字宽为45 cm，对应比例中的4份，因此1份的长度$x=45÷4=\frac{45}{4}$ cm。
设本次活动的字数为y个，则字距共y-1个，根据总长度列方程：
$2× 3x + 4x· y + x(y-1) = 900$
提取公因式x化简得：$x(5+5y)=900$
将$x=\frac{45}{4}$代入得：$\frac{45}{4}×5(y+1)=900$
解得：$y+1=16$，即$y=15$
所以字数总共是15个。
【答案】
(1)10 cm；(2)15
【知识点】
一元一次方程应用，比例的应用，间隔问题
【点评】
本题结合生活实际设计问题，解题的关键是理清显示屏总长度的构成，尤其要注意字距的数量比字数少1，合理利用比例关系设未知数可以有效简化计算，考查了学生利用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
跟踪训练3-5【背景素材】某通信运营商提供5G融合套餐，一人付费全家享，其中两种套餐的具体内容如下：
【问题解决】若某用户目前使用A套餐。
任务1:12月全家使用流量45 GB，通话时长850分钟，请计算该用户12月的套餐费用。
任务2:该用户查看全家近半年通话时长及流量使用情况，发现每月通话时长基本在850分钟左右，但流量使用波动较大。视该用户每月通话时长为850分钟，设其每月使用流量为$m$($m$为正整数)(GB)。请计算说明，该用户何时需要调整套餐。
【问题解决】若某用户目前使用A套餐。
任务1:12月全家使用流量45 GB，通话时长850分钟，请计算该用户12月的套餐费用。
任务2:该用户查看全家近半年通话时长及流量使用情况，发现每月通话时长基本在850分钟左右，但流量使用波动较大。视该用户每月通话时长为850分钟，设其每月使用流量为$m$($m$为正整数)(GB)。请计算说明，该用户何时需要调整套餐。
答案
任务1:191.5元。
任务2:由题意，得$169+(850-800)×0.15+(m-40)×3=199$，解得$m=47.5$。因为$m$为正整数，所以$m=48$。答:当每月使用流量大于或等于48 GB时，该用户需要调整套餐。
任务2:由题意，得$169+(850-800)×0.15+(m-40)×3=199$，解得$m=47.5$。因为$m$为正整数，所以$m=48$。答:当每月使用流量大于或等于48 GB时，该用户需要调整套餐。
解析
【分析】
任务1解题思路：首先明确A套餐的计费规则，先分别判断流量、通话时长是否超出免费额度，分别计算超出部分的费用，再将基本服务费、超出通话费、超出流量费相加，即可得到12月总套餐费用。
任务2解题思路：用户每月通话时长固定为850分钟，可先算出A套餐每月固定的通话超出费用，再结合流量使用量m写出A套餐总费用的表达式；B套餐的免费通话时长为1000分钟，用户通话时长未超出，因此流量不超过60GB时B套餐费用固定为199元。令A、B套餐费用相等，列方程求出对应的m值，当流量超过该值时A套餐费用更高，就需要调整套餐。
【解析】
任务1计算：
1. 计算超出流量费用：使用流量45GB，A套餐免费流量40GB，超出流量为$45-40=5\ \mathrm{GB}$，超出流量费为$5×3=15\ \mathrm{元}$。
2. 计算超出通话费用：通话时长850分钟，A套餐免费通话800分钟，超出时长为$850-800=50\ \mathrm{分钟}$，超出通话费为$50×0.15=7.5\ \mathrm{元}$。
3. 总费用为基本服务费加两项超出费用：$169+15+7.5=191.5\ \mathrm{元}$。
任务2计算：
1. 分析B套餐费用：用户每月通话850分钟小于B套餐免费通话时长1000分钟，流量不超过60GB时，B套餐每月固定费用为199元。
2. 列等式求费用相等的临界点：令A套餐总费用等于B套餐费用，可列方程：
$169+(850-800)×0.15+3(m-40)=199$
解方程：
$169+7.5+3m-120=199$
$3m=142.5$
$m=47.5$
因为m为正整数，且超出流量不足1GB按1GB收费，因此当$m≥48$时，A套餐费用高于B套餐，需要更换套餐。
【答案】
任务1：191.5元
任务2：当每月使用流量大于或等于48 GB时，该用户需要调整套餐。
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；方案选择问题
【点评】
本题结合生活中的套餐选择场景，考查对分段计费规则的理解和运用方程解决实际问题的能力，解题核心是理清不同套餐的计费逻辑，找到两种套餐费用相等的临界点，即可快速判断套餐调整的条件。
【难度系数】
0.7
任务1解题思路：首先明确A套餐的计费规则，先分别判断流量、通话时长是否超出免费额度，分别计算超出部分的费用，再将基本服务费、超出通话费、超出流量费相加，即可得到12月总套餐费用。
任务2解题思路：用户每月通话时长固定为850分钟，可先算出A套餐每月固定的通话超出费用，再结合流量使用量m写出A套餐总费用的表达式；B套餐的免费通话时长为1000分钟，用户通话时长未超出，因此流量不超过60GB时B套餐费用固定为199元。令A、B套餐费用相等，列方程求出对应的m值，当流量超过该值时A套餐费用更高，就需要调整套餐。
【解析】
任务1计算：
1. 计算超出流量费用：使用流量45GB，A套餐免费流量40GB，超出流量为$45-40=5\ \mathrm{GB}$，超出流量费为$5×3=15\ \mathrm{元}$。
2. 计算超出通话费用：通话时长850分钟，A套餐免费通话800分钟，超出时长为$850-800=50\ \mathrm{分钟}$，超出通话费为$50×0.15=7.5\ \mathrm{元}$。
3. 总费用为基本服务费加两项超出费用：$169+15+7.5=191.5\ \mathrm{元}$。
任务2计算：
1. 分析B套餐费用：用户每月通话850分钟小于B套餐免费通话时长1000分钟，流量不超过60GB时，B套餐每月固定费用为199元。
2. 列等式求费用相等的临界点：令A套餐总费用等于B套餐费用，可列方程：
$169+(850-800)×0.15+3(m-40)=199$
解方程：
$169+7.5+3m-120=199$
$3m=142.5$
$m=47.5$
因为m为正整数，且超出流量不足1GB按1GB收费，因此当$m≥48$时，A套餐费用高于B套餐，需要更换套餐。
【答案】
任务1：191.5元
任务2：当每月使用流量大于或等于48 GB时，该用户需要调整套餐。
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；方案选择问题
【点评】
本题结合生活中的套餐选择场景，考查对分段计费规则的理解和运用方程解决实际问题的能力，解题核心是理清不同套餐的计费逻辑，找到两种套餐费用相等的临界点，即可快速判断套餐调整的条件。
【难度系数】
0.7
