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7. 列式计算：
(1) $-\frac{1}{2}$的绝对值与$3\frac{1}{2}$的差。
(2) $-\frac{2}{3}$的绝对值的相反数与$6\frac{1}{4}$与$\frac{3}{4}$的和的相反数的差。
(1) $-\frac{1}{2}$的绝对值与$3\frac{1}{2}$的差。
(2) $-\frac{2}{3}$的绝对值的相反数与$6\frac{1}{4}$与$\frac{3}{4}$的和的相反数的差。
答案
(1)$\left|-\dfrac{1}{2}\right|-3\dfrac{1}{2}=-3$。
(2)$-\left|-\dfrac{2}{3}\right|-[-(6\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4})]=6\dfrac{1}{3}$。
(2)$-\left|-\dfrac{2}{3}\right|-[-(6\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4})]=6\dfrac{1}{3}$。
解析
【分析】
(1) 先明确运算逻辑：题目要求的是两个数的差，被减数是$-\frac{1}{2}$的绝对值，减数是$3\frac{1}{2}$，先计算绝对值，再做减法运算即可，注意被减数和减数的顺序不能颠倒。
(2) 分步拆解题意：首先求$-\frac{2}{3}$的绝对值的相反数作为被减数；再计算$6\frac{1}{4}$与$\frac{3}{4}$的和，取这个和的相反数作为减数；最后用被减数减去减数，计算时注意遵循去括号的符号变化规则。
【解析】
(1) 根据题意列出算式计算：
$\begin{aligned}\left|-\dfrac{1}{2}\right|-3\dfrac{1}{2}&=\dfrac{1}{2}-3\dfrac{1}{2}\\&=-3\end{aligned}$
(2) 根据题意列出算式计算：
$\begin{aligned}-\left|-\dfrac{2}{3}\right|-[-(6\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4})]&=-\dfrac{2}{3}-(-7)\\&=-\dfrac{2}{3}+7\\&=6\dfrac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\left|-\dfrac{1}{2}\right|-3\dfrac{1}{2}=-3$
(2)$-\left|-\dfrac{2}{3}\right|-[-(6\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4})]=6\dfrac{1}{3}$
【知识点】
绝对值的运算，相反数的概念，有理数加减混合运算
【点评】
本题主要考查文字表述转数学算式的能力，解题关键是准确区分被减数、减数，正确计算绝对值和相反数，运算时要注意符号变化，避免因列式错误或符号失误失分。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确运算逻辑：题目要求的是两个数的差，被减数是$-\frac{1}{2}$的绝对值，减数是$3\frac{1}{2}$，先计算绝对值，再做减法运算即可，注意被减数和减数的顺序不能颠倒。
(2) 分步拆解题意：首先求$-\frac{2}{3}$的绝对值的相反数作为被减数；再计算$6\frac{1}{4}$与$\frac{3}{4}$的和，取这个和的相反数作为减数；最后用被减数减去减数，计算时注意遵循去括号的符号变化规则。
【解析】
(1) 根据题意列出算式计算：
$\begin{aligned}\left|-\dfrac{1}{2}\right|-3\dfrac{1}{2}&=\dfrac{1}{2}-3\dfrac{1}{2}\\&=-3\end{aligned}$
(2) 根据题意列出算式计算：
$\begin{aligned}-\left|-\dfrac{2}{3}\right|-[-(6\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4})]&=-\dfrac{2}{3}-(-7)\\&=-\dfrac{2}{3}+7\\&=6\dfrac{1}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\left|-\dfrac{1}{2}\right|-3\dfrac{1}{2}=-3$
(2)$-\left|-\dfrac{2}{3}\right|-[-(6\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4})]=6\dfrac{1}{3}$
【知识点】
绝对值的运算，相反数的概念，有理数加减混合运算
【点评】
本题主要考查文字表述转数学算式的能力，解题关键是准确区分被减数、减数，正确计算绝对值和相反数，运算时要注意符号变化，避免因列式错误或符号失误失分。
【难度系数】
0.7
8. 某池塘在星期一的水位是 110.3 cm，星期二下降了 0.2 cm，星期三上升了 0.7 cm，星期四下降了 0.8 cm。
(1)如果规定水位上升为正，下降为负，请你将星期二至星期四的水位变化情况用正数或负数表示出来。
(2)求星期四的水位。
(1)如果规定水位上升为正，下降为负，请你将星期二至星期四的水位变化情况用正数或负数表示出来。
(2)求星期四的水位。
答案
(1)星期二的水位变化为$-0.2\ \mathrm{cm}$,星期三的水位变化为$+0.7\ \mathrm{cm}$,星期四的水位变化为$-0.8\ \mathrm{cm}$。
(2)$110\ \mathrm{cm}$。
(2)$110\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 首先明确题目给定的正负数判定规则：水位上升记为正，下降记为负，只需对应每天的水位升降情况，给数值匹配对应正负符号即可完成表示。
(2) 计算星期四的水位时，以星期一的初始水位为基准，依次叠加星期二到星期四的水位变化量，按照有理数加减混合运算的规则逐步计算就能得到最终结果。
【解析】
(1) 根据“上升为正，下降为负”的规定：
星期二水位下降0.2 cm，水位变化表示为$\boldsymbol{-0.2\ \mathrm{cm}}$；
星期三水位上升0.7 cm，水位变化表示为$\boldsymbol{+0.7\ \mathrm{cm}}$；
星期四水位下降0.8 cm，水位变化表示为$\boldsymbol{-0.8\ \mathrm{cm}}$。
(2) 星期四的水位 = 星期一水位 + 周二至周四的水位变化量，列式计算：
$\begin{aligned}&\quad110.3 + (-0.2) + 0.7 + (-0.8)\\&=110.3 - 0.2 + 0.7 - 0.8\\&=110.1 + 0.7 - 0.8\\&=110.8 - 0.8\\&=110\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
(1)星期二的水位变化为$-0.2\ \mathrm{cm}$，星期三的水位变化为$+0.7\ \mathrm{cm}$，星期四的水位变化为$-0.8\ \mathrm{cm}$；(2)$110\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正负数的意义；有理数加减混合运算
【点评】
本题结合生活场景考察正负数的实际应用和基础有理数运算，解题关键是准确理解正负号的约定含义，计算时细心核对运算步骤即可避免出错。
【难度系数】
0.9
(1) 首先明确题目给定的正负数判定规则：水位上升记为正，下降记为负，只需对应每天的水位升降情况，给数值匹配对应正负符号即可完成表示。
(2) 计算星期四的水位时，以星期一的初始水位为基准，依次叠加星期二到星期四的水位变化量，按照有理数加减混合运算的规则逐步计算就能得到最终结果。
【解析】
(1) 根据“上升为正，下降为负”的规定：
星期二水位下降0.2 cm，水位变化表示为$\boldsymbol{-0.2\ \mathrm{cm}}$；
星期三水位上升0.7 cm，水位变化表示为$\boldsymbol{+0.7\ \mathrm{cm}}$；
星期四水位下降0.8 cm，水位变化表示为$\boldsymbol{-0.8\ \mathrm{cm}}$。
(2) 星期四的水位 = 星期一水位 + 周二至周四的水位变化量，列式计算：
$\begin{aligned}&\quad110.3 + (-0.2) + 0.7 + (-0.8)\\&=110.3 - 0.2 + 0.7 - 0.8\\&=110.1 + 0.7 - 0.8\\&=110.8 - 0.8\\&=110\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
(1)星期二的水位变化为$-0.2\ \mathrm{cm}$，星期三的水位变化为$+0.7\ \mathrm{cm}$，星期四的水位变化为$-0.8\ \mathrm{cm}$；(2)$110\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正负数的意义；有理数加减混合运算
【点评】
本题结合生活场景考察正负数的实际应用和基础有理数运算，解题关键是准确理解正负号的约定含义，计算时细心核对运算步骤即可避免出错。
【难度系数】
0.9
9. 对于有理数$a$，$b$定义一种新运算“⊙”，规定$a\odot b=|a+b|+|a-b|$，则$(-2)\odot3$的值为（
A.6
B.5
C.4
D.2
A
）A.6
B.5
C.4
D.2
答案
9.A
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题思路清晰：第一步先准确理解新运算“⊙”的规则，明确$a\odot b$是$|a+b|$与$|a-b|$的和；第二步确定所求式子中对应$a$、$b$的取值，本题$a=-2$，$b=3$，将数值代入运算公式；第三步按照有理数加减、绝对值化简的规则逐步计算，就能得到最终结果。
【解析】
根据新运算的定义$a\odot b=|a+b|+|a-b|$，代入$a=-2$，$b=3$得：
$\begin{aligned}(-2)\odot3&=|(-2)+3|+|(-2)-3|\\&=|1|+|-5|\\&=1+5\\&=6\end{aligned}$
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，绝对值化简，有理数加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解新定义的运算规则，结合已学的绝对值、有理数加减知识计算即可，只要细心代入和计算就不易失分。
【难度系数】
0.9
这是新定义运算类题目，解题思路清晰：第一步先准确理解新运算“⊙”的规则，明确$a\odot b$是$|a+b|$与$|a-b|$的和；第二步确定所求式子中对应$a$、$b$的取值，本题$a=-2$，$b=3$，将数值代入运算公式；第三步按照有理数加减、绝对值化简的规则逐步计算，就能得到最终结果。
【解析】
根据新运算的定义$a\odot b=|a+b|+|a-b|$，代入$a=-2$，$b=3$得：
$\begin{aligned}(-2)\odot3&=|(-2)+3|+|(-2)-3|\\&=|1|+|-5|\\&=1+5\\&=6\end{aligned}$
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，绝对值化简，有理数加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是准确理解新定义的运算规则，结合已学的绝对值、有理数加减知识计算即可，只要细心代入和计算就不易失分。
【难度系数】
0.9
10. 如图，乐乐将－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则a－b－c的值为
（第10题）
-3
。（第10题）答案
10.$-3$
解析
【分析】
本题属于三阶幻方计算问题，解题思路如下：首先利用已知三个完整数字的第二列计算出每行、每列、每条对角线相等的和（即幻和）；再根据幻和分别求出a、b、c三个数的值；最后代入a-b-c，按照有理数加减混合运算规则计算结果即可。
【解析】
第一步：计算幻和
观察第二列已知三个数5、1、-3，得幻和为：
$5 + 1 + (-3) = 3$，即每行、每列、每条对角线的三数之和均为3。
第二步：求b的值
第二行三数和为3，列等式：
$3 + 1 + b = 3$
解得：$b = 3 - 3 - 1 = -1$
第三步：求a的值
第一行三数和为3，列等式：
$a + 5 + 0 = 3$
解得：$a = 3 - 5 = -2$
第四步：求c的值
第三行三数和为3，列等式：
$c + (-3) + 4 = 3$
解得：$c = 3 + 3 - 4 = 2$
第五步：计算$a - b - c$
将$a=-2$，$b=-1$，$c=2$代入得：
$\begin{aligned}a - b - c &= (-2) - (-1) - 2 \\&= -2 + 1 - 2 \\&= -3\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
有理数加减混合运算，三阶幻方性质
【点评】
本题需要先找到解题突破口，即先求出幻和，再依次推导未知数值，计算时要注意有理数减法的符号规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
本题属于三阶幻方计算问题，解题思路如下：首先利用已知三个完整数字的第二列计算出每行、每列、每条对角线相等的和（即幻和）；再根据幻和分别求出a、b、c三个数的值；最后代入a-b-c，按照有理数加减混合运算规则计算结果即可。
【解析】
第一步：计算幻和
观察第二列已知三个数5、1、-3，得幻和为：
$5 + 1 + (-3) = 3$，即每行、每列、每条对角线的三数之和均为3。
第二步：求b的值
第二行三数和为3，列等式：
$3 + 1 + b = 3$
解得：$b = 3 - 3 - 1 = -1$
第三步：求a的值
第一行三数和为3，列等式：
$a + 5 + 0 = 3$
解得：$a = 3 - 5 = -2$
第四步：求c的值
第三行三数和为3，列等式：
$c + (-3) + 4 = 3$
解得：$c = 3 + 3 - 4 = 2$
第五步：计算$a - b - c$
将$a=-2$，$b=-1$，$c=2$代入得：
$\begin{aligned}a - b - c &= (-2) - (-1) - 2 \\&= -2 + 1 - 2 \\&= -3\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
有理数加减混合运算，三阶幻方性质
【点评】
本题需要先找到解题突破口，即先求出幻和，再依次推导未知数值，计算时要注意有理数减法的符号规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
11.【阅读理解】同学们,我们都知道|5−2|表示5与2的差的绝对值,实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;|5+2|表示5与−2的差的绝对值,实际上也可理解为5与−2两数在数轴上所对应的两点之间的距离。
【举一反三】(1)|−4+6|可理解为
(2)计算:|−4+6|=
【问题解决】(3)找出所有符合条件的整数x,使|x+2|+|x−1|=3成立。
(4)若数轴上表示数a的点位于−4与6两数之间,求|a+4|+|a−6|的值。
【举一反三】(1)|−4+6|可理解为
-4
与-6
两数在数轴上所对应的两点之间的距离。(2)计算:|−4+6|=
2
;|−2−4|=6
。【问题解决】(3)找出所有符合条件的整数x,使|x+2|+|x−1|=3成立。
(4)若数轴上表示数a的点位于−4与6两数之间,求|a+4|+|a−6|的值。
答案
11.(1)$-4$ $-6$
(2)$2$ $6$
(3)$-2,-1,0,1$。
(4)$10$。
(2)$2$ $6$
(3)$-2,-1,0,1$。
(4)$10$。
解析
【分析】
解题思路依托题目给出的绝对值几何意义（数轴上两点间的距离）展开：
1. 第(1)题先把绝对值内的加法转化为|a-b|的减法形式，即可对应a、b两个数的数轴距离；
2. 第(2)题先计算绝对值符号内的算式结果，再根据绝对值的非负性求结果即可；
3. 第(3)题先将两个绝对值分别转化为x到-2、x到1的距离，先计算-2到1的固定距离为3，即可判断x的取值范围，再筛选范围内的整数即可；
4. 第(4)题可选择两种思路：一是根据a的范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后化简计算；二是直接用几何意义，两段距离之和就是-4到6的总距离，直接得出结果。
【解析】
(1) 根据题意，绝对值可理解为两数差的绝对值，即数轴上两点的距离，$|-4+6|=|(-4)-(-6)|$，因此可理解为$-4$与$-6$两数在数轴上对应的两点之间的距离。
(2) 计算绝对值：
$|-4+6|=|2|=2$；
$|-2-4|=|-6|=6$。
(3) 由绝对值的几何意义可知：$|x+2|$表示数轴上x对应的点到$-2$对应的点的距离，$|x-1|$表示数轴上x对应的点到$1$对应的点的距离。
先计算$-2$和$1$两点之间的距离：$|1-(-2)|=3$，因此当x对应的点在$-2$和$1$之间（包含两端点）时，两个距离之和恰好为3，符合条件的整数x为$-2,-1,0,1$。
(4) 代数化简法：
∵ 数a的点位于$-4$与$6$之间，
∴ $a+4＞0$，$a-6＜0$，
∴ $|a+4|=a+4$，$|a-6|=6-a$，
∴ $|a+4|+|a-6|=(a+4)+(6-a)=10$。
也可通过几何意义直接判断：两段距离之和就是$-4$到$6$的总距离，结果同样为10。
【答案】
(1) $-4$，$-6$
(2) $2$，$6$
(3) $-2,-1,0,1$
(4) $10$
【知识点】
绝对值的意义，绝对值的化简，数轴与距离
【点评】
本题结合绝对值的代数性质和几何意义设计，既考查了基础的绝对值计算能力，也引导学生利用数形结合的思路分析距离类问题，解题时需注意第(3)题的整数取值限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
解题思路依托题目给出的绝对值几何意义（数轴上两点间的距离）展开：
1. 第(1)题先把绝对值内的加法转化为|a-b|的减法形式，即可对应a、b两个数的数轴距离；
2. 第(2)题先计算绝对值符号内的算式结果，再根据绝对值的非负性求结果即可；
3. 第(3)题先将两个绝对值分别转化为x到-2、x到1的距离，先计算-2到1的固定距离为3，即可判断x的取值范围，再筛选范围内的整数即可；
4. 第(4)题可选择两种思路：一是根据a的范围判断绝对值内式子的正负，去绝对值后化简计算；二是直接用几何意义，两段距离之和就是-4到6的总距离，直接得出结果。
【解析】
(1) 根据题意，绝对值可理解为两数差的绝对值，即数轴上两点的距离，$|-4+6|=|(-4)-(-6)|$，因此可理解为$-4$与$-6$两数在数轴上对应的两点之间的距离。
(2) 计算绝对值：
$|-4+6|=|2|=2$；
$|-2-4|=|-6|=6$。
(3) 由绝对值的几何意义可知：$|x+2|$表示数轴上x对应的点到$-2$对应的点的距离，$|x-1|$表示数轴上x对应的点到$1$对应的点的距离。
先计算$-2$和$1$两点之间的距离：$|1-(-2)|=3$，因此当x对应的点在$-2$和$1$之间（包含两端点）时，两个距离之和恰好为3，符合条件的整数x为$-2,-1,0,1$。
(4) 代数化简法：
∵ 数a的点位于$-4$与$6$之间，
∴ $a+4＞0$，$a-6＜0$，
∴ $|a+4|=a+4$，$|a-6|=6-a$，
∴ $|a+4|+|a-6|=(a+4)+(6-a)=10$。
也可通过几何意义直接判断：两段距离之和就是$-4$到$6$的总距离，结果同样为10。
【答案】
(1) $-4$，$-6$
(2) $2$，$6$
(3) $-2,-1,0,1$
(4) $10$
【知识点】
绝对值的意义，绝对值的化简，数轴与距离
【点评】
本题结合绝对值的代数性质和几何意义设计，既考查了基础的绝对值计算能力，也引导学生利用数形结合的思路分析距离类问题，解题时需注意第(3)题的整数取值限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
