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一、选择题
1. 甲、乙两班的学生参加植树造林.已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植树80棵所用天数与乙班植树70棵所用天数相等.设甲班每天植树x棵，则依题意列出方程是(
A.$\frac{80}{x-5}=\frac{70}{x}$
B.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x+5}$
C.$\frac{80}{x+5}=\frac{70}{x}$
D.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x-5}$
1. 甲、乙两班的学生参加植树造林.已知甲班每天比乙班多植树5棵，甲班植树80棵所用天数与乙班植树70棵所用天数相等.设甲班每天植树x棵，则依题意列出方程是(
D
)A.$\frac{80}{x-5}=\frac{70}{x}$
B.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x+5}$
C.$\frac{80}{x+5}=\frac{70}{x}$
D.$\frac{80}{x}=\frac{70}{x-5}$
答案
1.D
解析
【分析】
解这道题的核心是先抓住题目给出的等量关系：甲班植树80棵所用天数=乙班植树70棵所用天数。首先根据已知的甲班每天植树棵数，推导乙班每天植树的棵数，再结合“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，分别表示出两个班级植树对应的天数，最后根据天数相等列出方程即可。
【解析】
已知设甲班每天植树$x$棵，因为甲班每天比乙班多植树5棵，所以乙班每天植树$(x-5)$棵。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
甲班植树80棵所用天数为$\frac{80}{x}$；
乙班植树70棵所用天数为$\frac{70}{x-5}$。
由题可知两个天数相等，因此列方程为：$\frac{80}{x}=\frac{70}{x-5}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的实际应用；工程问题数量关系；列方程解应用题
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确梳理题干中的数量关系，不要混淆甲乙两班的植树效率，结合工作时间的计算公式就能快速列出方程。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是先抓住题目给出的等量关系：甲班植树80棵所用天数=乙班植树70棵所用天数。首先根据已知的甲班每天植树棵数，推导乙班每天植树的棵数，再结合“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，分别表示出两个班级植树对应的天数，最后根据天数相等列出方程即可。
【解析】
已知设甲班每天植树$x$棵，因为甲班每天比乙班多植树5棵，所以乙班每天植树$(x-5)$棵。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
甲班植树80棵所用天数为$\frac{80}{x}$；
乙班植树70棵所用天数为$\frac{70}{x-5}$。
由题可知两个天数相等，因此列方程为：$\frac{80}{x}=\frac{70}{x-5}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的实际应用；工程问题数量关系；列方程解应用题
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确梳理题干中的数量关系，不要混淆甲乙两班的植树效率，结合工作时间的计算公式就能快速列出方程。
【难度系数】
0.8
2. 红树林风景区某一景点改造工程要限期完成.甲工程队单独做可提前1天完成，乙工程队单独做要延期6天，现在由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队单独做，正好如期完成.若设工程限期$x$天，则下面所列方程正确的是(
A.$\frac{4}{x-1}+\frac{x}{x-6}=1$
B.$\frac{4}{x-1}=\frac{x}{x-6}$
C.$\frac{4}{x-1}+\frac{x}{x+6}=1$
D.$\frac{4}{x-1}-\frac{x}{x+6}=x$
C
)A.$\frac{4}{x-1}+\frac{x}{x-6}=1$
B.$\frac{4}{x-1}=\frac{x}{x-6}$
C.$\frac{4}{x-1}+\frac{x}{x+6}=1$
D.$\frac{4}{x-1}-\frac{x}{x+6}=x$
答案
2.C
解析
【分析】
本题属于工程类分式方程应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，结合题目给出的限期x天，先推导甲、乙两个工程队单独完成工程的时间，进而得到两队的工作效率；再分析两队的实际工作时长，分别计算两队的工作量，最后根据“总工作量=各部分工作量之和”为等量关系列方程即可。
【解析】
设工程总工作量为1：
1. 求甲、乙的工作效率：
甲单独做可提前1天完成，因此甲单独完成工程需要$(x-1)$天，工作效率为$\frac{1}{x-1}$；
乙单独做要延期6天，因此乙单独完成工程需要$(x+6)$天，工作效率为$\frac{1}{x+6}$。
2. 计算甲、乙的工作量：
两队合作4天后余下的由乙单独做，正好如期完成，因此甲仅工作了4天，甲的工作量为$\frac{4}{x-1}$；
乙全程参与工程，总工作时长为x天，乙的工作量为$\frac{x}{x+6}$。
3. 列方程：
根据总工作量为1，可得等量关系：甲的工作量+乙的工作量=总工作量，即$\frac{4}{x-1}+\frac{x}{x+6}=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 工程问题等量关系
3. 工作效率计算
【点评】
本题是分式方程在工程问题中的常规应用题型，解题核心是准确梳理两个工程队的实际工作时长，熟练运用工程问题“总工作量=各部分工作量之和”的基本等量关系，解题时注意不要混淆乙单独完成工程的时间表达式。
【难度系数】
0.7
本题属于工程类分式方程应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，结合题目给出的限期x天，先推导甲、乙两个工程队单独完成工程的时间，进而得到两队的工作效率；再分析两队的实际工作时长，分别计算两队的工作量，最后根据“总工作量=各部分工作量之和”为等量关系列方程即可。
【解析】
设工程总工作量为1：
1. 求甲、乙的工作效率：
甲单独做可提前1天完成，因此甲单独完成工程需要$(x-1)$天，工作效率为$\frac{1}{x-1}$；
乙单独做要延期6天，因此乙单独完成工程需要$(x+6)$天，工作效率为$\frac{1}{x+6}$。
2. 计算甲、乙的工作量：
两队合作4天后余下的由乙单独做，正好如期完成，因此甲仅工作了4天，甲的工作量为$\frac{4}{x-1}$；
乙全程参与工程，总工作时长为x天，乙的工作量为$\frac{x}{x+6}$。
3. 列方程：
根据总工作量为1，可得等量关系：甲的工作量+乙的工作量=总工作量，即$\frac{4}{x-1}+\frac{x}{x+6}=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 工程问题等量关系
3. 工作效率计算
【点评】
本题是分式方程在工程问题中的常规应用题型，解题核心是准确梳理两个工程队的实际工作时长，熟练运用工程问题“总工作量=各部分工作量之和”的基本等量关系，解题时注意不要混淆乙单独完成工程的时间表达式。
【难度系数】
0.7
3. 某工地调来72人参加挖土运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎么分配劳动力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？设派x人挖土，其余人运土，列方程为：①$x + 3x = 72$；②$\frac{72 - x}{x} = \frac{1}{3}$；③$\frac{x}{72 - x} = 3$；④$72 - x = \frac{x}{3}$。其中所列方程正确的为(
A.①②③
B.③④
C.②③④
D.②④
C
)A.①②③
B.③④
C.②③④
D.②④
答案
3.C
解析
【分析】
首先梳理题目信息：总共有72人，设x人挖土，则运土人数为(72-x)人。要使挖出的土及时运走不窝工，核心等量关系是：挖土人数是运土人数的3倍（因为3人挖的土恰好1人能运完），也可以转化为运土人数是挖土人数的$\frac{1}{3}$，或挖土人数与运土人数的比为3:1。接下来根据这个等量关系逐一验证4个方程是否正确即可。
【解析】
解：设派x人挖土，则运土人数为$(72-x)$人。
根据题意得挖土人数$:$运土人数$=3:1$，逐个分析方程：
① 方程$x+3x=72$表示运土人数为$3x$，但实际运土人数应为$\frac{x}{3}$，与题意不符，故①错误；
② $\frac{72-x}{x}=\frac{1}{3}$表示运土人数与挖土人数的比为$1:3$，符合题意，故②正确；
③ $\frac{x}{72-x}=3$表示挖土人数与运土人数的比为$3:1$，符合题意，故③正确；
④ $72-x=\frac{x}{3}$表示运土人数等于挖土人数的$\frac{1}{3}$，符合题意，故④正确。
综上，②③④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、调配问题、列方程找等量关系
【点评】
本题考查根据实际问题列方程的能力，解题的关键是抓住“3人挖土1人运”对应的人数比例关系，从不同角度推导等量关系可以得到不同形式的正确方程，需注意避免混淆挖土和运土人数的倍数关系。
【难度系数】
0.65
首先梳理题目信息：总共有72人，设x人挖土，则运土人数为(72-x)人。要使挖出的土及时运走不窝工，核心等量关系是：挖土人数是运土人数的3倍（因为3人挖的土恰好1人能运完），也可以转化为运土人数是挖土人数的$\frac{1}{3}$，或挖土人数与运土人数的比为3:1。接下来根据这个等量关系逐一验证4个方程是否正确即可。
【解析】
解：设派x人挖土，则运土人数为$(72-x)$人。
根据题意得挖土人数$:$运土人数$=3:1$，逐个分析方程：
① 方程$x+3x=72$表示运土人数为$3x$，但实际运土人数应为$\frac{x}{3}$，与题意不符，故①错误；
② $\frac{72-x}{x}=\frac{1}{3}$表示运土人数与挖土人数的比为$1:3$，符合题意，故②正确；
③ $\frac{x}{72-x}=3$表示挖土人数与运土人数的比为$3:1$，符合题意，故③正确；
④ $72-x=\frac{x}{3}$表示运土人数等于挖土人数的$\frac{1}{3}$，符合题意，故④正确。
综上，②③④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、调配问题、列方程找等量关系
【点评】
本题考查根据实际问题列方程的能力，解题的关键是抓住“3人挖土1人运”对应的人数比例关系，从不同角度推导等量关系可以得到不同形式的正确方程，需注意避免混淆挖土和运土人数的倍数关系。
【难度系数】
0.65
4. 某水果商店销售500千克海南绿橙,在卖出100千克后,采用“互联网+电商”模式销售,平均每天的销售量比原来提高了一倍,结果仅用3天就销售一空. 设原来平均每天销售x千克海南绿橙,下列方程正确的是(
A. $\frac{100}{x} + \frac{500-100}{2x}=3$
C. $\frac{500-100}{x} + \frac{100}{2x}=3$
A
)A. $\frac{100}{x} + \frac{500-100}{2x}=3$
C. $\frac{500-100}{x} + \frac{100}{2x}=3$
答案
4.A
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，核心是找准等量关系：总销售时间为3天，总时间由提速前和提速后两段销售时间相加得到。解题时首先拆分两个销售阶段：①提速前：销售重量为100千克，销售效率是原来的x千克/天，根据“时间=销售总量÷每天销量”可算出这一阶段的时间；②提速后：销售重量是总重量减去已经卖出的100千克，销量比原来提高一倍即效率变为2x千克/天，同理算出这一阶段的时间；最后将两段时间相加等于总时间3天，即可列出方程，再匹配对应选项即可。
【解析】
本题的等量关系为：提速前销售时间 + 提速后销售时间 = 总销售时间3天。
已知原来平均每天销售x千克，提速后平均每天销量是原来的2倍，即2x千克。
1. 计算提速前销售100千克的时间：$\frac{100}{x}$天
2. 计算提速后销售的总重量：$500-100=400$千克，对应销售时间：$\frac{500-100}{2x}$天
3. 根据总时间为3天，列方程得：$\frac{100}{x} + \frac{500-100}{2x}=3$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程实际应用
2. 工程问题基本公式
【点评】
本题是分式方程应用的常规题型，解题的关键是正确区分不同阶段的销售重量和对应销售效率，准确理解“销量提高一倍”的含义，避免将提速后的效率搞反，只要找准总时间的等量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程的实际应用题，核心是找准等量关系：总销售时间为3天，总时间由提速前和提速后两段销售时间相加得到。解题时首先拆分两个销售阶段：①提速前：销售重量为100千克，销售效率是原来的x千克/天，根据“时间=销售总量÷每天销量”可算出这一阶段的时间；②提速后：销售重量是总重量减去已经卖出的100千克，销量比原来提高一倍即效率变为2x千克/天，同理算出这一阶段的时间；最后将两段时间相加等于总时间3天，即可列出方程，再匹配对应选项即可。
【解析】
本题的等量关系为：提速前销售时间 + 提速后销售时间 = 总销售时间3天。
已知原来平均每天销售x千克，提速后平均每天销量是原来的2倍，即2x千克。
1. 计算提速前销售100千克的时间：$\frac{100}{x}$天
2. 计算提速后销售的总重量：$500-100=400$千克，对应销售时间：$\frac{500-100}{2x}$天
3. 根据总时间为3天，列方程得：$\frac{100}{x} + \frac{500-100}{2x}=3$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程实际应用
2. 工程问题基本公式
【点评】
本题是分式方程应用的常规题型，解题的关键是正确区分不同阶段的销售重量和对应销售效率，准确理解“销量提高一倍”的含义，避免将提速后的效率搞反，只要找准总时间的等量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
5. 一个两位数的十位数字是4,如果把十位数字与个位数字对调,那么所得的新数与原数的比为$\frac{4}{7}$,则原来的两位数为(
A.42
B.47
C.24
D.48
A
)A.42
B.47
C.24
D.48
答案
5.A
解析
【分析】
首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。已知原两位数十位数字为4，我们可以设个位数字为未知数x，分别表示出原数和对调后的新数，再根据“新数与原数的比为$\frac{4}{7}$”的等量关系列出分式方程，解方程求出个位数字后即可得到原两位数，最后注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【解析】
设原来两位数的个位数字为$x$。
则原数可表示为：$4×10 + x = 40 + x$
十位与个位对调后的新数可表示为：$10x + 4$
根据题意列分式方程：
$\frac{10x+4}{40+x}=\frac{4}{7}$
交叉相乘去分母得：
$7(10x+4)=4(40+x)$
展开括号：
$70x + 28 = 160 + 4x$
移项、合并同类项：
$66x = 132$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$40+x=42≠0$，因此$x=2$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则原来的两位数为$40+2=42$。
【答案】
A
【知识点】
两位数的表示；分式方程的应用；比例的性质
【点评】
本题属于分式方程基础应用题，解题关键是正确表示对调前后的两个两位数，根据给出的比例关系列方程求解，求解后要注意检验分式方程的根是否符合题意。
【难度系数】
0.8
首先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字。已知原两位数十位数字为4，我们可以设个位数字为未知数x，分别表示出原数和对调后的新数，再根据“新数与原数的比为$\frac{4}{7}$”的等量关系列出分式方程，解方程求出个位数字后即可得到原两位数，最后注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【解析】
设原来两位数的个位数字为$x$。
则原数可表示为：$4×10 + x = 40 + x$
十位与个位对调后的新数可表示为：$10x + 4$
根据题意列分式方程：
$\frac{10x+4}{40+x}=\frac{4}{7}$
交叉相乘去分母得：
$7(10x+4)=4(40+x)$
展开括号：
$70x + 28 = 160 + 4x$
移项、合并同类项：
$66x = 132$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$40+x=42≠0$，因此$x=2$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则原来的两位数为$40+2=42$。
【答案】
A
【知识点】
两位数的表示；分式方程的应用；比例的性质
【点评】
本题属于分式方程基础应用题，解题关键是正确表示对调前后的两个两位数，根据给出的比例关系列方程求解，求解后要注意检验分式方程的根是否符合题意。
【难度系数】
0.8
