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二、填空题
1. 甲、乙承包一项任务，合作3天后，甲另有任务，乙再做3天完成任务.甲单独做需要12天完成.求乙单独做需要多少天.设乙单独做需要x天，则可列方程
1. 甲、乙承包一项任务，合作3天后，甲另有任务，乙再做3天完成任务.甲单独做需要12天完成.求乙单独做需要多少天.设乙单独做需要x天，则可列方程
$\frac{6}{x}+\frac{3}{12}=1$
.答案
1.$\frac{6}{x}+\frac{3}{12}=1$
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时先把总工作量看作单位“1”，牢记“工作效率=1÷单独完成工作的时间”“工作量=工作效率×工作时长”两个核心公式。我们需要分别推导甲、乙的工作量，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量1”的等量关系列方程：首先确定甲的参数，甲单独12天完成，效率为$\frac{1}{12}$，仅参与前3天合作，工作量为$\frac{3}{12}$；再确定乙的参数，乙先合作3天、再单独做3天，总工作时长为6天，效率为$\frac{1}{x}$，工作量为$\frac{6}{x}$；最后将两者工作量相加等于总工作量即可得到方程。
【解析】
解：将这项任务的总工作量看作单位“1”。
1. 甲的工作效率为$\frac{1}{12}$，一共工作了3天，完成的工作量为：$\frac{1}{12} × 3 = \frac{3}{12}$。
2. 设乙单独做需要x天，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$，总工作时长为$3+3=6$天，完成的工作量为：$\frac{1}{x} × 6 = \frac{6}{x}$。
3. 根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程：$\frac{6}{x}+\frac{3}{12}=1$。
【答案】
$\frac{6}{x}+\frac{3}{12}=1$
【知识点】
工程问题、列分式方程、工作量计算
【点评】
本题是工程问题的基础常规题，核心是熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，找准每个工作主体的实际工作时长，结合总工作量为1的等量关系就能正确列方程。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类应用题，解题时先把总工作量看作单位“1”，牢记“工作效率=1÷单独完成工作的时间”“工作量=工作效率×工作时长”两个核心公式。我们需要分别推导甲、乙的工作量，再根据“甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量1”的等量关系列方程：首先确定甲的参数，甲单独12天完成，效率为$\frac{1}{12}$，仅参与前3天合作，工作量为$\frac{3}{12}$；再确定乙的参数，乙先合作3天、再单独做3天，总工作时长为6天，效率为$\frac{1}{x}$，工作量为$\frac{6}{x}$；最后将两者工作量相加等于总工作量即可得到方程。
【解析】
解：将这项任务的总工作量看作单位“1”。
1. 甲的工作效率为$\frac{1}{12}$，一共工作了3天，完成的工作量为：$\frac{1}{12} × 3 = \frac{3}{12}$。
2. 设乙单独做需要x天，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$，总工作时长为$3+3=6$天，完成的工作量为：$\frac{1}{x} × 6 = \frac{6}{x}$。
3. 根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程：$\frac{6}{x}+\frac{3}{12}=1$。
【答案】
$\frac{6}{x}+\frac{3}{12}=1$
【知识点】
工程问题、列分式方程、工作量计算
【点评】
本题是工程问题的基础常规题，核心是熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，找准每个工作主体的实际工作时长，结合总工作量为1的等量关系就能正确列方程。
【难度系数】
0.8
2. 某市为治理污水，需要铺设一段全长为3 000米的污水排水管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加25%，结果提前20天完成这一任务，求原计划每天铺设多长管道.设原计划每天铺设x米管道，根据题意列方程得
.
$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{(1+25\%)x}=20$
.
答案
2.$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{(1+25\%)x}=20$
解析
【分析】
本题为工程类分式方程应用题，解题思路如下：首先回忆工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。我们需要分别表示出原计划完成任务的总时长和实际施工的总时长，再根据“提前20天完成任务”的条件，可知原计划时长减去实际时长等于20天，据此即可列出方程。
【解析】
1. 计算原计划施工时长：已知管道总长3000米，原计划每天铺设x米，根据工作时间公式，原计划用时为$\frac{3000}{x}$天。
2. 计算实际施工效率：实际每天工效比原计划增加25%，因此实际每天铺设$(1+25\%)x$米。
3. 计算实际施工时长：同样根据工作时间公式，实际用时为$\frac{3000}{(1+25\%)x}$天。
4. 根据“提前20天完成”的等量关系（原计划用时-实际用时=20天），列方程得：$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{(1+25\%)x}=20$。
【答案】
$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{(1+25\%)x}=20$
【知识点】
分式方程应用，工程问题
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，核心是掌握工程问题三量（工作总量、工作效率、工作时间）的关系，准确找到时间差的等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题为工程类分式方程应用题，解题思路如下：首先回忆工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。我们需要分别表示出原计划完成任务的总时长和实际施工的总时长，再根据“提前20天完成任务”的条件，可知原计划时长减去实际时长等于20天，据此即可列出方程。
【解析】
1. 计算原计划施工时长：已知管道总长3000米，原计划每天铺设x米，根据工作时间公式，原计划用时为$\frac{3000}{x}$天。
2. 计算实际施工效率：实际每天工效比原计划增加25%，因此实际每天铺设$(1+25\%)x$米。
3. 计算实际施工时长：同样根据工作时间公式，实际用时为$\frac{3000}{(1+25\%)x}$天。
4. 根据“提前20天完成”的等量关系（原计划用时-实际用时=20天），列方程得：$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{(1+25\%)x}=20$。
【答案】
$\frac{3000}{x}-\frac{3000}{(1+25\%)x}=20$
【知识点】
分式方程应用，工程问题
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，核心是掌握工程问题三量（工作总量、工作效率、工作时间）的关系，准确找到时间差的等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
3. 一轮船顺水航行80千米所用的时间和逆水航行60千米所用的时间相同，已知该轮船在静水中的速度为21千米/时，则水流速度是
3
千米/时。答案
3.3
解析
【分析】
这是一道流水行船类的行程问题，解题核心是抓住“顺水航行80千米和逆水航行60千米时间相同”这个等量关系。首先要明确流水行船的速度公式：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。我们可以先设水流速度为未知数，分别表示出顺水和逆水的速度，再根据“时间=路程÷速度”表示出两个航行时间，利用时间相等列分式方程求解，最后要注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【解析】
设水流速度为$ x $千米/时。
则轮船的顺水速度为$ (21+x) $千米/时，逆水速度为$ (21-x) $千米/时。
根据题意，顺水航行80千米的时间和逆水航行60千米的时间相等，列方程得：
$\frac{80}{21+x} = \frac{60}{21-x}$
交叉相乘去分母得：
$80(21-x) = 60(21+x)$
展开括号：
$1680 - 80x = 1260 + 60x$
移项合并同类项：
$-140x = -420$
解得：
$x = 3$
检验：把$ x=3 $代入原方程分母，$ 21+x=24≠0 $，$ 21-x=18≠0 $，且水流速度为3千米/时符合实际意义，所以$ x=3 $是原方程的解。
【答案】
3
【知识点】
分式方程应用，流水行船公式，分式方程求解
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题关键是准确找到时间相等的等量关系，牢记流水行船的速度计算规律，解完分式方程后务必要检验根是否满足分母不为0且符合实际情况。
【难度系数】
0.7
这是一道流水行船类的行程问题，解题核心是抓住“顺水航行80千米和逆水航行60千米时间相同”这个等量关系。首先要明确流水行船的速度公式：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。我们可以先设水流速度为未知数，分别表示出顺水和逆水的速度，再根据“时间=路程÷速度”表示出两个航行时间，利用时间相等列分式方程求解，最后要注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
【解析】
设水流速度为$ x $千米/时。
则轮船的顺水速度为$ (21+x) $千米/时，逆水速度为$ (21-x) $千米/时。
根据题意，顺水航行80千米的时间和逆水航行60千米的时间相等，列方程得：
$\frac{80}{21+x} = \frac{60}{21-x}$
交叉相乘去分母得：
$80(21-x) = 60(21+x)$
展开括号：
$1680 - 80x = 1260 + 60x$
移项合并同类项：
$-140x = -420$
解得：
$x = 3$
检验：把$ x=3 $代入原方程分母，$ 21+x=24≠0 $，$ 21-x=18≠0 $，且水流速度为3千米/时符合实际意义，所以$ x=3 $是原方程的解。
【答案】
3
【知识点】
分式方程应用，流水行船公式，分式方程求解
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题关键是准确找到时间相等的等量关系，牢记流水行船的速度计算规律，解完分式方程后务必要检验根是否满足分母不为0且符合实际情况。
【难度系数】
0.7
4. 把含盐16%的盐水40千克，配成含盐20%的盐水，需要加入盐的质量为
2
千克。答案
4.2
三、解答题
1. 学校组织部分学生参加网络培训，按计划原定的人数估计共需用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受到优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，求原定的人数是多少。
1. 学校组织部分学生参加网络培训，按计划原定的人数估计共需用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受到优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，求原定的人数是多少。
答案
1.15人
解析
【分析】
这是分式方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确核心公式“人均分摊费用=总费用÷人数”，再找到题目的关键等量关系：原计划人均分摊费用 - 实际人均分摊费用=4元。我们设原定人数为x人，就能分别表示出原计划人均费用和实际人均费用，代入等量关系列出分式方程，解方程后注意要检验根是否符合分式方程要求和实际意义。
【解析】
解：设原定的人数是x人，则人数增加后为2x人。
根据题意列分式方程：
$\frac{300}{x} - \frac{480}{2x} = 4$
化简方程得：
$\frac{300}{x} - \frac{240}{x} = 4$
即$\frac{60}{x}=4$
解得：$x=15$
检验：当$x=15$时，分母$2x=30≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且人数为正整数，符合实际意义。
【答案】
15人
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，解题关键是准确提取人均费用差值的等量关系建立方程，需要牢记分式方程求解后必须检验根是否同时满足方程和实际场景要求。
【难度系数】
0.7
这是分式方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确核心公式“人均分摊费用=总费用÷人数”，再找到题目的关键等量关系：原计划人均分摊费用 - 实际人均分摊费用=4元。我们设原定人数为x人，就能分别表示出原计划人均费用和实际人均费用，代入等量关系列出分式方程，解方程后注意要检验根是否符合分式方程要求和实际意义。
【解析】
解：设原定的人数是x人，则人数增加后为2x人。
根据题意列分式方程：
$\frac{300}{x} - \frac{480}{2x} = 4$
化简方程得：
$\frac{300}{x} - \frac{240}{x} = 4$
即$\frac{60}{x}=4$
解得：$x=15$
检验：当$x=15$时，分母$2x=30≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且人数为正整数，符合实际意义。
【答案】
15人
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，解题关键是准确提取人均费用差值的等量关系建立方程，需要牢记分式方程求解后必须检验根是否同时满足方程和实际场景要求。
【难度系数】
0.7
2. 某市为缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，须将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？
答案
2.28个月
解析
【分析】
本题属于工程类分式方程应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”。首先设原计划完成工程的时间为x个月，可得出原工作效率为总工作量除以原时间；再根据“提前3个月完成”得到实际工作时间，结合“工作效率提高12%”得到实际工作效率；最后依据“工作效率×工作时间=总工作量”的等量关系列分式方程，求解后检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设原计划完成这项工程用x个月，将总工作量记为单位“1”，则原工作效率为$\frac{1}{x}$。
实际完工时间为$(x-3)$个月，效率提高12%后，实际工作效率为$\frac{1}{x}×(1+12\%)=\frac{1.12}{x}$。
根据工作总量=工作效率×工作时间，列方程得：
$\frac{1.12}{x} · (x-3) = 1$
方程两边同时乘x去分母，得：
$1.12(x-3) = x$
展开括号：
$1.12x - 3.36 = x$
移项、合并同类项：
$0.12x = 3.36$
系数化为1，得：
$x = 28$
检验：当$x=28$时，$x≠0$，且实际工作时间$x-3=25＞0$，符合实际情况，因此$x=28$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
28个月
【知识点】
分式方程的应用，工程问题等量关系
【点评】
本题考查分式方程在工程问题中的实际应用，解题关键是明确总工作量为单位“1”的隐含条件，准确梳理原计划和实际场景下工作效率、工作时间的对应关系，求解后注意检验根既要满足方程，也要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题属于工程类分式方程应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”。首先设原计划完成工程的时间为x个月，可得出原工作效率为总工作量除以原时间；再根据“提前3个月完成”得到实际工作时间，结合“工作效率提高12%”得到实际工作效率；最后依据“工作效率×工作时间=总工作量”的等量关系列分式方程，求解后检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设原计划完成这项工程用x个月，将总工作量记为单位“1”，则原工作效率为$\frac{1}{x}$。
实际完工时间为$(x-3)$个月，效率提高12%后，实际工作效率为$\frac{1}{x}×(1+12\%)=\frac{1.12}{x}$。
根据工作总量=工作效率×工作时间，列方程得：
$\frac{1.12}{x} · (x-3) = 1$
方程两边同时乘x去分母，得：
$1.12(x-3) = x$
展开括号：
$1.12x - 3.36 = x$
移项、合并同类项：
$0.12x = 3.36$
系数化为1，得：
$x = 28$
检验：当$x=28$时，$x≠0$，且实际工作时间$x-3=25＞0$，符合实际情况，因此$x=28$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
28个月
【知识点】
分式方程的应用，工程问题等量关系
【点评】
本题考查分式方程在工程问题中的实际应用，解题关键是明确总工作量为单位“1”的隐含条件，准确梳理原计划和实际场景下工作效率、工作时间的对应关系，求解后注意检验根既要满足方程，也要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3. 兴发服装店老板用4 500元购进一批某款式衬衫，由于受顾客喜爱，很快售完. 老板又用4 950元购进第二批该款式衬衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元.
(1)第一批该款式衬衫每件进价是多少元？
(2)老板以每件120元的价格销售该款式衬衫，当第二批衬衫售出80%时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于900元，剩余的衬衫每件售价至少要多少元？
(1)第一批该款式衬衫每件进价是多少元？
(2)老板以每件120元的价格销售该款式衬衫，当第二批衬衫售出80%时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于900元，剩余的衬衫每件售价至少要多少元？
答案
3.(1)90元 (2)105元
解析
【分析】
(1) 解题核心是抓住“两次购进衬衫的数量相同”这一等量关系，其中进货数量=进货总价÷每件进价。设第一批每件进价为x元，则第二批每件进价为(x+9)元，根据两次进货数量相等列分式方程，求解后检验根是否符合实际意义即可。
(2) 先计算第二批衬衫的总进货量，再算出已售出80%的销售额，设剩余衬衫每件售价为y元，根据“总销售额-总成本≥最低利润900元”的不等关系列不等式，求解即可得到剩余衬衫的最低售价。
【解析】
(1) 设第一批该款式衬衫每件进价是x元，则第二批每件进价为$(x+9)$元。
根据两次进货数量相等，列方程：
$\frac{4500}{x}=\frac{4950}{x+9}$
交叉相乘得：$4500(x+9)=4950x$
展开整理得：$450x=40500$
解得：$x=90$
检验：当$x=90$时，$x(x+9)=90×99≠0$，所以$x=90$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 第二批衬衫每件进价为$90+9=99$元，第二批总进货量为$4950÷99=50$件。
已售出80%的数量为$50×80\%=40$件，剩余数量为$50-40=10$件。
设剩余的衬衫每件售价为y元，根据第二批销售利润不低于900元，列不等式：
$120×40 + 10y - 4950 ≥ 900$
整理得：$10y ≥ 1050$
解得：$y≥105$
【答案】
(1)90元 (2)105元
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、销售利润计算
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系，求解分式方程后要注意检验根的合理性，建立不等关系时要紧扣“不低于”等限定类关键词。
【难度系数】
0.7
(1) 解题核心是抓住“两次购进衬衫的数量相同”这一等量关系，其中进货数量=进货总价÷每件进价。设第一批每件进价为x元，则第二批每件进价为(x+9)元，根据两次进货数量相等列分式方程，求解后检验根是否符合实际意义即可。
(2) 先计算第二批衬衫的总进货量，再算出已售出80%的销售额，设剩余衬衫每件售价为y元，根据“总销售额-总成本≥最低利润900元”的不等关系列不等式，求解即可得到剩余衬衫的最低售价。
【解析】
(1) 设第一批该款式衬衫每件进价是x元，则第二批每件进价为$(x+9)$元。
根据两次进货数量相等，列方程：
$\frac{4500}{x}=\frac{4950}{x+9}$
交叉相乘得：$4500(x+9)=4950x$
展开整理得：$450x=40500$
解得：$x=90$
检验：当$x=90$时，$x(x+9)=90×99≠0$，所以$x=90$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 第二批衬衫每件进价为$90+9=99$元，第二批总进货量为$4950÷99=50$件。
已售出80%的数量为$50×80\%=40$件，剩余数量为$50-40=10$件。
设剩余的衬衫每件售价为y元，根据第二批销售利润不低于900元，列不等式：
$120×40 + 10y - 4950 ≥ 900$
整理得：$10y ≥ 1050$
解得：$y≥105$
【答案】
(1)90元 (2)105元
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用、销售利润计算
【点评】
本题是贴近生活的实际应用题，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系，求解分式方程后要注意检验根的合理性，建立不等关系时要紧扣“不低于”等限定类关键词。
【难度系数】
0.7
