4. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮.”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具贵1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同.
（1）购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？

4.(1)购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元。(2)甲种农机具最多能购买6件。

【分析】
（1）本题为分式方程实际应用题，核心等量关系为“15万元购买甲种农机具的数量=10万元购买乙种农机具的数量”。我们可以先设乙种农机具的单价为未知数，用含未知数的式子表示甲种农机具的单价，再根据“数量=总价÷单价”分别表示两种农机具的购买数量，结合等量关系列分式方程求解，最后要检验分式方程的根是否符合实际意义。
（2）本题为一元一次不等式实际应用题，核心不等关系为“购买总费用≤46万元”。设甲种农机具的购买数量为未知数，用含未知数的式子表示乙种农机具的购买数量，结合两种农机具的单价表示总费用，根据不等关系列不等式，求解后取符合题意的最大正整数即可。
【解析】
（1）设购买1件乙种农机具需要$x$万元，则购买1件甲种农机具需要$(x+1)$万元。
根据题意，得：$\frac{15}{x+1}=\frac{10}{x}$
交叉相乘去分母，得：$15x=10(x+1)$
去括号，得：$15x=10x+10$
移项、合并同类项，得：$5x=10$
系数化为1，得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$x(x+1)=2×3=6≠0$，所以$x=2$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲种农机具单价为：$x+1=2+1=3$（万元）
（2）设购买甲种农机具$a$件，则购买乙种农机具$(20-a)$件。
根据总费用不超过46万元，得：$3a+2(20-a)≤46$
去括号，得：$3a+40-2a≤46$
合并同类项，得：$a+40≤46$
移项，得：$a≤6$
所以$a$的最大正整数值为6。
【答案】
(1)购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元。(2)甲种农机具最多能购买6件。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合民生热点背景考查方程与不等式的实际应用，解题的关键是准确梳理题意，找准题目中的等量关系和不等关系，同时要注意分式方程求解后必须检验根的合理性，最终结果要符合实际生产生活的需求。
【难度系数】
0.8

【拓展思考】
观察研究、探索发现：
$\frac{1}{1 × 2} = \frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}; \frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{6}, \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}; \frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{12}, \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}; \dots$
根据你发现的规律，回答下列问题：
(1) $\frac{1}{5 × 6} = \underline{\hspace{2cm}}, \frac{1}{n × (n + 1)} = \underline{\hspace{2cm}};$
(2) 利用发现的规律计算：$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \dots + \frac{1}{n × (n + 1)};$
(3)*利用以上规律解方程：$\frac{1}{x(x + 2)} + \frac{1}{(x + 2)(x + 4)} + \dots + \frac{1}{(x + 48)(x + 50)} = \frac{1}{x + 50}.$

(1)$\frac{1}{5}-\frac{1}{6},\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2)原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
(3)原方程化为$\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}+\dots+\frac{1}{x+48}-\frac{1}{x+50})=\frac{1}{x+50}$,即$\frac{1}{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+50})=\frac{1}{x+50}$,解得x=25，经检验x=25是原方程的解。

【分析】
首先观察题目给出的等式，可总结规律：两个连续正整数乘积的倒数等于较小数的倒数减去较大数的倒数。
(1) 直接套用上述规律，即可写出对应拆分结果；
(2) 求和时将每一项按规律拆分，中间项互为相反数可两两抵消，仅剩首尾两项，化简即可得到结果；
(3) 方程中分式的分母是差为2的整式乘积，拆分时需补系数$\frac{1}{2}$（即$\frac{1}{a(a+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+2})$），拆分后同样抵消中间项，化简为整式方程求解，最后要检验解是否为原分式方程的增根。
【解析】
(1) 根据已知规律可得：
$\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，推广到一般形式：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2) 对原式每一项拆分后化简：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\&=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\&=1-\frac{1}{n+1}\\&=\frac{n}{n+1}\end{aligned}$
(3) 对左边分式按差为2的裂项规则拆分，原方程化为：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}+\dots+\frac{1}{x+48}-\frac{1}{x+50} )&=\frac{1}{x+50}\\\frac{1}{2}( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+50} )&=\frac{1}{x+50}\end{aligned}$
两边同乘$2x(x+50)$去分母得：$x+50 - x=2x$，解得$x=25$。
检验：当$x=25$时，$x(x+50)=25×75≠0$，故$x=25$是原方程的解。
【答案】
(1) $\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$；$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2) $\frac{n}{n+1}$
(3) $x=25$
【知识点】
分式裂项相消；分式化简；分式方程解法
【点评】
本题属于规律探究类题型，从基础的相邻整数裂项规律出发，逐步拓展到带系数的裂项应用，最后结合分式方程求解，重点考查规律迁移能力和运算严谨性，解题时需注意裂项系数匹配，以及分式方程必须检验增根的要求。
【难度系数】
0.6