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5. 关于x的方程$\frac{2ax}{a - x} = \frac{2}{3}$的解为x=1，则a等于(
A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.-2
D.$-\frac{1}{2}$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.2
C.-2
D.$-\frac{1}{2}$
答案
5. D
解析
【分析】
已知x=1是分式方程的解，根据方程解的定义，将x=1代入原方程，可将原方程转化为只含未知数a的分式方程，再按照分式方程的解法求解a，最后检验所得a的值是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
把x=1代入原方程$\frac{2ax}{a - x} = \frac{2}{3}$，得：
$\frac{2a×1}{a - 1} = \frac{2}{3}$
即$\frac{2a}{a - 1} = \frac{2}{3}$
交叉相乘去分母得：$3×2a = 2(a - 1)$
化简得：$6a = 2a - 2$
移项合并同类项得：$4a = -2$
系数化为1得：$a = -\frac{1}{2}$
检验：当$a = -\frac{1}{2}$时，分母$a - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} ≠ 0$，所以$a = -\frac{1}{2}$是方程的解。
【答案】
D
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 分式方程的解法
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程解的基础应用题型，解题核心是将已知解代入原方程转化为新的方程求解，求解后注意检验分母不为0，避免出现无效解。
【难度系数】
0.8
已知x=1是分式方程的解，根据方程解的定义，将x=1代入原方程，可将原方程转化为只含未知数a的分式方程，再按照分式方程的解法求解a，最后检验所得a的值是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
把x=1代入原方程$\frac{2ax}{a - x} = \frac{2}{3}$，得：
$\frac{2a×1}{a - 1} = \frac{2}{3}$
即$\frac{2a}{a - 1} = \frac{2}{3}$
交叉相乘去分母得：$3×2a = 2(a - 1)$
化简得：$6a = 2a - 2$
移项合并同类项得：$4a = -2$
系数化为1得：$a = -\frac{1}{2}$
检验：当$a = -\frac{1}{2}$时，分母$a - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} ≠ 0$，所以$a = -\frac{1}{2}$是方程的解。
【答案】
D
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 分式方程的解法
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程解的基础应用题型，解题核心是将已知解代入原方程转化为新的方程求解，求解后注意检验分母不为0，避免出现无效解。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 分式$\frac{2}{x-3}$与$\frac{3}{x}$的值相等，则x=
1. 分式$\frac{2}{x-3}$与$\frac{3}{x}$的值相等，则x=
9
.答案
1. 9
解析
【分析】
已知两个分式的值相等，首先可根据等量关系列出分式方程；接下来按照分式方程的常规求解思路：先去分母将分式方程转化为整式方程，再求解整式方程，最后必须代入最简公分母检验所得的解是否为增根，即可得到x的正确取值。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-3)$（隐含条件$x≠0$且$x≠3$），去分母得：
$2x=3(x-3)$
展开右侧式子：
$2x=3x-9$
移项、合并同类项得：
$x=9$
检验：将$x=9$代入$x(x-3)$，得$9×(9-3)=54≠0$，因此$x=9$是原分式方程的解。
【答案】
9
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题属于分式方程的基础常考题，主要考查根据等量关系列分式方程以及解分式方程的规范步骤，需特别注意验根是解分式方程必不可少的环节，可避免增根导致的错误。
【难度系数】
0.9
已知两个分式的值相等，首先可根据等量关系列出分式方程；接下来按照分式方程的常规求解思路：先去分母将分式方程转化为整式方程，再求解整式方程，最后必须代入最简公分母检验所得的解是否为增根，即可得到x的正确取值。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-3)$（隐含条件$x≠0$且$x≠3$），去分母得：
$2x=3(x-3)$
展开右侧式子：
$2x=3x-9$
移项、合并同类项得：
$x=9$
检验：将$x=9$代入$x(x-3)$，得$9×(9-3)=54≠0$，因此$x=9$是原分式方程的解。
【答案】
9
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题属于分式方程的基础常考题，主要考查根据等量关系列分式方程以及解分式方程的规范步骤，需特别注意验根是解分式方程必不可少的环节，可避免增根导致的错误。
【难度系数】
0.9
2. 当$x=$
3
时，分式$\frac{1+x}{5+x}$的值等于$\frac{1}{2}$。答案
2. 3
解析
【分析】
要找到使分式$\frac{1+x}{5+x}$的值等于$\frac{1}{2}$的$x$值，首先根据题目给出的等量关系列出分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算：先去分母将分式方程转化为我们熟悉的整式方程，解整式方程得到$x$的取值后，一定要检验该取值是否使原分式的分母不为0，确认是原方程的解后即为最终结果。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$
首先明确分式有意义的前提：$5+x≠0$，即$x≠-5$。
给方程两边同时乘以最简公分母$2(5+x)$去分母得：
$2(1+x)=5+x$
去括号：
$2+2x=5+x$
移项：
$2x-x=5-2$
合并同类项得：
$x=3$
检验：把$x=3$代入原方程分母$5+x=5+3=8≠0$，代入原方程左边得$\frac{1+3}{5+3}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，与右边相等，因此$x=3$是原方程的解。
【答案】
3
【知识点】
1. 分式方程求解
2. 去分母法则
3. 分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础题型，核心是根据题意建立等量关系列方程，求解后要注意验根，避免出现使分母为0的增根，是分式方程模块必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
要找到使分式$\frac{1+x}{5+x}$的值等于$\frac{1}{2}$的$x$值，首先根据题目给出的等量关系列出分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算：先去分母将分式方程转化为我们熟悉的整式方程，解整式方程得到$x$的取值后，一定要检验该取值是否使原分式的分母不为0，确认是原方程的解后即为最终结果。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{1+x}{5+x}=\frac{1}{2}$
首先明确分式有意义的前提：$5+x≠0$，即$x≠-5$。
给方程两边同时乘以最简公分母$2(5+x)$去分母得：
$2(1+x)=5+x$
去括号：
$2+2x=5+x$
移项：
$2x-x=5-2$
合并同类项得：
$x=3$
检验：把$x=3$代入原方程分母$5+x=5+3=8≠0$，代入原方程左边得$\frac{1+3}{5+3}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，与右边相等，因此$x=3$是原方程的解。
【答案】
3
【知识点】
1. 分式方程求解
2. 去分母法则
3. 分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础题型，核心是根据题意建立等量关系列方程，求解后要注意验根，避免出现使分母为0的增根，是分式方程模块必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
3. 若关于x的方程$\frac{x-2}{x-3}=2+\frac{m}{x-3}$无解，则m的值为
1
.答案
3. 1
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题中分式方程的分母为x-3，因此增根只能是x=3，我们先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件代入计算即可。
【解析】
解：给方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$，消去分母得：
$x - 2 = 2(x - 3) + m$
展开并整理整式方程：
$x - 2 = 2x - 6 + m$
移项合并同类项得：
$x = 4 - m$
∵原分式方程无解
∴$x = 4 - m$是原方程的增根，即$x = 3$
将$x=3$代入$x = 4 - m$得：
$3 = 4 - m$
解得：$m = 1$
【答案】
1
【知识点】
1.分式方程的增根 2.分式方程无解的条件
【点评】
本题核心考查分式方程无解的判定，解题的关键是理解增根的含义，明确增根是去分母后整式方程的解，同时会使原分式方程的分母为0，熟练掌握该类题型的解题逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题中分式方程的分母为x-3，因此增根只能是x=3，我们先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件代入计算即可。
【解析】
解：给方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$，消去分母得：
$x - 2 = 2(x - 3) + m$
展开并整理整式方程：
$x - 2 = 2x - 6 + m$
移项合并同类项得：
$x = 4 - m$
∵原分式方程无解
∴$x = 4 - m$是原方程的增根，即$x = 3$
将$x=3$代入$x = 4 - m$得：
$3 = 4 - m$
解得：$m = 1$
【答案】
1
【知识点】
1.分式方程的增根 2.分式方程无解的条件
【点评】
本题核心考查分式方程无解的判定，解题的关键是理解增根的含义，明确增根是去分母后整式方程的解，同时会使原分式方程的分母为0，熟练掌握该类题型的解题逻辑即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 已知关于x的方程$\frac{x}{x-3} -2 = \frac{m}{x-3}$有一个正数解，则m的取值范围是
$m＜6且m≠3$
.答案
4. $m＜6且m≠3$
解析
【分析】
解决此类分式方程求参数取值范围的问题，可按以下思路思考：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含参数m的代数式表示出x；第二步要考虑分式方程有解的前提：分母不为0，即x≠3，排除增根的情况；第三步结合“方程有一个正数解”即x＞0的条件，列出关于m的不等式，综合两个条件即可得到m的取值范围。
【解析】
解：给方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$，注意$x≠ 3$，去分母得：
$x - 2(x-3) = m$
展开并整理得：
$x - 2x + 6 = m$
$-x = m - 6$
解得$x = 6 - m$
∵ 原方程有一个正数解
∴ $x＞0$，即$6 - m ＞ 0$，解得$m ＜ 6$
又
∵ 分母不能为0，即$x ≠ 3$
∴ $6 - m ≠ 3$，解得$m ≠ 3$
综上，m的取值范围是$m ＜ 6$且$m ≠ 3$
【答案】
$m＜6且m≠3$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的增根
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程解的应用类常规题，解题时除了要满足题目给出的解的性质外，千万不能忽略分式方程分母不为0的前提，否则容易漏掉$m≠3$的限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
解决此类分式方程求参数取值范围的问题，可按以下思路思考：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含参数m的代数式表示出x；第二步要考虑分式方程有解的前提：分母不为0，即x≠3，排除增根的情况；第三步结合“方程有一个正数解”即x＞0的条件，列出关于m的不等式，综合两个条件即可得到m的取值范围。
【解析】
解：给方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$，注意$x≠ 3$，去分母得：
$x - 2(x-3) = m$
展开并整理得：
$x - 2x + 6 = m$
$-x = m - 6$
解得$x = 6 - m$
∵ 原方程有一个正数解
∴ $x＞0$，即$6 - m ＞ 0$，解得$m ＜ 6$
又
∵ 分母不能为0，即$x ≠ 3$
∴ $6 - m ≠ 3$，解得$m ≠ 3$
综上，m的取值范围是$m ＜ 6$且$m ≠ 3$
【答案】
$m＜6且m≠3$
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的增根
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程解的应用类常规题，解题时除了要满足题目给出的解的性质外，千万不能忽略分式方程分母不为0的前提，否则容易漏掉$m≠3$的限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 解方程：$\frac{x}{2x -5} + \frac{5}{5 -2x}=1$.
2. 解方程：$\frac{x}{x -1}=\frac{3}{2x -2}-2$.
1. 解方程：$\frac{x}{2x -5} + \frac{5}{5 -2x}=1$.
2. 解方程：$\frac{x}{x -1}=\frac{3}{2x -2}-2$.
答案
1. $x=0$ 2. $x=\frac{7}{6}$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根是否使原方程分母为0，排除增根。第1题中分母$2x-5$和$5-2x$互为相反数，先统一分母形式再确定最简公分母去分母；第2题先对$2x-2$因式分解为$2(x-1)$，找到最简公分母$2(x-1)$后去分母转化为整式方程求解即可。
【解析】
1. 解：原方程变形为：
$\frac{x}{2x-5} - \frac{5}{2x-5}=1$
方程两边同乘最简公分母$2x-5$（$2x-5≠0$），去分母得：
$x - 5 = 2x -5$
移项、合并同类项得：$-x=0$
解得：$x=0$
检验：将$x=0$代入$2x-5$，得$2×0 -5=-5≠0$，所以$x=0$是原方程的解。
2. 解：对分母因式分解，原方程改写为：
$\frac{x}{x-1}=\frac{3}{2(x-1)}-2$
方程两边同乘最简公分母$2(x-1)$（$x-1≠0$），去分母得：
$2x = 3 - 4(x-1)$
展开右边得：$2x = 3 -4x +4$
移项、合并同类项得：$6x=7$
解得：$x=\frac{7}{6}$
检验：将$x=\frac{7}{6}$代入$2(x-1)$，得$2×(\frac{7}{6}-1)=\frac{1}{3}≠0$，所以$x=\frac{7}{6}$是原方程的解。
【答案】
1. $x=0$ 2. $x=\frac{7}{6}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程的基础题型，解题时要先观察分母特征确定最简公分母，去分母时不要漏乘常数项，解完后必须验根，避免增根导致错误。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验根是否使原方程分母为0，排除增根。第1题中分母$2x-5$和$5-2x$互为相反数，先统一分母形式再确定最简公分母去分母；第2题先对$2x-2$因式分解为$2(x-1)$，找到最简公分母$2(x-1)$后去分母转化为整式方程求解即可。
【解析】
1. 解：原方程变形为：
$\frac{x}{2x-5} - \frac{5}{2x-5}=1$
方程两边同乘最简公分母$2x-5$（$2x-5≠0$），去分母得：
$x - 5 = 2x -5$
移项、合并同类项得：$-x=0$
解得：$x=0$
检验：将$x=0$代入$2x-5$，得$2×0 -5=-5≠0$，所以$x=0$是原方程的解。
2. 解：对分母因式分解，原方程改写为：
$\frac{x}{x-1}=\frac{3}{2(x-1)}-2$
方程两边同乘最简公分母$2(x-1)$（$x-1≠0$），去分母得：
$2x = 3 - 4(x-1)$
展开右边得：$2x = 3 -4x +4$
移项、合并同类项得：$6x=7$
解得：$x=\frac{7}{6}$
检验：将$x=\frac{7}{6}$代入$2(x-1)$，得$2×(\frac{7}{6}-1)=\frac{1}{3}≠0$，所以$x=\frac{7}{6}$是原方程的解。
【答案】
1. $x=0$ 2. $x=\frac{7}{6}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程的基础题型，解题时要先观察分母特征确定最简公分母，去分母时不要漏乘常数项，解完后必须验根，避免增根导致错误。
【难度系数】
0.8
3. 解方程：$\frac{x-1}{x+1} - \frac{4}{x^2 -1} = \frac{x+2}{x-1}$
4. 解方程：$\frac{7}{x^2 +x} + \frac{3}{x^2 -x} = \frac{6}{x^2 -1}$
4. 解方程：$\frac{7}{x^2 +x} + \frac{3}{x^2 -x} = \frac{6}{x^2 -1}$
答案
3. 无解 4. 无解
解析
【分析】
解分式方程的常规思路是将分式方程转化为整式方程求解，步骤如下：①先对各分母因式分解，确定最简公分母，同时明确分母不为0的隐含条件；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的值；④将解代入最简公分母检验：若最简公分母为0，则该解是增根，原方程无解；若最简公分母不为0，则该解是原方程的解，检验是必不可少的步骤。
【解析】
3. 先对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$，且隐含条件$x≠1$且$x≠-1$。
方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$(x-1)^2 - 4 = (x+2)(x+1)$
展开整理：
左边：$x^2-2x+1-4=x^2-2x-3$
右边：$x^2+3x+2$
移项合并同类项：
$x^2-2x-3 -x^2-3x-2=0$
$-5x-5=0$
解得$x=-1$
检验：当$x=-1$时，最简公分母$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是增根，原分式方程无解。
4. 先对分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，且隐含条件$x≠0$，$x≠1$，$x≠-1$。
方程两边同时乘$x(x+1)(x-1)$，去分母得：
$7(x-1) + 3(x+1) = 6x$
展开整理：
左边：$7x-7+3x+3=10x-4$
因此方程为：$10x-4=6x$
移项合并同类项得：$4x=4$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，最简公分母$x(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
3. 无解 4. 无解
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验；因式分解
【点评】
这两道题是分式方程求解的典型基础题，核心考查分式方程的求解步骤，其中检验是解分式方程必不可少的环节，增根不满足原分式方程分母不为0的要求，因此出现增根时原方程无解，解题时切勿遗漏检验步骤。
【难度系数】
0.6
解分式方程的常规思路是将分式方程转化为整式方程求解，步骤如下：①先对各分母因式分解，确定最简公分母，同时明确分母不为0的隐含条件；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的值；④将解代入最简公分母检验：若最简公分母为0，则该解是增根，原方程无解；若最简公分母不为0，则该解是原方程的解，检验是必不可少的步骤。
【解析】
3. 先对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$，且隐含条件$x≠1$且$x≠-1$。
方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$，去分母得：
$(x-1)^2 - 4 = (x+2)(x+1)$
展开整理：
左边：$x^2-2x+1-4=x^2-2x-3$
右边：$x^2+3x+2$
移项合并同类项：
$x^2-2x-3 -x^2-3x-2=0$
$-5x-5=0$
解得$x=-1$
检验：当$x=-1$时，最简公分母$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=-1$是增根，原分式方程无解。
4. 先对分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，且隐含条件$x≠0$，$x≠1$，$x≠-1$。
方程两边同时乘$x(x+1)(x-1)$，去分母得：
$7(x-1) + 3(x+1) = 6x$
展开整理：
左边：$7x-7+3x+3=10x-4$
因此方程为：$10x-4=6x$
移项合并同类项得：$4x=4$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，最简公分母$x(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
3. 无解 4. 无解
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验；因式分解
【点评】
这两道题是分式方程求解的典型基础题，核心考查分式方程的求解步骤，其中检验是解分式方程必不可少的环节，增根不满足原分式方程分母不为0的要求，因此出现增根时原方程无解，解题时切勿遗漏检验步骤。
【难度系数】
0.6
在解决较复杂的运算过程中,我们往往会把某个较复杂的代数式看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,我们称之为“换元法”.
例如:已知$\frac{2}{2y^2 + 3y +7}=\frac{1}{4}$,求代数式$\frac{1}{4y^2 +6y -1}$的值.
解题过程:不妨设$m=2y^2 +3y$,$\frac{2}{2y^2 + 3y +7}=\frac{1}{4}$换元后可写成$\frac{2}{m +7}=\frac{1}{4}$,解得$m=1$.经检验,$m=1$是$\frac{2}{m +7}=\frac{1}{4}$的解,那么代数式$\frac{1}{4y^2 +6y -1}=\frac{1}{2m -1}=1$.
同学们,我们在学习整式方程的时候,学过方程组的解法,那么分式方程有没有方程组呢?
尝试利用“换元法”解下列分式方程组:
例如:已知$\frac{2}{2y^2 + 3y +7}=\frac{1}{4}$,求代数式$\frac{1}{4y^2 +6y -1}$的值.
解题过程:不妨设$m=2y^2 +3y$,$\frac{2}{2y^2 + 3y +7}=\frac{1}{4}$换元后可写成$\frac{2}{m +7}=\frac{1}{4}$,解得$m=1$.经检验,$m=1$是$\frac{2}{m +7}=\frac{1}{4}$的解,那么代数式$\frac{1}{4y^2 +6y -1}=\frac{1}{2m -1}=1$.
同学们,我们在学习整式方程的时候,学过方程组的解法,那么分式方程有没有方程组呢?
尝试利用“换元法”解下列分式方程组:
答案
$\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = -\frac{1}{4} \end{cases}$
解析
【分析】
观察方程组可发现两个方程的分母均为$3x+2y$和$3x-2y$，两个整体重复出现，适合用换元法简化运算：先设$u=\frac{1}{3x+2y}$，$v=\frac{1}{3x-2y}$，将原分式方程组转化为关于$u、v$的二元一次方程组，求解$u、v$后再反解得到$x、y$的值，最后检验所得解是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
解：设$u=\frac{1}{3x+2y}$，$v=\frac{1}{3x-2y}$，则原方程组可转化为：
$\begin{cases} u + 4v = 3 \quad \mathrm{①} \\ 4u - 2v = 3 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将②×2得：$8u - 4v = 6 \quad \mathrm{③}$
①+③得：$9u=9$，解得$u=1$。
把$u=1$代入①得：$1 + 4v = 3$，解得$v=\frac{1}{2}$。
因此可得：
$\begin{cases} \frac{1}{3x+2y}=1 \\ \frac{1}{3x-2y}=\frac{1}{2} \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} 3x + 2y = 1 \quad \mathrm{④} \\ 3x - 2y = 2 \quad \mathrm{⑤} \end{cases}$
④+⑤得：$6x=3$，解得$x=\frac{1}{2}$。
把$x=\frac{1}{2}$代入④得：$3×\frac{1}{2} + 2y =1$，解得$y=-\frac{1}{4}$。
检验：将$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{4}$代入原方程组的分母，$3x+2y=1≠0$，$3x-2y=2≠0$，所以所得解是原方程组的解。
【答案】
$\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = -\frac{1}{4} \end{cases}$
【知识点】
换元法解分式方程组；二元一次方程组的解法；分式方程验根
【点评】
本题通过换元法将结构复杂的分式方程组转化为熟悉的二元一次方程组求解，降低了解题难度，需要注意分式方程组求解后必须检验解是否使原分母不为零，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
观察方程组可发现两个方程的分母均为$3x+2y$和$3x-2y$，两个整体重复出现，适合用换元法简化运算：先设$u=\frac{1}{3x+2y}$，$v=\frac{1}{3x-2y}$，将原分式方程组转化为关于$u、v$的二元一次方程组，求解$u、v$后再反解得到$x、y$的值，最后检验所得解是否使原方程分母不为0即可。
【解析】
解：设$u=\frac{1}{3x+2y}$，$v=\frac{1}{3x-2y}$，则原方程组可转化为：
$\begin{cases} u + 4v = 3 \quad \mathrm{①} \\ 4u - 2v = 3 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将②×2得：$8u - 4v = 6 \quad \mathrm{③}$
①+③得：$9u=9$，解得$u=1$。
把$u=1$代入①得：$1 + 4v = 3$，解得$v=\frac{1}{2}$。
因此可得：
$\begin{cases} \frac{1}{3x+2y}=1 \\ \frac{1}{3x-2y}=\frac{1}{2} \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} 3x + 2y = 1 \quad \mathrm{④} \\ 3x - 2y = 2 \quad \mathrm{⑤} \end{cases}$
④+⑤得：$6x=3$，解得$x=\frac{1}{2}$。
把$x=\frac{1}{2}$代入④得：$3×\frac{1}{2} + 2y =1$，解得$y=-\frac{1}{4}$。
检验：将$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{4}$代入原方程组的分母，$3x+2y=1≠0$，$3x-2y=2≠0$，所以所得解是原方程组的解。
【答案】
$\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = -\frac{1}{4} \end{cases}$
【知识点】
换元法解分式方程组；二元一次方程组的解法；分式方程验根
【点评】
本题通过换元法将结构复杂的分式方程组转化为熟悉的二元一次方程组求解，降低了解题难度，需要注意分式方程组求解后必须检验解是否使原分母不为零，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
