三、解答题
1. 计算:
(1)$(6 × 10^{-5}) × (7 × 10^{-3})$
(2)$(6 × 10^{-8}) ÷ (3 × 10^{-5})$
(3)$(\frac{1}{2} p^{-1} q^{-3}) ÷ (-\frac{2}{3} p^{-2} q^{-4})$

1. (1)$4.2×10^{-7}$ (2)$2×10^{-3}$ (3)$-\dfrac{3}{4}pq$

【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题思路如下：
1. 对于科学记数法表示的数的乘除运算：先将系数单独进行乘除运算，再将同底数幂按照“同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减”的规则运算，最后调整结果为规范的科学记数法形式即可。
2. 对于含负指数幂的整式除法：先把系数相除，再分别对相同字母的幂按同底数幂除法法则计算，注意系数的符号不要算错，最后化简结果即可。
【解析】
(1) 计算$(6 × 10^{-5}) × (7 × 10^{-3})$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(6×7)×(10^{-5}×10^{-3})\\&=42×10^{-5-3}\\&=42×10^{-8}\\&=4.2×10^{-7}\end{aligned}$
(2) 计算$(6 × 10^{-8}) ÷ (3 × 10^{-5})$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(6÷3)×(10^{-8}÷10^{-5})\\&=2×10^{-8 - (-5)}\\&=2×10^{-3}\end{aligned}$
(3) 计算$(\frac{1}{2} p^{-1} q^{-3}) ÷ (-\frac{2}{3} p^{-2} q^{-4})$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{1}{2} ÷ (-\frac{2}{3})] × (p^{-1}÷p^{-2}) × (q^{-3}÷q^{-4})\\&=[\frac{1}{2} × (-\frac{3}{2})] × p^{-1 - (-2)} × q^{-3 - (-4)}\\&=-\frac{3}{4} × p^{1} × q^{1}\\&=-\frac{3}{4}pq\end{aligned}$
【答案】
(1)$4.2×10^{-7}$ (2)$2×10^{-3}$ (3)$-\dfrac{3}{4}pq$
【知识点】
同底数幂的乘除法、负整数指数幂、整式除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的运算法则在整数指数范围内的应用，计算时要注意两点：一是系数运算不要漏看符号，二是幂的指数加减运算要注意负号的处理，熟练掌握运算法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

2. 一个正方体集装箱的棱长为0.4 m.
(1)用科学记数法表示这个集装箱的体积；
(2)若有一个小立方块的棱长为$1× 10^{-3}$ m,则把集装箱装满需要这样的小立方块多少个?(用科学记数法表示)

2. (1)$6.4×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$ (2)$6.4×10^7$个

【分析】
（1）求解集装箱体积，首先回忆正方体体积公式：正方体体积=棱长³，先计算出棱长为0.4m的正方体体积，再根据科学记数法的规则（形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数）将结果改写为科学记数法即可。
（2）求装满集装箱需要的小立方块数量，本质是求大正方体体积是小立方块体积的多少倍，先计算出小立方块的体积，再用集装箱体积除以小立方块体积，结合负整数指数幂的运算法则计算，最后将结果表示为科学记数法即可。
【解析】
解：（1）正方体的体积公式为$V = a^3$（$a$为棱长）
将$a=0.4\ \mathrm{m}$代入得：
$V=(0.4)^3=0.064\ \mathrm{m}^3$
转换为科学记数法：$0.064 = 6.4×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$
（2）先计算小立方块的体积：
小立方块棱长为$1×10^{-3}\ \mathrm{m}$，则其体积$V_{\mathrm{小}}=(1×10^{-3})^3=1^3×(10^{-3})^3=1×10^{-9}\ \mathrm{m}^3$
需要的小立方块个数$n=\frac{V}{V_{\mathrm{小}}}=\frac{6.4×10^{-2}}{1×10^{-9}}=6.4×10^{-2 - (-9)}=6.4×10^7$（个）
【答案】
(1)$6.4×10^{-2}\ \mathrm{m}^3$ (2)$6.4×10^7$个
【知识点】
正方体体积计算，科学记数法，负整数指数幂运算
【点评】
本题结合实际生活场景考查基础运算，解题的关键是熟练掌握正方体体积公式、科学记数法的书写规范以及幂的运算法则，计算时需注意指数的加减运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.7

一、选择题
1. 下列式子中,是分式方程的是()

A.$\frac{5}{y+1} -1$
B.$\frac{x}{3} = \frac{x-2}{4}$
C.$\frac{y-2}{y+2} =3$
D.$\frac{x}{5} = \frac{x}{6} -1$

1. C

【分析】
要判断哪个是分式方程，首先需要明确分式方程的判定条件：①首先是方程，即必须是含有未知数的等式；②分母中含有未知数。解题时可按照这两个条件逐一排查选项：先排除不是等式的选项，再排除分母不含未知数的选项，剩下的就是符合要求的分式方程。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐一分析选项：
选项A：$\frac{5}{y+1} -1$没有等号，属于代数式，不是方程，直接排除；
选项B：$\frac{x}{3} = \frac{x-2}{4}$的分母为3和4，都是常数，不含未知数，属于一元一次整式方程，不是分式方程，排除；
选项C：$\frac{y-2}{y+2} =3$是含有未知数$y$的等式，且分母$y+2$中含有未知数$y$，符合分式方程的定义；
选项D：$\frac{x}{5} = \frac{x}{6} -1$的分母为5和6，都是常数，不含未知数，属于一元一次整式方程，不是分式方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义；方程的判定；整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是抓住分式方程的判定核心：分母是否含有未知数，不要仅看到式子有分数形式就误认为是分式方程，掌握概念即可快速准确解题。
【难度系数】
0.9

2. 解分式方程$\frac{3}{x-2}+\frac{x}{2-x}=4$时，去分母后得()

A.$3-x=4(x-2)$
B.$3+x=4(x-2)$
C.$3(2-x)+x(x-2)=4$
D.$3-x=4$

2. A

【分析】
要解决这道题，首先回忆分式方程去分母的解题思路：第一步先确定最简公分母，观察方程的两个分母$x-2$和$2-x$，二者互为相反数，可先将第二个分式的分母转化为$x-2$的形式，得到最简公分母为$x-2$；第二步给方程左右两边的每一项都乘最简公分母，注意常数项也要乘，不能漏乘，同时注意符号变化，得到去分母后的整式方程后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先对原方程的第二个分式变形，$\because 2-x=-(x-2)$，$\therefore$原方程可化为：
$\frac{3}{x-2}-\frac{x}{x-2}=4$
该方程的最简公分母为$(x-2)$，给方程左右两边同时乘以$(x-2)$（隐含$x≠2$的条件），去分母得：
$3 - x = 4(x-2)$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母，分式的基本性质
【点评】
这道题是分式方程去分母的基础题型，易错点主要有两处：一是忽略$2-x$和$x-2$互为相反数，导致第二个分式的分子符号出错；二是去分母时漏乘等号右侧的常数项4。做题时先统一分母形式，再给每一项乘最简公分母，就能有效规避这类错误。
【难度系数】
0.8

3. 方程$\frac{1-x}{x-2}+2=\frac{1}{2-x}$的根是()

A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.此方程无解

3. D

【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题遵循分式方程的常规求解逻辑：首先确定分母的最简公分母，注意到$2-x=-(x-2)$，因此最简公分母为$x-2$，同时要明确分式有意义的前提是分母不为0，即$x≠2$；其次给方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解；最后必须对求出的整式方程的根进行检验，若根使最简公分母为0，则该根是增根，原分式方程无解。
【解析】
解：先将方程右侧变形，统一分母形式：
$\frac{1-x}{x-2}+2=-\frac{1}{x-2}$
根据分式有意义的条件可得：$x-2≠0$，即$x≠2$
方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$去分母得：
$1-x + 2(x-2) = -1$
展开整理整式方程：
$1 - x + 2x - 4 = -1$
$x - 3 = -1$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，最简公分母$x-2=0$，因此$x=2$是原方程的增根，原分式方程无解。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程的基础考查题，易错点有两个：一是去分母时常数项2漏乘最简公分母$(x-2)$导致计算错误；二是解完整式方程后忘记检验，误将增根$x=2$当成原方程的根，需牢记“检验”是解分式方程必不可少的步骤。
【难度系数】
0.6

4. 若$\frac{1}{x+4}$与$\frac{2}{4-x}$的值互为相反数，则$x$的值为()

A.12
B.6
C.0
D.-12

4. D

【分析】
首先根据互为相反数的两个数之和为0的性质，列出关于x的分式方程；再按照分式方程的求解步骤，先去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程得到x的候选值，最后代入最简公分母检验，确定方程的解即可。
【解析】
解：
∵$\frac{1}{x+4}$与$\frac{2}{4-x}$互为相反数
∴$\frac{1}{x+4} + \frac{2}{4-x} = 0$
方程两边同时乘以最简公分母$(x+4)(4-x)$，消去分母得：
$4 - x + 2(x + 4) = 0$
展开括号：$4 - x + 2x + 8 = 0$
合并同类项：$x + 12 = 0$
解得：$x = -12$
检验：将$x=-12$代入$(x+4)(4-x)$，得$(-12+4)×[4 - (-12)] = -8×16 = -128 ≠ 0$，故$x=-12$是原分式方程的解。
【答案】
D
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 分式方程的解法
3. 分式方程验根
【点评】
本题核心是利用相反数的性质建立方程，重点考察分式方程的求解流程，解题时要注意去分母时的符号处理，同时切记分式方程必须验根，排除增根的情况。
【难度系数】
0.7