1. 新题型 新定义（2025·商丘期末）对于任意4个实数 $a、b、c、d$，定义一种新的运算：
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$。例如：$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}=3×6 - 4×5=-2$。
则关于 $x$ 的方程 $\begin{vmatrix} k-x & -3 \\ 2 & x \end{vmatrix}=0$ 的根的情况为
（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定

A

2. (2024·潍坊中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx - n^2 + mn + 1 = 0$，其中$m$、$n$满足$m - 2n = 3$，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定

C

3. (通辽中考)若关于$x$的一元二次方程$(k+1)x^2+2(k+1)x+k-2=0$有实数根,则$k$的取值范围在数轴上表示正确的是 $( )$

A

4. 若关于 x 的一元二次方程$ 2x(kx - 4) - x^2 + 6 = 0 $无实数根，则 k 的最小整数值是_________ 。

2

5. 已知$ y $是关于$ x $的函数，若该函数的图像经过点$ P(t,t) $，则称点$ P $为函数图像上的“不动点”，例如：直线$ y = 2x - 3 $上存在“不动点”$ P(3,3) $。若函数$ y=(m - 1)x^2 - 3x + 2m $的图像上存在唯一“不动点”，则$ m=$______．

2或-1或1

6. (2024·济南模拟)如图,已知一次函数$y=\frac{3}{4}x+3$的图像与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像交于$A(4,m)$,$B$两点,交$y$轴于点$C$.
(1)求反比例函数的表达式和点$B$的坐标.
(2)过点$C$的直线交$x$轴于点$E$,且与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像只有一个交点,求点$E$的坐标.

解: (1)因为直线$y = \frac{3}{4}x + 3$过点$(4,m)，$
所以$m=\frac{3}{4}×4 + 3=6，$
则$A(4,6)。$ 又因为反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图像过点$A(4,6)，$
所以$k = 4×6 = 24，$
反比例函数的表达式为$y=\frac{24}{x}。$ 联立$\begin{cases}y=\frac{3}{4}x + 3\\y=\frac{24}{x}\end{cases}，$
将$y=\frac{24}{x}$代入$y=\frac{3}{4}x + 3$得$\frac{24}{x}=\frac{3}{4}x + 3，$
等式两边同乘$4x$得$96 = 3x^{2}+12x，$
即$x^{2}+4x - 32 = 0，$
因式分解得$(x - 4)(x + 8)=0，$
解得$x = 4$或$x=-8。$ 当$x = 4$时，$y = 6；$
当$x=-8$时，$y=-3，$
所以$B(-8,-3)。$ (2) 在$y=\frac{3}{4}x + 3$中，令$x = 0，$得$y = 3，$
所以$C(0,3)。$
设直线$CE$的表达式为$y=k'x + 3。$ 联立$\begin{cases}y=k'x + 3\\y=\frac{24}{x}\end{cases}，$得$k'x^{2}+3x - 24 = 0。$ 因为直线$CE$与双曲线$y=\frac{24}{x}$只有一个交点，所以$b^{2}-4ac=3^{2}-4×k'×(-24)=9 + 96k'=0，$
解得$k'=-\frac{3}{32}。$ 所以直线$CE$的表达式为$y=-\frac{3}{32}x + 3。$
令$y = 0，$得$0=-\frac{3}{32}x + 3，$
解得$x = 32，$
所以$E(32,0)。$

7. (2023·眉山中考)已知方程$x^2 - 3x - 4 = 0$的根为$x_1$、$x_2$，则$(x_1 + 2)(x_2 + 2)$的值为______．

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8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 5x + 2 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ α $、$ β $，则 $ \sqrt{\frac{β}{α}} + \sqrt{\frac{α}{β}} = \_\_\_\_\_\_ $。

$\frac{5\sqrt{2}}{2}$

9. (1)(2024·烟台中考)若一元二次方程$2x^2 - 4x - 1 = 0$的两根为$m$、$n$，则$3m^2 - 4m + n^2$的值为______。
(2)已知$a$、$b$是一元二次方程$x^2 + x - 1 = 0$的两根，则$3a^2 - b + \dfrac{2}{a^2}$的值是______。

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