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11. 若关于$ x $的一元二次方程$ x^2 + (a^2 - 2a)x + a - 1 = 0 $的两个实数根互为相反数，则$ a = \_\_\_\_\_\_ $．
答案
0
12. (烟台中考)已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 4x + m - 1 = 0 $的实数根$ x_1 $、$ x_2 $满足$ 3x_1x_2 - x_1 - x_2 ＞ 2 $，则$ m $的取值范围是______．
答案
$3\lt m\leqslant5$
13. (1)(2024·德州中考)已知$a$和$b$是方程$x^2 + 2024x - 4 = 0$的两个解，则$a^2 + 2023a - b$的值为______．
(2)(呼和浩特中考改编)已知$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - x - 1000 = 0$的两个实数根，则代数式$x_1^3 - 1000x_1 + x_2^2$的值是______．
(2)(呼和浩特中考改编)已知$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - x - 1000 = 0$的两个实数根，则代数式$x_1^3 - 1000x_1 + x_2^2$的值是______．
答案
2028
; 2001
; 2001
14. (2024·达州期末)关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 5 = 0$有两个实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$\mathrm{Rt}△ ABC$的两条直角边$AC$、$BC$的长恰好是此方程的两个实数根，斜边$AB=6$，求$\mathrm{Rt}△ ABC$的周长.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若$\mathrm{Rt}△ ABC$的两条直角边$AC$、$BC$的长恰好是此方程的两个实数根，斜边$AB=6$，求$\mathrm{Rt}△ ABC$的周长.
答案
解：$(1)$∵关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m + 1)x$$+\mathrm {m^2}+5 = 0$有两个实数根， ∴$b^2-4ac = 4(m + 1)^2-4(\mathrm {m^2}+5)$$=8m-16\geqslant 0，$$ $解得$m\geqslant 2。$$ (2)$设$AC = x_{1}，$$BC = x_{2}，$则$x_{1}、$$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m + 1)x$$+\mathrm {m^2}+5 = 0$的两个实数根， ∴$x_{1} + x_{2} = 2(m + 1)，$$x_{1}x_{2} =\mathrm {m^2}+5。$ ∵$(x_{1} + x_{2})^2=x_{1}^2+x_{2}^2+2x_{1}x_{2}，$∴$x_{1}^2+x_{2}^2=(x_{1} + x_{2})^2-2x_{1}x_{2}$$=[2(m + 1)]^2-2(\mathrm {m^2}+5)$$=4(m + 1)^2-2\ \mathrm {m^2}-10$$=2\ \mathrm {m^2}+8m-6，$ 根据勾股定理，得$x_{1}^2+x_{2}^2=AB^2=36，$ ∴$2\ \mathrm {m^2}+8m-6 = 36，$$ $解得$m_{1} = 3，$$m_{2}=-7($舍去$)，$ ∴$x_{1} + x_{2} = 2(m + 1)=8，$ ∴$AC + BC = 8，$ ∴$\triangle ABC$的周长为$8 + 6 = 14。$
15. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 \ (a ≠ 0) $ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。
(1) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + k = 0 $ 是“倍根方程”，求 $ k $ 的值；
(2) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ nx^2 - (3n + 3m)x + 8m = 0 \ (n ≠ 0) $ 是“倍根方程”，求该方程的根。
(1) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + k = 0 $ 是“倍根方程”，求 $ k $ 的值；
(2) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ nx^2 - (3n + 3m)x + 8m = 0 \ (n ≠ 0) $ 是“倍根方程”，求该方程的根。
答案
解：(1)设这个方程的两个根分别为$a$和$2a，$
则$a + 2a=-\frac{-6}{1}=6，$ 解得$a = 2，$即这个方程的一个根为$2，$ 将$x = 2$代入方程$x^{2}-6x + k = 0$得$4-12 + k = 0，$ 解得$k = 8。$ (2)解：设这个方程的两个根分别为$β$和$2β，$
由题意得$\begin{cases}β+ 2β=\frac{3n + 3m}{n}&①\\β·2β=\frac{8m}{n}&②\end{cases}，$ 整理得$(m - n)^{2}=0，$
$∴m = n，$ 将$m = n$代入①得$β+ 2β=\frac{3n + 3n}{n}=6，$ 解得$β= 2，$$∴2β= 2×2 = 4，$ $∴$该方程的根为$x = 2$或$x = 4。$
则$a + 2a=-\frac{-6}{1}=6，$ 解得$a = 2，$即这个方程的一个根为$2，$ 将$x = 2$代入方程$x^{2}-6x + k = 0$得$4-12 + k = 0，$ 解得$k = 8。$ (2)解：设这个方程的两个根分别为$β$和$2β，$
由题意得$\begin{cases}β+ 2β=\frac{3n + 3m}{n}&①\\β·2β=\frac{8m}{n}&②\end{cases}，$ 整理得$(m - n)^{2}=0，$
$∴m = n，$ 将$m = n$代入①得$β+ 2β=\frac{3n + 3n}{n}=6，$ 解得$β= 2，$$∴2β= 2×2 = 4，$ $∴$该方程的根为$x = 2$或$x = 4。$
16. 【新趋势 项目式学习】小华在学完《一元二次方程的根与系数的关系》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣。下面是他收集的素材，请根据素材帮助他完成相应问题：
【素材1】一元三次方程的定义：我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，一般形式为$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a、b、c、d$为常数，且$a≠0$）。
【素材2】一元三次方程的解法：若一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a≠0$）的左边在实数范围内可因式分解为$a(x-p)(x-q)(x-r)$（$p、q、r$为实数），即原方程化为$a(x-p)(x-q)(x-r)=0$，则得方程的根为$x_1=p$，$x_2=q$，$x_3=r$。
【素材3】一元二次方程根与系数的关系的探究过程：设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）有两个根$x_1、x_2$，则方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$，即$ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2 = 0$，与原方程比较，可得根与系数的等量关系为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 若关于$x$的三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a、b、c、d$为常数，且$a≠0$）的左边可分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)$，则方程$ax^3+bx^2+cx+d = 0$的三个根分别为$x_1=$______，$x_2=$______，$x_3=$______。
(2) 若关于$x$的三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a、b、c、d$为常数，且$a≠0$）的三个根为$x_1、x_2、x_3$，探究根与系数（$a、b、c、d$）之间的等量关系为$x_1 + x_2 + x_3 =$______，$x_1 · x_2 · x_3 =$______。
(3) 利用(2)中的结论解决：若方程$2x^3+x^2-7x-6=0$的三个根为$α、β、\gamma$，则$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}$的值为________。
【素材1】一元三次方程的定义：我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，一般形式为$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a、b、c、d$为常数，且$a≠0$）。
【素材2】一元三次方程的解法：若一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a≠0$）的左边在实数范围内可因式分解为$a(x-p)(x-q)(x-r)$（$p、q、r$为实数），即原方程化为$a(x-p)(x-q)(x-r)=0$，则得方程的根为$x_1=p$，$x_2=q$，$x_3=r$。
【素材3】一元二次方程根与系数的关系的探究过程：设一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）有两个根$x_1、x_2$，则方程可化为$a(x-x_1)(x-x_2)=0$，即$ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2 = 0$，与原方程比较，可得根与系数的等量关系为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 若关于$x$的三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a、b、c、d$为常数，且$a≠0$）的左边可分解为$a(x-1)(x+2)(x-3)$，则方程$ax^3+bx^2+cx+d = 0$的三个根分别为$x_1=$______，$x_2=$______，$x_3=$______。
(2) 若关于$x$的三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$（$a、b、c、d$为常数，且$a≠0$）的三个根为$x_1、x_2、x_3$，探究根与系数（$a、b、c、d$）之间的等量关系为$x_1 + x_2 + x_3 =$______，$x_1 · x_2 · x_3 =$______。
(3) 利用(2)中的结论解决：若方程$2x^3+x^2-7x-6=0$的三个根为$α、β、\gamma$，则$\frac{1}{αβ}+\frac{1}{β\gamma}+\frac{1}{α\gamma}$的值为________。
答案
1
; -2
; 3
; $-\frac{b}{a}$ ; $-\frac{d}{a}$ ; $-\frac{1}{6}$
; -2
; 3
; $-\frac{b}{a}$ ; $-\frac{d}{a}$ ; $-\frac{1}{6}$
