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1. (2023·天津中考)若$x_1$、$x_2$是方程$x^2 - 6x - 7 = 0$的两个根，则（ ）
A. $x_1 + x_2 = 6$
B. $x_1 + x_2 = -6$
C. $x_1 · x_2 = \dfrac{7}{6}$
D. $x_1 · x_2 = 7$
A. $x_1 + x_2 = 6$
B. $x_1 + x_2 = -6$
C. $x_1 · x_2 = \dfrac{7}{6}$
D. $x_1 · x_2 = 7$
答案
A
2. (2025·连云港期中)已知一元二次方程的两根分别是3和-5,则这个一元二次方程可以是
( )
A. $x^2 - 2x + 15 = 0$
B. $x^2 + 2x - 15 = 0$
C. $x^2 - x - 6 = 0$
D. $x^2 - 2x - 15 = 0$
( )
A. $x^2 - 2x + 15 = 0$
B. $x^2 + 2x - 15 = 0$
C. $x^2 - x - 6 = 0$
D. $x^2 - 2x - 15 = 0$
答案
B
3. (2024·巴中中考)已知方程$x^2 - 2x + k = 0$的一个根为-2,则方程的另一个根为______.
答案
4
4. (1)(2023·黄冈中考)已知一元二次方程$x^2 - 3x + k = 0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$，若$x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 = 1$，则实数$k=$______．
(2)(2024·日照中考改编)已知实数$x_1$、$x_2$（$x_1 ≠ x_2$）是关于$x$的方程$kx^2 + 2kx + 1 = 0$（$k ≠ 0$）的两个根，若$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 2$，则$k$的值为________．
(2)(2024·日照中考改编)已知实数$x_1$、$x_2$（$x_1 ≠ x_2$）是关于$x$的方程$kx^2 + 2kx + 1 = 0$（$k ≠ 0$）的两个根，若$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 2$，则$k$的值为________．
答案
-5
; -1
; -1
5. 方程$x^2 - 3x + 6 = 0$与方程$x^2 - 6x + 3 = 0$所有实数根的和等于______．
答案
6
6. 设$x_1$、$x_2$是方程$2x^2 + 3x - 4 = 0$的两个实数根，不解方程求下列各式的值：
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(2) $x_1^2 + x_2^2$。
(1) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(2) $x_1^2 + x_2^2$。
答案
解：根据题意，得$x_{1} + x_{2} =-\frac {3}{2}，$$x_{1}x_{2} = - 2。$$ (1)x_{1}^2x_{2}+x_{1}x_{2}^2$$=x_{1}x_{2}(x_{1} + x_{2})$$=(-2)×(-\frac {3}{2}) $$= 3。$$ (2)x_{1}^2+x_{2}^2$$=(x_{1} + x_{2})^2-2x_{1}x_{2}$$=(-\frac {3}{2})^2-2×(-2)$$=\frac {9}{4}+4$$=\frac {25}{4}。$
7. (2024·日照校级月考)已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - (2k + 1)x + \frac{1}{2}k^2 - 2 = 0 $。
(1)求证:无论$ k $为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根$ x_1 $、$ x_2 $满足$ x_1 - x_2 = 3 $,求$ k $的值.
(1)求证:无论$ k $为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根$ x_1 $、$ x_2 $满足$ x_1 - x_2 = 3 $,求$ k $的值.
答案
证明：$(1)$∵$b^2-4ac$$=[-(2k + 1)]^2-4×1×(\frac {1}{2}k^2-2)$$=4k^2+4k + 1-2k^2+8$$=2k^2+4k + 9$$=2(k + 1)^2+7＞0，$ ∴无论$k$为何实数，方程总有两个不相等的实数根。$ (2)$由根与系数的关系得出$x_{1} + x_{2} = 2k + 1，$$x_{1}x_{2}=\frac {1}{2}k^2-2。$ ∵$x_{1} - x_{2} = 3，$∴$(x_{1} - x_{2})^2=9，$ ∴$(x_{1} + x_{2})^2-4x_{1}x_{2} = 9，$ ∴$(2k + 1)^2-4×(\frac {1}{2}k^2-2)=9，$$ $化简得$k^2+2k = 0，$$ $解得$k = 0$或$k=-2。$
8. 如图,四边形ABCD是边长为5的菱形,对角线AC、BD的长度分别是一元二次方程$x^2+mx+24=0$的两个实数根,DH是AB边上的高,则DH的值为 ( )
A. 1.2
B. 2.4
C. 3.6
D. 4.8
A. 1.2
B. 2.4
C. 3.6
D. 4.8
答案
B
9. (2025·保定期中)如图,一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两个根对应的点分别落在数轴上P、Q两个区域内,则b和c的值可能为 ( )
A. $1,-\dfrac{3}{4}$
B. $-1,\dfrac{3}{4}$
C. $-1,-\dfrac{3}{4}$
D. $1,\dfrac{3}{4}$
A. $1,-\dfrac{3}{4}$
B. $-1,\dfrac{3}{4}$
C. $-1,-\dfrac{3}{4}$
D. $1,\dfrac{3}{4}$
答案
A
10. (泸州中考)已知$m、n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2tx + t^2 - 2t + 4 = 0$的两个实数根，则$(m+2)(n+2)$的最小值是（ ）
A. 7
B. 11
C. 12
D. 16
A. 7
B. 11
C. 12
D. 16
答案
D
