10. 若$x_1$、$x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$的两个实数根，且$x_1 + 2x_2 = 5$，则$m$的值是______．

$\pm1$

11. 若关于$ x $的方程$ x^2 + (k - 2)x + k^2 = 0 $的两根互为倒数，则$ k = \_\_\_\_\_\_ $．

-1

12. (内江中考)已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2x + k - 1 = 0$的两实数根，且$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2} = x_1^2 + 2x_2 - 1$，则$k$的值为$\underline{\hspace{5em}}$．

2

13. (2024·内江中考节选)已知关于x的一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$（p为常数）有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.若$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1$,求p的值.

解:由根与系数的关系得，​$x_{1}+x_{2}=p，$​​$x_{1}x_{2}=1，$​因为​$x_{1}^2+x_{2}^2=2p + 1，$​所以​$(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2}=2p + 1，$​即​$p^2-2 = 2p + 1，$​​$p^2-2p - 3 = 0，$​因式分解得​$(p - 3)(p + 1)=0，$​解得​$p=-1$​或​$p = 3。$​​$ $​当​$p=-1$​时，​$b^2-4ac=(-1)^2-4×1×1=-3<0，$​不合题意，舍去；当​$p = 3$​时，​$b^2-4ac=3^2-4×1×1=5>0，$​符合题意，所以​$p = 3。$​

14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2k = 0 $ 有两个实数根 $ x_1 $、$ x_2 $。
(1) 求实数 $ k $ 的取值范围。
(2) 是否存在实数 $ k $，使得 $ x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 ≥ 0 $ 成立？若存在，请求出 $ k $ 的值；若不存在，请说明理由。

解​$： (1) $​因为原方程有两个实数根，所以​$[-(2k + 1)]^2-4(k^2+2k)\geqslant 0，$​即​$4k^2+4k + 1-4k^2-8k\geqslant 0，$​​$1-4k\geqslant 0，$​解得​$k\leqslant \frac {1}{4}。$​​$ (2) $​不存在，理由：假设存在实数​$k$​使得​$x_{1}x_{2}-x_{1}^2-x_{2}^2\geqslant 0$​成立。​$ $​因为​$x_{1}、$​​$x_{2}$​是原方程的两个根，所以​$x_{1}+x_{2}=2k + 1，$​​$x_{1}x_{2}=k^2+2k。$​​$ $​由​$x_{1}x_{2}-x_{1}^2-x_{2}^2\geqslant 0，$​得​$3x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})^2\geqslant 0。$​​$ $​所以​$3(k^2+2k)-(2k + 1)^2\geqslant 0，$​展开得​$3k^2+6k-(4k^2+4k + 1)\geqslant 0，$​即​$3k^2+6k - 4k^2-4k - 1\geqslant 0，$​整理得​$-k^2+2k - 1\geqslant 0，$​也就是​$-(k - 1)^2\geqslant 0，$​只有当​$k = 1$​时，上式才能成立。​$ $​又由​$(1)$​知​$k\leqslant \frac {1}{4}，$​所以不存在实数​$k$​使得​$x_{1}x_{2}-x_{1}^2-x_{2}^2\geqslant 0$​成立。

15. 如果方程$(x-1)(x^2 - 2x + \dfrac{k}{4})=0$的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么$k$的取值范围是______.

$3\lt k\leqslant4$

16. 已知菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于点O,且AO、BO的长分别是关于x的方程$x^2+(2m-1)x+m^2+3=0$的两个不相等的实数根,则m的值为________.

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17. 如图, 在 $Rt △ ACB$ 中, $∠ ACB=90°, CH ⊥ AB$ 于点 $H$, 若 $AB=5$, 且 $BC 、 AC$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^2-(2m-1)x+4(m-1)=0$ 的两个根.
(1)求 $m$ 的值;
(2)求 $CH$ 的长.

解​$： (1) $​因为​$BC、$​​$AC$​的长是关于​$x$​的方程​$x^2-(2m - 1)x + 4(m - 1)=0$​的两个根，所以​$BC + AC=2m - 1，$​​$BC·AC=4(m - 1)。$​​$ $​在​$Rt\triangle ACB$​中，​$∠ACB = 90°，$​​$AB = 5，$​根据勾股定理​$BC^2+AC^2=AB^2，$​又​$BC^2+AC^2=(BC + AC)^2-2BC·AC，$​所以​$(2m - 1)^2-2×4(m - 1)=25，$​展开得​$4\ \mathrm {m^2}-4m + 1-8m + 8 = 25，$​整理得​$4\ \mathrm {m^2}-12m - 16 = 0，$​两边同时除以​$4$​得​$\mathrm {m^2}-3m - 4 = 0，$​因式分解得​$(m - 4)(m + 1)=0，$​解得​$m_{1}=-1，$​​$m_{2}=4。$​​$ $​当​$m=-1$​时，​$BC + AC=2m - 1=-3<0，$​​$BC·AC=4(m - 1)=-8<0，$​这与​$BC、$​​$AC$​均为正数矛盾，所以​$m=-1$​不符合题意，舍去；​$ $​当​$m = 4$​时，原方程为​$x^2-7x + 12 = 0，$​​$BC + AC=7>0，$​​$BC·AC=12>0，$
​且​$b^2-4ac=(-7)^2-4×1×12=1>0，$​所以​$m = 4$​符合题意，​$m $​的值为​$4。$​​$ (2) $​因为​$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}AC·BC=\frac {1}{2}AB·CH，$​所以​$CH=\frac {AC·BC}{AB}。$​​$ $​由​$(1)$​知当​$m = 4$​时，方程​$x^2-7x + 12 = 0，$​因式分解得​$(x - 3)(x - 4)=0，$​解得​$x = 3$​或​$x = 4，$​即​$AC = 3，$​​$BC = 4$​或​$AC = 4，$​​$BC = 3，$​所以​$CH=\frac {3×4}{5}=\frac {12}{5}。$​