1. 改编题 如果实数 $ m $、$ n $ 满足 $ m^2 - m - 1 = 0 $、$ n^2 - n - 1 = 0 $，且 $ m ≠ n $，则可利用根的定义构造一元二次方程 $ x^2 - x - 1 = 0 $，将 $ m $、$ n $ 看作是此方程的两个不相等的实数根.
请根据上述材料解决下面问题：
(1) 已知实数 $ m $、$ n $ 满足 $ 3m^2 - m - 2 = 0 $、$ 3n^2 - n - 2 = 0 $，则 $ \frac{n}{m} + \frac{m}{n} $ 的值为 ______.
(2) 已知实数 $ a $、$ b $ 满足 $ a^2 + 11a - 13 = 0 $，$ 13b^2 + 11b - 1 = 0 $，且 $ ab ≠ -1 $，求 $ \frac{a - b}{ab + 3b - 1} $ 的值.

$-\frac{13}{6}$或$2$ ; 解​$：(2)13b²+11b-1=0，$​易得​$b≠0，$​方程两侧同时除以​$−b²$​得​$(\frac {1}{b})²+ 11×(-\frac {1}{b})−13=0.$​又∵​$a²+11α−13=0，$​且​$ab≠−1，$​∴​$a、$​​$−\frac {1}{b}$​为方程​$x²+11x−13=0$​的两个实数根​$，$​∴​$a+(-\frac {1}{b})=−11，−\frac {a}{b}=−13，$​整理得​$ab=1−11b，a=13b，$​∴​$\frac {a−b}{ab+3b−1}=\frac {13b−b}{1−11b+3b−1}=\frac {12b}{−8b}=-\frac {3}{2}$​

2. 改编题 如果实数$a$、$b$满足$a+b=3$、$ab=2$，则可利用根与系数的关系(韦达定理)构造一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，将$a$、$b$看作是此方程的两个实数根.
请根据上述材料解决下面问题:
已知实数$a$、$b$、$c$满足$a+b - c + 5 = 0$，$ab(5 - c) = 16$，且$c＜5$，求$c$的最大值.

解$：$由$a+b−c+5=0$和$ab(5−c)=16$可得$a+b=c−5，ab=\frac {16}{5−c}$∴将$a、$$b$看$ $作是方程$x²−(c−5)x+\frac {16}{5−c}=0$的两实数根∵$b²−4ac=(c−5)²−4×\frac {16}{5−c}≥0，$而$c＜5，$∴$(5−c)³≥64，$∴$5−c≥4，$即$c≤1，$∴$c $的最大值为$1.$

3. (2024·连云港月考)阅读下列材料：
求函数$y=\dfrac{3x^2+2x}{x^2+x+0.25}$的最大值.
解:将原函数化为$x$的一元二次方程,得$(y-3)x^2+(y-2)x+\dfrac{1}{4}y=0.\because x$为实数,$\therefore b^2-4ac=(y-2)^2-4(y-3)×\dfrac{1}{4}y=-y+4≥ 0,\therefore y≤ 4$.
根据材料给你的启示,则函数$y=\dfrac{3x^2+x+2}{x^2+2x+1}$的最小值是______.

$\frac{23}{16}$

4. 阅读下面材料,回答下列问题:
已知 $ x = \frac{5+\sqrt{21}}{2} $, 求代数式 $ \frac{x^2}{x-1} - (1 + \frac{1}{x^2 - x}) $ 的值.
解:$ x = \frac{5+\sqrt{21}}{2} = \frac{-(-5)+\sqrt{(-5)^2 - 4 × 1 × 1}}{2 × 1} $, 对比一元二次方程求根公式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $, 不难发现 $ x $ 是方程 $ x^2 - 5x + 1 = 0 $ 的根, 所以 $ x^2 = 5x - 1 $, $ x^2 + 1 = 5x $, 所以原式 $ = \frac{5x - 1}{x - 1} - \frac{x^2 - x + 1}{x(x - 1)} = \frac{5x - 1}{x - 1} - \frac{4x}{x(x - 1)} = \frac{5x - 1}{x - 1} - \frac{4}{x - 1} = \frac{5(x - 1)}{x - 1} = 5 $.
(1) 已知 $ x = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} $, 请用材料中的方法求代数式 $ -x^3 - \sqrt{6}x^2 - x - \sqrt{6} $ 的值;
(2) 求代数式 $ ( \frac{1+\sqrt{1-4a}}{2} )^3 - ( \frac{1+\sqrt{1-4a}}{2} )^2 + a ( \frac{1+\sqrt{1-4a}}{2} ) - 2 $ 的值.

解：​$(1)$​因为​$x = \frac {-\sqrt {6}+\sqrt {(\sqrt {6})^2-4×1×1}}{2×1}，$​对比一元二次方程求根公式​$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}，$​可知​$x$​是方程​$x^2+\sqrt {6}x + 1 = 0$​的根，所以​$x^2+\sqrt {6}x=-1。$​​$ $​则​$-x^3-\sqrt {6}x^2-x-\sqrt {6}$​​$=-x(x^2+\sqrt {6}x)-x-\sqrt {6}$​​$=-x×(-1)-x-\sqrt {6}$​​$= - \sqrt {6}。$​​$ (2)$​设​$x = \frac {1+\sqrt {1 - 4a}}{2}，$​则​$(\frac {1+\sqrt {1 - 4a}}{2})^3-(\frac {1+\sqrt {1 - 4a}}{2})^2+a(\frac {1+\sqrt {1 - 4a}}{2})-2$​​$=x^3-x^2+ax - 2。$​​$ $​因为​$x = \frac {1+\sqrt {1 - 4a}}{2}$​​$=\frac {-(-1)+\sqrt {(-1)^2-4×1×a}}{2×1}，$​对比一元二次方程求根公式​$x=\frac {-b\pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}，$​可知​$x$​是方程​$x^2-x + a = 0$​的根，所以​$x^2-x=-a。$​​$ $​则​$x^3-x^2+ax - 2$​​$=x(x^2-x)+ax - 2$​​$=-ax+ax - 2$​​$=-2。$​