1.4 用一元二次方程解决问题

无具体题目内容，请补充完整题目以便作答。

1. (2025·淮安期中)下表是某公司某年1月份至5月份的收入统计表.其中,2月份和5月份被墨水污染.若2月份与3月份的增长率相同,设它们的增长率为$x$,根据表中的信息,可列方程为 ( )

A. $10(1+x)^2=12-10$
B. $10(1+x)^2=12$
C. $10(1+x)(1+2x)=12$
D. $10(1+x)^3=14$

B

2. 新趋势 数学文化（2024·呼和浩特中考改编）
我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，可得方程为______．

$x(60 - x) = 864$

3. (2025·南京月考)某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，设这个百分率为x，可得方程为______．

$25(1 - x) - 25(1 - x)^2 = 4$

4. 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2 m,另一边减少了3 m,剩余一块面积为20 m²的矩形空地,则原正方形空地的边长是________ m.

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5. (2023·郴州中考)随旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率.
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人?

解：​$(1)$​设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为​$x，$​由题意得​$1.6(1 + x)^2 = 2.5，$​​$ \begin {aligned}(1 + x)^2&=\frac {2.5}{1.6}\\1 + x&=\pm \sqrt {\frac {2.5}{1.6}}\\1 + x&=\pm \frac {5}{4}\end {aligned}$​​$ $​解得​$x_{1} = 0.25 = 25\%，$​​$x_{2} = - 2.25($​负值已舍去​$)。$​ 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为​$25\%。$​​$ (2)$​设​$5$​月份后​$10$​天日均接待游客人数是​$y$​万人，由题意，得​$2.125 + 10y\leqslant 2.5(1 + 25\%)，$​​$ \begin {aligned}2.125 + 10y&\leqslant 2.5×1.25\\2.125 + 10y&\leqslant 3.125\\10y&\leqslant 3.125 - 2.125\\10y&\leqslant 1\\y &\leqslant 0.1\end {aligned}$​ ∴​$5$​月份后​$10$​天日均接待游客人数最多是​$0.1$​万人。

6. (2023·常州中考)如图,在打印图片之前,为确定打印区域,需设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离),上、下、左、右页边距分别为$a\ \mathrm{cm}$、$b\ \mathrm{cm}$、$c\ \mathrm{cm}$、$d\ \mathrm{cm}$.若纸张大小为$16\ \mathrm{cm}×10\ \mathrm{cm}$,考虑到整体的美观性,要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的$70\%$,则需如何设置页边距?

解：设页边距为$x$cm，则可列方程为$(16 - 2x)(10 - 2x) = 16×10×70\%，$ $\begin{aligned}(16 - 2x)(10 - 2x)&=112\\160-32x - 20x + 4x^2&=112\\4x^2-52x + 160 - 112&=0\\4x^2-52x + 48&=0\\x^2-13x + 12&=0\\(x - 1)(x - 12)&=0\end{aligned}$ 解得$x_1 = 1，$$x_2 = 12$（舍去，因为$16-2×12=-8<0，$$10 - 2×12=-14<0，$
页边距不能使打印区域边长为负），故页边距为$1$cm。